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Lição 52 — Regras de derivação

As regras algébricas de derivação — potência, constante múltipla, soma, produto, quociente — e as derivadas das funções elementares. Nunca mais limite na prática.

Used in: 2.º ano do EM (16 anos) · Equiv. AP Calculus AB Unit 2 · Equiv. Calculus I §3.3–3.5 · Equiv. Math III japonês cap. 3

(fg)' = f'g + fg'

A regra do produto: a derivada do produto de duas funções tem dois termos. O primeiro diferencia $f$ e mantém $g$ ; o segundo mantém $f$ e diferencia $g$ . Esse padrão se repete nas regras do quociente e da cadeia — dominá-lo é a chave para derivar qualquer função elementar.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definições e teoremas formais

Tabela de derivadas elementares

Definition· Derivadas das funções elementares

Seja $f$ derivável em $x$ . As derivadas abaixo são consequências diretas da definição por limite e são consideradas resultados fundamentais:

Função $f(x)$	Derivada $f'(x)$	Condição
$c$ (constante)	$0$	$c \in \mathbb{R}$
$x^n$	$n x^{n-1}$	$n \in \mathbb{R}$
$\sin x$	$\cos x$	—
$\cos x$	$-\sin x$	—
$\tan x$	$\sec^2 x$	$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$
$e^x$	$e^x$	—
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$x > 0$
$a^x$	$a^x \ln a$	$a > 0, a \neq 1$
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x \ln a}$	$x > 0, a > 0, a \neq 1$

Regras operatórias

Theorem· Regras de derivação (Leibniz e Cauchy)

Sejam $f$ e $g$ funções deriváveis em $x$ , e $c \in \mathbb{R}$ constante. Então:

(c)' = 0

(R1)

what this means · Constante: a derivada de qualquer número constante é zero, pois não há variação.

(x^n)' = n x^{n-1}

(R2)

what this means · Regra da potência: o expoente desce como coeficiente e diminui em 1. Válida para qualquer expoente real.

(c f)' = c f'

(R3)

what this means · Múltiplo constante: constantes atravessam a derivada sem alteração.

(f \pm g)' = f' \pm g'

(R4)

what this means · Soma e diferença: a derivada distribui sobre somas e diferenças.

(fg)' = f'g + fg'

(R5)

what this means · Regra do produto (Leibniz): o produto gera dois termos. Cada um diferencia um dos fatores, mantendo o outro intacto.

\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}, \quad g \neq 0

(R6)

what this means · Regra do quociente: numerador é f linha g menos f g linha; denominador é g ao quadrado. O sinal de menos no numerador é crítico — não inverta a ordem.

"Se $f$ e $g$ são funções deriváveis, então a derivada do produto $(fg)'$ existe e é dada por $f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ ." — Active Calculus §2.3

Demonstração da regra do produto

Theorem· Prova da regra do produto a partir da definição

Seja $h(x) = f(x) g(x)$ . Por definição:

$h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)\,g(x + \Delta x) - f(x)\,g(x)}{\Delta x}$

Some e subtraia $f(x+\Delta x)\,g(x)$ no numerador:

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{[f(x+\Delta x) - f(x)]\,g(x+\Delta x) + f(x)\,[g(x+\Delta x) - g(x)]}{\Delta x}$

Separando os limites e usando a continuidade de $g$ (toda função derivável é contínua, logo $g(x + \Delta x) \to g(x)$ ):

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \cdot g(x) + f(x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

$\blacksquare$

Reta tangente

Exemplos resolvidos

Example— 1· Derivada de polinômio (aplicação direta das regras R2–R4)

Problema: Calcule $f'(x)$ para $f(x) = 4x^5 - 3x^3 + 7x - 2$ .

Estratégia: Polinômio = soma de monômios. Aplique R4 (linearidade), R2 (potência) e R1 (constante) termo a termo.

Resolução:

$f'(x) = (4x^5)' - (3x^3)' + (7x)' - (2)'$

Aplicando R3 (múltiplo constante) e R2 (potência):

$= 4 \cdot 5x^4 - 3 \cdot 3x^2 + 7 \cdot 1 - 0$

$= 20x^4 - 9x^2 + 7$

Verificação: Cada expoente reduziu em 1; cada coeficiente multiplicou pelo expoente original. Constante $-2$ sumiu (R1). Correto.

Fonte. Active Calculus §2.1 Exercise 2.1.3 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Regra do produto — polinomial vezes trigonométrica

Problema: Calcule $h'(x)$ para $h(x) = x^3 \sin x$ .

Estratégia: $h = f \cdot g$ com $f(x) = x^3$ e $g(x) = \sin x$ . Aplique R5: $(fg)' = f'g + fg'$ .

Resolução:

$f(x) = x^3 \Rightarrow f'(x) = 3x^2$
$g(x) = \sin x \Rightarrow g'(x) = \cos x$

Aplicando R5:

$h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x$

Forma fatorada (opcional): $h'(x) = x^2(3 \sin x + x \cos x)$

Verificação: Dois termos (correto para produto). Primeiro: derivou $x^3$ , manteve $\sin x$ . Segundo: manteve $x^3$ , derivou $\sin x$ . Ambas as regras elementares aplicadas corretamente.

Fonte. Active Calculus §2.3 Exercise 2.3.2 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Regra do quociente — função racional

Problema: Calcule $k'(x)$ para $k(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 3}$ , $x \neq 3$ .

Estratégia: $k = f/g$ com $f(x) = x^2 + 1$ e $g(x) = x - 3$ . Aplique R6.

Resolução:

$f'(x) = 2x$
$g'(x) = 1$

Aplicando R6:

$k'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} = \frac{2x(x-3) - (x^2+1) \cdot 1}{(x-3)^2}$

$= \frac{2x^2 - 6x - x^2 - 1}{(x-3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 1}{(x-3)^2}$

Atenção: O numerador é $f'g - fg'$ , não $fg' - f'g$ . O sinal de menos não é comutativo — inverter cria o erro mais frequente nesta regra.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1 §3.3 Example 3.28 — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Produto de exponencial com trigonométrica

Problema: Calcule $p'(x)$ para $p(x) = e^x \cos x$ .

Estratégia: Produto de $f(x) = e^x$ e $g(x) = \cos x$ . Aplique R5 com as derivadas da tabela.

Resolução:

$f'(x) = e^x$ (notável: $e^x$ deriva para si mesmo)
$g'(x) = -\sin x$

Aplicando R5:

$p'(x) = e^x \cos x + e^x \cdot (-\sin x) = e^x(\cos x - \sin x)$

Verificação: Em $x = 0$ : $p(0) = e^0 \cos 0 = 1$ e $p'(0) = e^0(\cos 0 - \sin 0) = 1 - 0 = 1$ . A tangente em $(0, 1)$ tem inclinação 1, o que faz sentido geometricamente (a função cresce com inclinação 1 na origem).

Fonte. Active Calculus §2.2 Exercise 2.2.3 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Equação da reta tangente com ponto crítico

Problema: Encontre a equação da reta tangente à curva $y = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ no ponto onde $x = 1$ .

Estratégia: (a) Calcule $y(1)$ para obter o ponto de tangência. (b) Calcule $y'(x)$ pela regra do quociente. (c) Avalie $y'(1)$ . (d) Escreva na forma ponto-declive.

Resolução:

(a) Ponto de tangência:

$y(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2}$

Ponto: $\left(1, \dfrac{1}{2}\right)$ .

(b) Derivada por quociente com $f = x$ e $g = x^2 + 1$ :

$y'(x) = \frac{f'g - fg'}{g^2} = \frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$

(c) Coeficiente angular em $x = 1$ :

$y'(1) = \frac{1 - 1}{(1+1)^2} = \frac{0}{4} = 0$

(d) Equação da tangente:

$y - \frac{1}{2} = 0 \cdot (x - 1) \implies y = \frac{1}{2}$

A tangente em $x = 1$ é horizontal — faz sentido, pois $y = x/(x^2+1)$ tem máximo local nesse ponto (a função cresce de $x=0$ até $x=1$ e depois decresce).

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1 §3.3 Exercise 176 — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 27Understanding 4Modeling 7Challenge 1Proof 1

Ex. 52.1Application
Calcule $(x^5)'$ .
Solve online Active Calculus · §2.1 · 2.1.1a
Show solution
Pela regra da potência R2: $(x^5)' = 5 x^{5-1} = 5x^4$ . O expoente 5 desce como coeficiente e o novo expoente é $5 - 1 = 4$ .
Ex. 52.2Application
Calcule a derivada de $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$ .
Active Calculus · §2.1 · 2.1.1b
Show solution
Pela linearidade R4 e regra da potência R2: $(3x^2 - 4x + 1)' = 3 \cdot 2x - 4 \cdot 1 + 0 = 6x - 4$ . O termo constante 1 tem derivada zero.
Show step-by-step (with the why)
1. Reconheça a estrutura. A função $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$ é um polinômio de grau 2. Pela regra R4, a derivada distribui sobre somas e diferenças.
2. Derive cada termo separadamente.
  - Termo $3x^2$ : pela regra do múltiplo constante R3 e potência R2, $(3x^2)' = 3 \cdot 2x^1 = 6x$ .
  - Termo $-4x$ : $(-4x)' = -4 \cdot 1 = -4$ .
  - Termo constante $1$ : $(1)' = 0$ pela regra R1.
3. Reúna os resultados. $f'(x) = 6x - 4 + 0 = 6x - 4$ .
Macete: para qualquer polinômio, derive termo a termo. A constante sempre desaparece e a derivada baixa o grau em 1.
Ex. 52.3ApplicationAnswer key
Calcule $(\sqrt{x})'$ . Dica: escreva como $x^{1/2}$ e aplique R2.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.3 · ex. 3.25
Show solution
Reescreva $\sqrt{x} = x^{1/2}$ . Pela regra R2: $(x^{1/2})' = \tfrac{1}{2} x^{1/2 - 1} = \tfrac{1}{2} x^{-1/2} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ .
Ex. 52.4Application
Calcule $\left(\dfrac{1}{x^2}\right)'$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.3 · ex. 3.26
Show solution
Reescreva $1/x^2 = x^{-2}$ . Pela regra R2: $(x^{-2})' = -2 x^{-3} = -2/x^3$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Reescreva como potência negativa. $1/x^2 = x^{-2}$ . A regra da potência R2 funciona para qualquer expoente real, inclusive negativos.
2. Aplique R2. O expoente $-2$ desce como coeficiente: $(x^{-2})' = -2 \cdot x^{-2-1} = -2x^{-3}$ .
3. Reescreva na forma fracionária. $-2x^{-3} = -2/x^3$ .
Macete: funções da forma $1/x^n$ são potências negativas. Sempre reescreva antes de derivar.
Ex. 52.5ApplicationAnswer key
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = 4x^5 - 3x^3 + 7x - 2$ .
Solve online Active Calculus · §2.1 · 2.1.3a
Show solution
Aplique R4, R3 e R2 termo a termo: $(4x^5)' = 20x^4$ , $(-3x^3)' = -9x^2$ , $(7x)' = 7$ , $(-2)' = 0$ . Soma: $f'(x) = 20x^4 - 9x^2 + 7$ .
Ex. 52.6Application
Calcule $\left(-\dfrac{1}{x^3}\right)'$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.3 · ex. 157
Show solution
Reescreva $-1/x^3 = -x^{-3}$ . Derivada: $(-x^{-3})' = -1 \cdot (-3x^{-4}) = 3x^{-4} = 3/x^4$ .
Ex. 52.7Application
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = x^2\sqrt{x} - x\sqrt{x}$ .
Solve online Active Calculus · §2.1 · 2.1.3c
Show solution
Reescreva: $x^2 \sqrt{x} = x^2 \cdot x^{1/2} = x^{5/2}$ e $x \sqrt{x} = x \cdot x^{1/2} = x^{3/2}$ . Então $f(x) = x^{5/2} - x^{3/2}$ e $f'(x) = \tfrac{5}{2}x^{3/2} - \tfrac{3}{2}x^{1/2}$ .
Ex. 52.8Application
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = x^3 + 2x$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.3 · ex. 155
Show solution
$f(x) = x^3 + 2x$ . Derivando termo a termo: $f'(x) = 3x^2 + 2$ .
Ex. 52.9Application
Calcule $\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)'$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.3 · ex. 160
Show solution
Reescreva: $1/\sqrt{x} = x^{-1/2}$ . Derivada pela regra da potência: $(x^{-1/2})' = -\tfrac{1}{2} x^{-3/2}$ .
Ex. 52.10ApplicationAnswer key
Calcule $g'(x)$ para $g(x) = 3x^4 - 3x^2$ .
Solve online Active Calculus · §2.1 · 2.1.4a
Show solution
$g(x) = 3x^4 - 3x^2$ . Derivando: $g'(x) = 12x^3 - 6x$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique os termos. $g(x) = 3x^4 - 3x^2$ . Dois termos separados pela regra R4.
2. Derive $3x^4$ . Pelo múltiplo constante R3 e potência R2: $(3x^4)' = 3 \cdot 4x^3 = 12x^3$ .
3. Derive $-3x^2$ . $(-3x^2)' = -3 \cdot 2x = -6x$ .
4. Junte. $g'(x) = 12x^3 - 6x$ . Pode fatorar: $6x(2x^2 - 1)$ .
Curiosidade: os zeros de $g'(x) = 0$ são $x = 0$ e $x = \pm 1/\sqrt{2}$ . Esses são os pontos onde a tangente ao gráfico de $g$ é horizontal — extremos locais.
Ex. 52.11Application
Calcule $(\sin x \cdot \cos x)'$ .
Solve online Active Calculus · §2.2 · 2.2.2a
Show solution
Regra do produto com $f = \sin x$ e $g = \cos x$ : $(\sin x \cos x)' = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x$ . Pela identidade do duplo ângulo, isso equivale a $\cos(2x)$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique os fatores. Temos $h(x) = \sin x \cdot \cos x$ . Defina $f(x) = \sin x$ e $g(x) = \cos x$ .
2. Calcule as derivadas individuais. Da tabela: $f'(x) = \cos x$ e $g'(x) = -\sin x$ .
3. Aplique a regra do produto R5. $h'(x) = f'g + fg' = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x$ .
4. Reconhecimento opcional. Pela identidade trigonométrica, $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$ . Isso confirma que $(\sin x \cos x)' = (\tfrac{1}{2}\sin(2x))' = \cos(2x)$ . Consistente.
Macete: sempre confira se o resultado pode ser simplificado por identidades trigonométricas — frequentemente o resultado tem forma mais compacta.
Ex. 52.12ApplicationAnswer key
Calcule $(x e^x)'$ .
Solve online Active Calculus · §2.1 · 2.1.5a
Show solution
Regra do produto com $f = x$ e $g = e^x$ : $(xe^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x + xe^x = e^x(1 + x)$ .
Ex. 52.13Application
Calcule $(x \ln x)'$ .
Solve online Active Calculus · §2.1 · 2.1.5b
Show solution
Regra do produto com $f = x$ e $g = \ln x$ : $(x \ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot (1/x) = \ln x + 1$ .
Ex. 52.14Application
Calcule $(x^2 \sin x)'$ .
Solve online Active Calculus · §2.3 · 2.3.2a
Show solution
Regra do produto com $f = x^2$ e $g = \sin x$ : $(x^2 \sin x)' = 2x \sin x + x^2 \cos x$ .
Ex. 52.15ApplicationAnswer key
Calcule $(e^x \cos x)'$ .
Solve online Active Calculus · §2.3 · 2.3.2b
Show solution
Regra do produto com $f = e^x$ e $g = \cos x$ : $(e^x \cos x)' = e^x \cos x + e^x(-\sin x) = e^x(\cos x - \sin x)$ .
Ex. 52.16Application
Calcule $(x^2 e^x)'$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.3 · ex. 175
Show solution
Regra do produto com $f = x^2$ e $g = e^x$ : $(x^2 e^x)' = 2x e^x + x^2 e^x = e^x(2x + x^2) = e^x x(x + 2)$ .
Ex. 52.17ApplicationAnswer key
Calcule $(\tan x \cdot e^x)'$ .
Solve online Active Calculus · §2.3 · 2.3.3
Show solution
Regra do produto com $f = \tan x$ e $g = e^x$ : $(\tan x \cdot e^x)' = \sec^2 x \cdot e^x + \tan x \cdot e^x = e^x(\tan x + \sec^2 x)$ .
Ex. 52.18Application
Calcule $(x \sin x)'$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.3 · ex. 165
Show solution
Regra do produto com $f = x$ e $g = \sin x$ : $(x \sin x)' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x$ .
Ex. 52.19Application
Calcule $(x^3 \ln x)'$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.3 · ex. 166
Show solution
Regra do produto com $f = x^3$ e $g = \ln x$ : $(x^3 \ln x)' = 3x^2 \ln x + x^3 \cdot (1/x) = 3x^2 \ln x + x^2 = x^2(3 \ln x + 1)$ .
Ex. 52.20Understanding
Generalização da regra do produto. Se $f$ , $g$ , $h$ são funções deriváveis, qual é $(fgh)'$ ?
Select the correct option
$f'gh + fg'h + fgh'$ $f'g'h'$ $f'gh - fg'h + fgh'$ $(fg)'h + f(gh)'$ , sem simplificar
Select an option first
Solve online Active Calculus · §2.3 · 2.3.5
Show solution
Aplique a regra do produto duas vezes: $(fgh)' = ((fg)h)' = (fg)'h + (fg)h' = (f'g + fg')h + fgh' = f'gh + fg'h + fgh'$ . Cada termo diferencia exatamente um dos três fatores e mantém os outros dois.
Show step-by-step (with the why)
1. Associe o produto de três fatores. Escreva $(fgh) = (fg) \cdot h$ .
2. Aplique R5 ao produto de dois fatores $(fg)$ e $h$ . $((fg) \cdot h)' = (fg)' \cdot h + (fg) \cdot h'$ .
3. Expanda $(fg)'$ pela regra do produto. $(fg)' = f'g + fg'$ .
4. Distribua e simplifique. $(f'g + fg') \cdot h + fg \cdot h' = f'gh + fg'h + fgh'$ .
5. Padrão geral. Para $n$ fatores, a derivada é uma soma de $n$ termos: em cada termo, exatamente um fator é diferenciado e os demais permanecem intactos.
Atalho mental: os distratores acima testam o erro de multiplicar derivadas ( $f'g'h'$ ) ou inverter um sinal. O único correto tem exatamente 3 termos, cada um com exatamente um "linha".
Ex. 52.21Application
Calcule $\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)'$ para $x \neq 0$ .
Solve online Active Calculus · §2.3 · 2.3.4a
Show solution
Regra do quociente com $f = \sin x$ e $g = x$ : $\left(\frac{\sin x}{x}\right)' = \frac{\cos x \cdot x - \sin x \cdot 1}{x^2} = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$ .
Ex. 52.22Application
Calcule $\left(\dfrac{e^x}{x}\right)'$ para $x \neq 0$ .
Solve online Active Calculus · §2.3 · 2.3.4b
Show solution
Regra do quociente com $f = e^x$ e $g = x$ : $\left(\frac{e^x}{x}\right)' = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x-1)}{x^2}$ .
Ex. 52.23Application
Calcule $\left(\dfrac{1}{x^2 + 1}\right)'$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.3 · ex. 172
Show solution
Quociente com $f = 1$ e $g = x^2 + 1$ : $\left(\frac{1}{x^2+1}\right)' = \frac{0 \cdot (x^2+1) - 1 \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-2x}{(x^2+1)^2}$ .
Ex. 52.24Application
Calcule $k'(x)$ para $k(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 3}$ , $x \neq 3$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.3 · ex. 173
Show solution
Quociente com $f = x^2 + 1$ e $g = x - 3$ : numerador = $2x(x-3) - (x^2+1) \cdot 1 = 2x^2 - 6x - x^2 - 1 = x^2 - 6x - 1$ . Denominador: $(x-3)^2$ . Logo $k'(x) = \dfrac{x^2 - 6x - 1}{(x-3)^2}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique numerador e denominador. $f = x^2 + 1$ , $g = x - 3$ .
2. Calcule as derivadas. $f' = 2x$ e $g' = 1$ .
3. Aplique R6. Numerador: $f'g - fg' = 2x(x-3) - (x^2+1) \cdot 1$ .
4. Expanda o numerador. $2x^2 - 6x - x^2 - 1 = x^2 - 6x - 1$ .
5. Escreva o resultado. $k'(x) = (x^2 - 6x - 1)/(x-3)^2$ .
Macete: o erro mais comum na regra do quociente é inverter a ordem do numerador ( $fg' - f'g$ em vez de $f'g - fg'$ ). Memorize: "primeiro diferencia o de cima, depois o de baixo, com sinal de menos".
Ex. 52.25Application
Calcule $\left(\dfrac{3x^2 - x}{x^2 - 1}\right)'$ para $x \neq \pm 1$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.3 · ex. 174
Show solution
Quociente com $f = 3x^2 - x$ e $g = x^2 - 1$ . $f' = 6x - 1$ , $g' = 2x$ . Numerador: $(6x-1)(x^2-1) - (3x^2-x)(2x)$ . Expandindo: $6x^3 - 6x - x^2 + 1 - 6x^3 + 2x^2 = x^2 - 6x + 1$ . Denominador: $(x^2-1)^2$ .
Ex. 52.26ApplicationAnswer key
Derive $\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$ pela regra do quociente e mostre que $(\cot x)' = -\csc^2 x$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.5 · ex. 3.41
Show solution
Derive $\cot x = \cos x / \sin x$ pela regra do quociente: numerador = $(-\sin x)(\sin x) - (\cos x)(\cos x) = -(\sin^2 x + \cos^2 x) = -1$ . Denominador: $\sin^2 x$ . Logo $(\cot x)' = -1/\sin^2 x = -\csc^2 x$ .
Ex. 52.27Application
Derive $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$ pela regra do quociente e mostre que $(\sec x)' = \sec x \tan x$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.5 · ex. 3.42
Show solution
Derive $\sec x = 1/\cos x$ pela regra do quociente com $f = 1$ , $g = \cos x$ : numerador = $0 \cdot \cos x - 1 \cdot (-\sin x) = \sin x$ . Denominador: $\cos^2 x$ . Logo $(\sec x)' = \sin x / \cos^2 x = (1/\cos x)(\sin x/\cos x) = \sec x \tan x$ .
Ex. 52.28Application
Calcule $\left(\dfrac{x}{x^2 + 1}\right)'$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.3 · ex. 176
Show solution
Quociente com $f = x$ e $g = x^2 + 1$ : numerador = $1 \cdot (x^2+1) - x \cdot 2x = x^2 + 1 - 2x^2 = 1 - x^2$ . Denominador: $(x^2+1)^2$ . Logo $y' = (1-x^2)/(x^2+1)^2$ .
Ex. 52.29ModelingAnswer key
Encontre a equação da reta tangente a $f(x) = x^2 + 3x$ no ponto $x = 1$ .
Solve online Active Calculus · §2.1 · 2.1.6
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Ponto: $f(1) = 1 + 3 = 4$ . Derivada: $f'(x) = 2x + 3$ . Coeficiente angular: $f'(1) = 5$ . Tangente: $y - 4 = 5(x - 1)$ , ou seja $y = 5x - 1$ .
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1. Calcule o ponto de tangência. $f(1) = 1^2 + 3(1) = 4$ . Ponto: $(1, 4)$ .
2. Calcule a derivada. $f'(x) = 2x + 3$ pelas regras R2 e R3.
3. Coeficiente angular no ponto. $f'(1) = 2(1) + 3 = 5$ .
4. Equação da tangente. $y - 4 = 5(x - 1) \Rightarrow y = 5x - 1$ .
5. Verificação. Em $x = 1$ : $y = 5(1) - 1 = 4$ ✓.
Macete: o passo do ponto de tangência é frequentemente esquecido. Sem ele, você tem a inclinação mas não a reta.
Ex. 52.30ModelingAnswer key
Em quais pontos o gráfico de $f(x) = x^3 - 3x$ tem reta tangente horizontal?
Solve online Active Calculus · §2.1 · 2.1.7
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Tangente horizontal ocorre quando $f'(x) = 0$ . Para $f(x) = x^3 - 3x$ : $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$ . Os pontos são $(1, -2)$ e $(-1, 2)$ .
Ex. 52.31Modeling
Um objeto tem posição $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ metros ( $t$ em segundos). Calcule $v(t)$ e $a(t)$ . Avalie em $t = 2$ e determine quando o objeto está parado.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.4 · ex. 3.33
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Velocidade: $v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9$ m/s. Aceleração: $a(t) = v'(t) = 6t - 12$ m/s². Em $t = 2$ : $v(2) = 12 - 24 + 9 = -3$ m/s (retrocede); $a(2) = 0$ (inflexão de velocidade). O objeto para quando $3t^2 - 12t + 9 = 0 \Rightarrow t = 1$ ou $t = 3$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique. Posição $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ . Velocidade = derivada da posição; aceleração = derivada da velocidade.
2. Derive para velocidade. $v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9$ .
3. Derive novamente para aceleração. $a(t) = v'(t) = 6t - 12$ .
4. Avalie em $t = 2$ . $v(2) = 12 - 24 + 9 = -3$ m/s. O sinal negativo indica retorno.
5. Quando para? $v = 0: 3t^2 - 12t + 9 = 0 \Rightarrow t^2 - 4t + 3 = 0 \Rightarrow t = 1$ ou $t = 3$ .
Curiosidade: em $t = 2$ , a aceleração é zero — o objeto está no ponto de inflexão da velocidade, passando de desaceleração a aceleração (ou vice-versa).
Ex. 52.32Modeling
Função custo: $C(q) = 500 + 50q + 0{,}1q^2$ (reais). Calcule o custo marginal $C'(q)$ e avalie em $q = 100$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.4 · ex. 3.34
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Custo marginal: $C'(q) = 50 + 0{,}2q$ . Em $q = 100$ : $C'(100) = 50 + 20 = 70$ reais por unidade. Isso significa que produzir a 101.ª unidade custa aproximadamente R\$ 70 a mais.
Ex. 52.33Modeling
Receita total: $R(q) = q(200 - q)$ . Calcule a receita marginal $R'(q)$ e determine a quantidade que maximiza a receita.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.4 · ex. 3.35
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Expanda: $R(q) = 200q - q^2$ . Receita marginal: $R'(q) = 200 - 2q$ . Receita máxima quando $R'(q) = 0 \Rightarrow q = 100$ unidades. Receita máxima: $R(100) = 100 \cdot 100 = 10000$ reais.
Ex. 52.34Modeling
Encontre a reta tangente a $y = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ em $x = 1$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.3 · ex. 176
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Função: $y = x/(x^2+1)$ . Ponto: $y(1) = 1/2$ . Derivada (quociente): $y' = (1-x^2)/(x^2+1)^2$ . Em $x = 1$ : $y'(1) = 0$ . Equação da tangente: $y = 1/2$ (reta horizontal). O ponto $x = 1$ é máximo local da função.
Ex. 52.35Modeling
Para $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ , determine: (a) a velocidade em $t = 2$ ; (b) quando o objeto está parado.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.4 · ex. 200
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Da questão 52.31: $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$ . Em $t = 2$ : $v(2) = 12 - 24 + 9 = -3$ m/s (retrocedendo). O objeto para quando $v = 0 \Rightarrow 3(t^2 - 4t + 3) = 0 \Rightarrow t = 1$ ou $t = 3$ .
Ex. 52.36UnderstandingAnswer key
Identificação de erro. Um estudante calculou $(x^2 \cdot x^3)' = 2x \cdot 3x^2 = 6x^3$ . Está certo ou errado? Justifique e corrija se necessário.
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Errado — $(fg)' \neq f'g'$ . Correto: $2x \cdot x^3 + x^2 \cdot 3x^2 = 5x^4$ Correto — o cálculo está certoErrado apenas no expoente — deveria ser $6x^4$ Errado — o resultado deveria ser negativo
Select an option first
Solve online Active Calculus · §2.3 · 2.3.1
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O estudante cometeu o erro clássico: $(fg)' \neq f' \cdot g'$ . A regra correta é a do produto: $(x^2 \cdot x^3)' = 2x \cdot x^3 + x^2 \cdot 3x^2 = 2x^4 + 3x^4 = 5x^4$ . Alternativa direta: $x^2 \cdot x^3 = x^5$ , portanto $(x^5)' = 5x^4$ . Consistente.
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1. Identifique o erro. O estudante calculou $(x^2)' \cdot (x^3)' = 2x \cdot 3x^2 = 6x^3$ . Isso multiplica as derivadas — operação inválida.
2. Regra correta do produto. $(x^2 \cdot x^3)' = 2x \cdot x^3 + x^2 \cdot 3x^2 = 2x^4 + 3x^4 = 5x^4$ .
3. Verificação alternativa. $x^2 \cdot x^3 = x^5$ . Pela regra da potência: $(x^5)' = 5x^4$ . Consistente.
4. Moral. $(fg)' = f'g'$ só seria válido se a regra do produto fosse multiplicativa — mas não é. Leibniz exige os dois termos cruzados.
Atalho mental: os distratores "correto" e "apenas expoente" testam se o aluno aceita o erro ou o subestima. A resposta certa identifica o tipo específico do erro: multiplicar derivadas.
Ex. 52.37Understanding
Identifique qual regra de derivação se aplica a $h(x) = \dfrac{e^x}{x^2}$ , aplique-a e simplifique $h'(x)$ .
Solve online Active Calculus · §2.3 · 2.3.4c
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Identifique a estrutura: $h(x) = e^x / x^2$ é um quociente de $f = e^x$ por $g = x^2$ . Aplique R6: $h'(x) = (e^x \cdot x^2 - e^x \cdot 2x) / x^4 = e^x(x^2 - 2x)/x^4 = e^x(x-2)/x^3$ .
Ex. 52.38Understanding
Conceito. Por que a derivada de $e^x$ é "especial"? Explique o que significa $(e^x)' = e^x$ em termos geométricos e numéricos.
Solve online Active Calculus · §2.1 · 2.1.8
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A identidade $(e^x)' = e^x$ significa que a taxa de crescimento de $e^x$ num ponto é igual ao próprio valor da função naquele ponto. Em $x = 0$ : $e^0 = 1$ e a inclinação também é 1. Em $x = 2$ : $e^2 \approx 7{,}39$ e a inclinação também é $\approx 7{,}39$ . Essa é a propriedade que define o número de Euler $e \approx 2{,}718$ — único ponto de base para o qual a exponencial é sua própria derivada.
Ex. 52.39Challenge
Desafio: produto de três funções. Prove que $(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$ , aplicando a regra do produto duas vezes.
Solve online Active Calculus · §2.3 · 2.3.5
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Pela associatividade: $(fgh)' = ((fg)h)' = (fg)'h + (fg)h' = (f'g + fg')h + fgh' = f'gh + fg'h + fgh'$ . Cada um dos três termos diferencia exatamente um fator.
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1. Agrupe dois fatores. Escreva $fgh = (fg) \cdot h$ .
2. Aplique R5 ao par. $((fg)h)' = (fg)'h + (fg)h'$ .
3. Expanda $(fg)'$ . $(fg)' = f'g + fg'$ .
4. Distribua e simplifique. $(f'g + fg')h + fgh' = f'gh + fg'h + fgh'$ .
5. Padrão: em cada um dos 3 termos, exatamente um dos três fatores foi diferenciado. Para $n$ fatores, há $n$ termos.
Curiosidade: esse resultado é a regra de Leibniz generalizada. Para $n$ fatores, $(f_1 f_2 \cdots f_n)' = \sum_{k=1}^n f_1 \cdots f_k' \cdots f_n$ .
Ex. 52.40Proof
Demonstração. Prove a regra do produto $(fg)' = f'g + fg'$ a partir da definição de derivada por limite.
Solve online Active Calculus · §2.3 · 2.3.6
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A demonstração parte da definição: $(fg)'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}$ . Some e subtraia $f(x+h)g(x)$ no numerador, obtendo dois termos: $[f(x+h)-f(x)]g(x+h)/h$ e $f(x)[g(x+h)-g(x)]/h$ . No limite, o primeiro converge para $f'(x)g(x)$ (usando continuidade de $g$ : $g(x+h) \to g(x)$ ) e o segundo para $f(x)g'(x)$ . Portanto $(fg)' = f'g + fg'$ . $\blacksquare$
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1. Escreva a definição. $(fg)'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}$ .
2. Truque algébrico. Some e subtraia $f(x+h)g(x)$ no numerador. O numerador torna-se $[f(x+h)-f(x)]g(x+h) + f(x+h)[g(x+h)-g(x)]$ . (Note: usamos $f(x+h)$ , não $f(x)$ , no segundo grupo — isso é correto e simplifica a separação.)
3. Separe os limites. Primeiro tende a $f'(x) \cdot \lim_{h \to 0} g(x+h) = f'(x)g(x)$ . Segundo tende a $\lim_{h\to 0} f(x+h) \cdot g'(x) = f(x)g'(x)$ (pela continuidade de $f$ ).
4. Conclusão. $(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ . $\blacksquare$
Observação: o truque de somar e subtrair um termo intermediário é comum em demonstrações de cálculo. Memorize a estratégia: "introduzir e cancelar um termo auxiliar para separar dois limites independentes".

Fontes

Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · §2.1 (Regras elementares), §2.2 (Seno e cosseno), §2.3 (Produto e quociente). Fonte primária. CC-BY-NC-SA.
OpenStax Calculus Volume 1 — OpenStax · 2016 · §3.3 (Regras de derivação), §3.4 (Derivadas como taxas de variação), §3.5 (Derivadas de trigonométricas). CC-BY-NC-SA.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2023 · §2.3 (Regras básicas), §2.4 (Produto e quociente). CC-BY-NC.