Lição 53 — Regra da cadeia

1. Identifique as camadas. Escreva $h(x) = f(g(x))$ com $f(u) = u^5$ (fora) e $g(x) = 2x+3$ (dentro). Sempre nomear as camadas explicitamente antes de derivar.
2. Derive a camada de fora. $f'(u) = 5u^4$. Avalie em $g(x)$: $f'(g(x)) = 5(2x+3)^4$. Note: o argumento permanece $2x+3$, não $x$.
3. Derive a camada de dentro. $g'(x) = 2$. Derivada de função linear é o coeficiente angular.
4. Multiplique. $h'(x) = 5(2x+3)^4 \cdot 2 = 10(2x+3)^4$.

Macete: em qualquer $(\text{linear})^n$, a derivada é $n \cdot (\text{linear})^{n-1} \cdot (\text{coef. angular})$. Aqui o coef. angular é 2, daí o fator 2.

1. Identifique as camadas. $f(u) = e^u$ (fora), $g(x) = x^2$ (dentro).
2. Derive a camada de fora. $f'(u) = e^u$. Avaliada em $g(x)$: $e^{x^2}$. A exponencial é sua própria derivada.
3. Derive a camada de dentro. $g'(x) = 2x$. Regra da potência em $x^2$.
4. Multiplique. $(e^{x^2})' = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}$.

Macete: a exponencial "copia a si mesma" ao derivar — o único fator novo é a derivada do expoente. Nunca esqueça esse fator.

1. Reescreva. $\cos^2 x = (\cos x)^2$. Camada de fora: $f(u) = u^2$. Dentro: $g(x) = \cos x$.
2. Derive a fora. $f'(u) = 2u$ avaliada em $\cos x$: $2\cos x$.
3. Derive a dentro. $g'(x) = -\sin x$.
4. Multiplique. $(\cos^2 x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x\cos x$.
5. Simplifique. Pela identidade $2\sin x\cos x = \sin 2x$: resultado $-\sin 2x$.

Curiosidade: derivar $\cos^2 x$ e derivar $1 - \sin^2 x$ dão o mesmo resultado — confirme usando a cadeia no segundo caso para treino.

1. Identifique. $(\ln x)^3$ é composição: $f(u) = u^3$ (fora), $g(x) = \ln x$ (dentro). Não é o mesmo que $\ln(x^3)$!
2. Derive a fora. $f'(u) = 3u^2$ avaliada em $\ln x$: $3(\ln x)^2$.
3. Derive a dentro. $g'(x) = 1/x$.
4. Resultado. $3(\ln x)^2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3(\ln x)^2}{x}$.

Macete: $(\ln x)^3 \neq \ln(x^3) = 3\ln x$. A posição do expoente muda tudo. Cuidado com a notação.

1. Identifique 3 camadas. $\sin^3(2x) = (\sin(2x))^3$. Fora: $f_3(u) = u^3$. Meio: $f_2(v) = \sin v$. Dentro: $f_1(x) = 2x$.
2. Derive cada camada. $f_3'(u) = 3u^2$; $f_2'(v) = \cos v$; $f_1'(x) = 2$.
3. Monte o produto de fora para dentro. $3[\sin(2x)]^2 \cdot \cos(2x) \cdot 2$.
4. Simplifique. $6\sin^2(2x)\cos(2x)$.

Macete: em tripla composição, sempre monte o produto da camada mais externa para a mais interna. Nunca pule uma camada.

1. Identifique. $\ln(\ln x)$ é composição do logaritmo consigo mesmo: $f(u) = \ln u$ (fora), $g(x) = \ln x$ (dentro).
2. Derive a fora. $f'(u) = 1/u$ avaliada em $\ln x$: $1/\ln x$.
3. Derive a dentro. $g'(x) = 1/x$.
4. Resultado. $(1/\ln x) \cdot (1/x) = 1/(x\ln x)$.

Observação: o domínio natural exige $x > 1$ para que o logaritmo interno $\ln x > 0$ (argumento do logaritmo externo deve ser positivo).

1. Reconheça o produto. Dois fatores: $u = x$ e $v = \sin(x^2)$. Use a regra do produto, não a cadeia diretamente.
2. Derive cada fator. $u' = 1$. Para $v' = (\sin(x^2))'$: cadeia com dentro $x^2$, derivada $2x$. Logo $v' = \cos(x^2) \cdot 2x$.
3. Regra do produto. $(uv)' = u'v + uv' = 1 \cdot \sin(x^2) + x \cdot 2x\cos(x^2)$.
4. Resultado. $\sin(x^2) + 2x^2\cos(x^2)$.

Macete: neste tipo de exercício, primeiro identifique SE é produto ou composição. $x \cdot \sin(x^2)$ é produto. $\sin(x \cdot x^2) = \sin(x^3)$ seria composição pura.

1. Velocidade. $s(t) = \sin(\omega t)$. Pela cadeia: dentro $\omega t$, derivada $\omega$. Logo $s'(t) = \cos(\omega t) \cdot \omega = \omega\cos(\omega t)$.
2. Aceleração. Derive a velocidade: $s''(t) = (\omega\cos(\omega t))'$. Cadeia novamente em $\cos(\omega t)$: $\omega \cdot (-\sin(\omega t)) \cdot \omega = -\omega^2\sin(\omega t)$.
3. Interpretação física. $s''(t) = -\omega^2 s(t)$. Aceleração proporcional ao negativo do deslocamento — isso é a equação do pêndulo simples e da mola (Lei de Hooke).

Curiosidade: qualquer função que satisfaça $y'' = -\omega^2 y$ é combinação de $\sin(\omega t)$ e $\cos(\omega t)$. Isso é a base das equações diferenciais de segunda ordem.

1. P(0). $P(0) = K/(1+e^0) = K/2$. A população começa em metade da capacidade de carga.
2. Reescreva para aplicar a cadeia. $P(t) = K(1+e^{-rt})^{-1}$. Fora: $u^{-1}$. Dentro: $1 + e^{-rt}$.
3. Derive. Fora: $-u^{-2}$. Dentro: a derivada de $e^{-rt}$ é $-re^{-rt}$ (cadeia interna). Logo $P'(t) = K \cdot (-(1+e^{-rt})^{-2}) \cdot (-re^{-rt}) = rKe^{-rt}/(1+e^{-rt})^2$.
4. Em t=0. $P'(0) = rK/(1+1)^2 = rK/4$. Taxa máxima de crescimento ocorre em $P = K/2$.

Curiosidade: o ponto de inflexão do crescimento logístico ocorre exatamente quando a população atinge metade da capacidade de carga — é quando o crescimento é mais rápido.

1. Identifique as 3 camadas. Mais externa: $f_3(u) = \sin u$, derivada $\cos u$. Intermediária: $f_2(v) = \cos v$, derivada $-\sin v$. Mais interna: $f_1(x) = \sin x$, derivada $\cos x$.
2. Camada externa avaliada. $\cos(\cos(\sin x))$.
3. Camada intermediária avaliada. $-\sin(\sin x)$.
4. Camada interna. $\cos x$.
5. Produto. $\cos(\cos(\sin x)) \cdot (-\sin(\sin x)) \cdot \cos x$.