v1 · padrão canônico

Lição 55 — Derivadas de ordem superior

Segunda derivada (concavidade, aceleração), terceira derivada (jerk), fórmulas de ordem n, pontos de inflexão e prévia de série de Taylor.

Used in: Cálculo I (Brasil) · Equiv. Math III japonês (cap. 4) · Equiv. Analysis LK alemão

f''(x) = \frac{d}{dx}\!\left[\frac{dy}{dx}\right] = \frac{d^2y}{dx^2}

A segunda derivada é a derivada da derivada. Fisicamente: se $f$ é posição, então $f'$ é velocidade e $f''$ é aceleração. Geometricamente: $f'' > 0$ significa curva côncava para cima (sorriso); $f'' < 0$ significa curva côncava para baixo (chapéu). Onde $f''$ muda de sinal há um ponto de inflexão.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Derivadas de ordem superior

"Se $y = f(x)$ , então a segunda derivada de $f$ é a derivada de $f'$ e é denotada $f''(x)$ ou $d^2 y/dx^2$ . O processo de calcular derivadas sucessivas é chamado de diferenciação repetida." — OpenStax Calculus Vol. 1, §3.2

Notações equivalentes

Notação	Leitura	Observação
$f''(x)$	"f dois linhas de x"	Newton; $n = 2$
$\dfrac{d^2y}{dx^2}$	"d dois y sobre d x ao quadrado"	Leibniz
$D^2 f$	"D dois f"	operatorial
$\ddot{y}$	"y dois pontos"	física; variável independente é $t$
$f^{(n)}(x)$	"f enésima de x"	ordem geral
$\dfrac{d^n y}{dx^n}$	"d enésima y"	Leibniz geral

Tabela: fórmulas fechadas de ordem $n$

$f(x)$	$f^{(n)}(x)$	Validade
$e^{ax}$	$a^n e^{ax}$	$a \in \mathbb{R}$ , $n \geq 0$
$\sin x$	$\sin\!\bigl(x + \tfrac{n\pi}{2}\bigr)$	$n \geq 0$
$\cos x$	$\cos\!\bigl(x + \tfrac{n\pi}{2}\bigr)$	$n \geq 0$
$x^k$	$\dfrac{k!}{(k-n)!} x^{k-n}$	$k \geq n$ ; zero se $k < n$
$\ln x$	$(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{x^n}$	$x > 0$ , $n \geq 1$
$\dfrac{1}{x}$	$(-1)^n \dfrac{n!}{x^{n+1}}$	$x \neq 0$ , $n \geq 0$

Significado geométrico — concavidade

"Se $f''(x) > 0$ para todo $x$ em $(a, b)$ , então $f$ é côncava para cima em $(a, b)$ . Se $f''(x) < 0$ para todo $x$ em $(a, b)$ , então $f$ é côncava para baixo em $(a, b)$ ." — Active Calculus, §1.6

Concavidade determinada pelo sinal de f''. Na curva azul, f'' > 0 — a função "abre para cima". Na curva laranja, f'' < 0 — a função "fecha para baixo".

Regra de Leibniz para produto

$(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}\, g^{(n-k)}$

Análogo perfeito do binômio de Newton: substitua potência por derivada de ordem correspondente.

Polinômio de Taylor de grau $n$

T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k

what this means · Polinômio de Taylor de grau n em torno de a. Cada coeficiente é determinado pela derivada de ordem k de f avaliada em a, dividida por k fatorial. É a melhor aproximação polinomial de f nas vizinhanças de a.

Exemplos resolvidos

Example— 1· Segunda e terceira derivadas de polinômio (aplicacao)

Problema. Seja $f(x) = x^4 - 6x^3 + 5x + 1$ . Calcule $f'(x)$ , $f''(x)$ e $f'''(x)$ .

Estratégia. Derivar sucessivamente, usando a regra da potência $(x^n)' = nx^{n-1}$ a cada etapa.

Resolução.

Passo 1 — Primeira derivada:

$f'(x) = 4x^3 - 18x^2 + 5$

Passo 2 — Segunda derivada (derivar $f'$ ):

$f''(x) = 12x^2 - 36x$

Passo 3 — Terceira derivada (derivar $f''$ ):

$f'''(x) = 24x - 36$

Verificação por contagem de grau. $f$ tem grau 4; $f'$ grau 3; $f''$ grau 2; $f'''$ grau 1; $f^{(4)} = 24$ ; $f^{(5)} = 0$ . Consistente.

Fonte. Active Calculus — Boelkins, §1.6 — CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Aceleração a partir de posição (modelagem fisica)

Problema. A posição de uma partícula (em metros) é dada por $s(t) = 3t^3 - 12t^2 + 9t$ , $t \geq 0$ (segundos). Encontre velocidade $v(t)$ , aceleração $a(t)$ , e jerk $j(t)$ . Em que instante a aceleração é zero?

Estratégia. $v = s'$ , $a = s'' = v'$ , $j = s''' = a'$ . Resolver $a(t) = 0$ .

Resolução.

$v(t) = s'(t) = 9t^2 - 24t + 9$

$a(t) = s''(t) = 18t - 24$

$j(t) = s'''(t) = 18 \text{ m/s}^3 \text{ (constante)}$

Aceleração zero: $18t - 24 = 0 \Rightarrow t = 4/3$ s.

Para $t < 4/3$ : $a < 0$ (partícula desacelera). Para $t > 4/3$ : $a > 0$ (partícula acelera). O jerk constante indica que o fluxo de aceleração é uniforme.

Fonte. APEX Calculus — Hartman, §2.2 — CC-BY-NC.

Example— 3· Padrao da n-esima derivada de sin x (demonstrativo)

Problema. Determine $(\sin x)^{(n)}$ para todo $n \geq 0$ .

Estratégia. Calcular as primeiras derivadas e identificar o padrão cíclico de período 4.

Resolução.

$(\sin x)^{(0)} = \sin x$ $(\sin x)^{(1)} = \cos x = \sin\!\bigl(x + \tfrac{\pi}{2}\bigr)$ $(\sin x)^{(2)} = -\sin x = \sin\!\bigl(x + \pi\bigr)$ $(\sin x)^{(3)} = -\cos x = \sin\!\bigl(x + \tfrac{3\pi}{2}\bigr)$ $(\sin x)^{(4)} = \sin x = \sin\!\bigl(x + 2\pi\bigr)$

O ciclo se repete. A fórmula geral é:

$(\sin x)^{(n)} = \sin\!\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$

Verificação: $(\sin x)^{(100)} = \sin(x + 50\pi) = \sin x$ , pois $\sin$ tem período $2\pi$ e $50\pi = 25 \cdot 2\pi$ .

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1, §3.2 — CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Analise completa de concavidade e pontos de inflexao (intermediario)

Problema. Para $f(x) = x^4 - 4x^3$ , determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

Estratégia. Calcular $f''$ , encontrar zeros, montar tabela de sinal, identificar mudanças de sinal.

Resolução.

$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$ $f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x - 2)$

Zeros de $f''$ : $x = 0$ e $x = 2$ .

Tabela de sinal:

Intervalo	Sinal de $12x$	Sinal de $(x-2)$	Sinal de $f''$	Concavidade
$(-\infty, 0)$	$-$	$-$	$+$	para cima
$(0, 2)$	$+$	$-$	$-$	para baixo
$(2, +\infty)$	$+$	$+$	$+$	para cima

Pontos de inflexão: $x = 0$ e $x = 2$ (ambos com mudança de sinal de $f''$ ).

$f(0) = 0$ e $f(2) = 16 - 32 = -16$ .

Inflexões: $(0, 0)$ e $(2, -16)$ .

Fonte. Active Calculus — Boelkins, §1.6 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Polinomio de Taylor de grau 2 em torno de a = 0 (previa)

Problema. Encontre o polinômio de Taylor de grau 2 de $f(x) = e^x$ em torno de $a = 0$ .

Estratégia. Aplicar a fórmula $T_2(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2$ .

Resolução.

$(e^x)^{(n)} = e^x$ para todo $n$ . Logo:

$f(0) = e^0 = 1, \quad f'(0) = 1, \quad f''(0) = 1$

$T_2(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2}$

Verificação numérica. Para $x = 0{,}1$ : $e^{0{,}1} \approx 1{,}10517$ ; $T_2(0{,}1) = 1 + 0{,}1 + 0{,}005 = 1{,}105$ . Erro $\approx 0{,}00017$ . Excelente para $x$ pequeno.

Interpretação. A segunda derivada $f''(0) = 1 > 0$ garante que $e^x$ tem concavidade para cima em $x = 0$ , o que o paraboloide $T_2$ captura corretamente.

Fonte. Active Calculus — Boelkins, §8.3 — CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 24Understanding 3Modeling 8Challenge 3Proof 2

Ex. 55.1Application
Seja $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 5$ . Calcule $f'(x)$ e $f''(x)$ .
Solve online Active Calculus · §1.6 · p. ex. 1.6.1
Show solution
Primeira derivada: $f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$ . Segunda derivada: $f''(x) = 6x - 4$ . O termo constante desaparece a cada derivação.
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique a função. $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 5$ . Objetivo: derivar duas vezes.
2. Primeira derivada. Aplicando regra da potência em cada termo: $f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$ . O termo constante $-5$ desaparece.
3. Segunda derivada. Derivando $f'$ : $f''(x) = 6x - 4$ . O termo constante $1$ desaparece.
4. Macete: cada derivação reduz o grau em 1 e multiplica por esse grau. Conferência rápida: grau de $f$ é 3, grau de $f''$ é 1. Correto.
Ex. 55.2Application
Seja $f(x) = x^5 - 3x^2 + x + 2$ . Calcule $f''(x)$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.2 · p. ex. 3.2.107
Show solution
Primeira derivada: $f'(x) = 5x^4 - 6x + 1$ . Segunda derivada: $f''(x) = 20x^3 - 6$ .
Ex. 55.3Application
Seja $f(x) = \sin x$ . Calcule $f''(x)$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.2
Show solution
Primeira derivada: $f'(x) = \cos x$ . Segunda derivada: $f''(x) = -\sin x$ .
Ex. 55.4Application
Seja $f(x) = \cos(2x)$ . Calcule $f''(x)$ .
Solve online Active Calculus · §1.6
Show solution
Pela regra da cadeia: $f'(x) = -2\sin(2x)$ . Segunda derivada: $f''(x) = -4\cos(2x)$ .
Ex. 55.5Application
Seja $f(x) = \ln x$ . Calcule $f''(x)$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.2
Show solution
$f(x) = \ln x$ tem $f'(x) = x^{-1}$ . Segunda derivada: $f''(x) = -x^{-2} = -1/x^2$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Primeira derivada. $(\ln x)' = 1/x = x^{-1}$ .
2. Segunda derivada. Derivando $x^{-1}$ pela regra da potência: $(-1) \cdot x^{-2} = -1/x^2$ .
3. Observação: $f''(x) < 0$ para todo $x > 0$ — o logaritmo é côncavo para baixo em todo o domínio.
Ex. 55.6ApplicationAnswer key
Seja $f(x) = xe^x$ . Calcule $f''(x)$ .
Solve online APEX Calculus · §2.2
Show solution
Pela regra do produto: $f'(x) = e^x + xe^x = (1+x)e^x$ . Derivando novamente: $f''(x) = e^x + (1+x)e^x = (2+x)e^x$ .
Ex. 55.7Application
Seja $f(x) = x^2 \ln x$ . Calcule $f''(x)$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.2
Show solution
Pela regra do produto: $f'(x) = 2x\ln x + x^2 \cdot (1/x) = 2x\ln x + x$ . Derivando novamente: $f''(x) = 2\ln x + 2x \cdot (1/x) + 1 = 2\ln x + 3$ .
Ex. 55.8Application
Seja $f(x) = x^4 - 4x^3 + 1$ . Calcule $f'''(x)$ .
Solve online Active Calculus · §1.6
Show solution
$f'(x) = 4x^3 - 12x^2$ , $f''(x) = 12x^2 - 24x$ , $f'''(x) = 24x - 24$ .
Ex. 55.9ApplicationAnswer key
Seja $f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$ . Calcule $f''(0)$ .
Solve online APEX Calculus · §3.4
Show solution
Pela regra do quociente: $f(x) = (1+x^2)^{-1}$ . $f'(x) = -2x(1+x^2)^{-2}$ . Pela regra da cadeia e do produto: $f''(x) = -2(1+x^2)^{-2} + 8x^2(1+x^2)^{-3}$ . Em $x = 0$ : $f''(0) = -2 \cdot 1 + 0 = -2$ .
Ex. 55.10Application
Seja $f(x) = \sqrt{x}$ . Calcule $f''(x)$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.2
Show solution
$f(x) = x^{1/2}$ . $f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2}$ . $f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} = -\frac{1}{4x^{3/2}}$ . Note que $f'' < 0$ para todo $x > 0$ — a raiz quadrada é côncava para baixo.
Ex. 55.11ApplicationAnswer key
Seja $f(x) = \cos(2x)$ . Calcule $f^{(4)}(x)$ .
Solve online Active Calculus · §1.6
Show solution
$f^{(1)} = -2\sin(2x)$ , $f^{(2)} = -4\cos(2x)$ , $f^{(3)} = 8\sin(2x)$ , $f^{(4)} = 16\cos(2x)$ . Cada derivação multiplica por 2 e avança o ciclo seno→cosseno.
Ex. 55.12Application
Seja $f(x) = x^4$ . Calcule $f^{(5)}(x)$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.2
Show solution
$f(x) = x^4$ é polinômio de grau 4. A quinta derivada de qualquer polinômio de grau 4 é zero, pois $(x^4)^{(4)} = 4! = 24$ é constante e a derivada de constante é zero.
Ex. 55.13Application
Seja $f(x) = e^{2x}$ . Determine $f^{(n)}(x)$ para todo $n \geq 1$ .
Solve online Active Calculus · §1.6
Show solution
Cada derivação de $e^{2x}$ pela regra da cadeia multiplica por 2: $f^{(1)} = 2e^{2x}$ , $f^{(2)} = 4e^{2x}$ . Em geral $f^{(n)} = 2^n e^{2x}$ .
Ex. 55.14ApplicationAnswer key
Determine $(\sin x)^{(100)}$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.2
Show solution
O seno tem ciclo de período 4 nas derivadas. $100 = 4 \times 25$ , resto 0. Portanto $(\sin x)^{(100)} = (\sin x)^{(0)} = \sin x$ .
Ex. 55.15Application
Seja $f(x) = \dfrac{1}{x}$ . Determine a fórmula geral $f^{(n)}(x)$ .
Solve online APEX Calculus · §2.2
Show solution
$f(x) = x^{-1}$ . $f^{(1)} = -x^{-2}$ , $f^{(2)} = 2x^{-3}$ , $f^{(3)} = -6x^{-4}$ . Padrão: $f^{(n)} = (-1)^n n! x^{-(n+1)}$ . Alternância de sinal vem do produto dos fatores negativos consecutivos.
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule as primeiras derivadas. $f = x^{-1}$ : $f' = -1 \cdot x^{-2}$ , $f'' = (-1)(-2)x^{-3} = 2x^{-3}$ , $f''' = (-1)(-2)(-3)x^{-4} = -6x^{-4}$ .
2. Identifique o padrão. Coeficiente de $f^{(n)}$ : $(-1)^n \cdot n!$ . Expoente: $-(n+1)$ .
3. Escreva a fórmula geral. $f^{(n)}(x) = (-1)^n n! x^{-(n+1)}$ .
4. Curiosidade: essa fórmula é um caso especial da derivada de $x^k$ : $(x^k)^{(n)} = k(k-1)\cdots(k-n+1)x^{k-n}$ , com $k = -1$ .
Ex. 55.16Application
Para $f(x) = x^4 - 4x^3 + 1$ , determine os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.
Solve online Active Calculus · §1.6 · p. ex. 1.6.5
Show solution
$f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x-2)$ . Zeros em $x = 0$ e $x = 2$ . $f'' > 0$ em $(-\infty, 0)$ , $f'' < 0$ em $(0, 2)$ , $f'' > 0$ em $(2, +\infty)$ . Ambos os zeros são inflexões (muda sinal em cada um).
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule $f''$ . $f(x) = x^4 - 4x^3 + 1$ . $f' = 4x^3 - 12x^2$ . $f'' = 12x^2 - 24x = 12x(x-2)$ .
2. Zeros de $f''$ . $12x(x-2) = 0 \Rightarrow x = 0$ ou $x = 2$ .
3. Tabela de sinal. Em $x = -1$ : $f'' = 36 > 0$ . Em $x = 1$ : $f'' = -12 < 0$ . Em $x = 3$ : $f'' = 36 > 0$ .
4. Conclusão. $f''$ muda de sinal em ambos os pontos — inflexões em $x = 0$ e $x = 2$ .
5. Atalho mental: quando $f''$ se fatorar como produto de dois fatores lineares distintos, cada zero é automaticamente uma inflexão (sinal alterna a cada zero simples).
Ex. 55.17Application
Para $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ , determine os intervalos de concavidade e o ponto de inflexão.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.5
Show solution
$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ . $f'' = 6x - 6 = 6(x - 1)$ . Para $x < 1$ : $f'' < 0$ (côncava para baixo). Para $x > 1$ : $f'' > 0$ (côncava para cima). Inflexão em $x = 1$ , com $f(1) = 0$ .
Ex. 55.18ApplicationAnswer key
Para $f(x) = e^{-x^2}$ , calcule $f''(0)$ .
Solve online Active Calculus · §1.6
Show solution
$f(x) = e^{-x^2}$ . Pela regra da cadeia: $f'(x) = -2x e^{-x^2}$ . Pela regra do produto: $f''(x) = -2e^{-x^2} + (-2x)(-2x)e^{-x^2} = (-2 + 4x^2)e^{-x^2}$ . Em $x = 0$ : $f''(0) = -2 \cdot 1 = -2$ .
Ex. 55.19Application
Para $f(x) = x^5 - 5x^4$ , determine os pontos de inflexão.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.5 · p. ex. 4.5.1
Show solution
$f(x) = x^5 - 5x^4$ . $f' = 5x^4 - 20x^3$ . $f'' = 20x^3 - 60x^2 = 20x^2(x - 3)$ . Zeros: $x = 0$ (duplo) e $x = 3$ . Em $x = -1$ , $f'' = 80 > 0$ ; em $x = 1$ , $f'' = -40 < 0$ ; em $x = 4$ , $f'' > 0$ . Mudança de sinal em $x = 0$ e $x = 3$ — ambos são inflexões.
Ex. 55.20Understanding
Se $f''(c) = 0$ , podemos concluir que $c$ é ponto de inflexão de $f$ ?
Select the correct option
Não necessariamente — $f''(c) = 0$ é condição necessária mas não suficiente para inflexãoSim, todo zero de $f''$ é ponto de inflexãoSim, se $f$ for polinômioNão — inflexão exige $f'(c) = 0$ também
Select an option first
Solve online Active Calculus · §1.6
Show solution
Contraexemplo: $f(x) = x^4$ . $f''(x) = 12x^2$ e $f''(0) = 0$ . Mas $f'' \geq 0$ em todo $\mathbb{R}$ — não muda de sinal. Condição suficiente para inflexão: $f''$ muda de sinal ao passar por $c$ .
Ex. 55.21Understanding
Se $f'(c) = 0$ e $f''(c) > 0$ , o que se conclui sobre $c$ ?
Select the correct option
$c$ é mínimo local $c$ é máximo local $c$ é ponto de inflexãoO teste é inconclusivo — não dá para concluir
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.5
Show solution
Se $f'(c) = 0$ e $f''(c) > 0$ , pela expansão de Taylor de ordem 2: $f(c+h) \approx f(c) + \frac{f''(c)}{2}h^2 > f(c)$ para $h \neq 0$ pequeno. Logo $c$ é mínimo local. A curvatura positiva garante que a função "abre para cima" ao redor de $c$ .
Ex. 55.22Application
Determine a concavidade de $f(x) = e^x$ em todo o domínio.
Solve online Active Calculus · §1.6
Show solution
$f(x) = e^x$ tem $f''(x) = e^x > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$ . Portanto $e^x$ é côncava para cima em todo o domínio. Isso implica que $e^x$ é uma função estritamente convexa.
Ex. 55.23ApplicationAnswer key
Analise a concavidade de $f(x) = x^3$ e identifique o ponto de inflexão.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.5
Show solution
$f(x) = x^3$ . $f''(x) = 6x$ . Para $x < 0$ : $f'' < 0$ (côncava para baixo). Para $x > 0$ : $f'' > 0$ (côncava para cima). Inflexão em $x = 0$ — o ponto $(0, 0)$ é onde a curva muda de "chapéu" para "sorriso".
Ex. 55.24Application
Para $f(x) = x^4 - 6x^2$ , determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Solve online APEX Calculus · §3.4
Show solution
$f(x) = x^4 - 6x^2$ . $f'' = 12x^2 - 12 = 12(x-1)(x+1)$ . Zeros: $x = \pm 1$ . $f'' > 0$ em $(-\infty, -1)$ e $(1, +\infty)$ ; $f'' < 0$ em $(-1, 1)$ . Inflexões em $x = -1$ e $x = 1$ , com $f(-1) = f(1) = -5$ .
Ex. 55.25Understanding
Explique por que $(\sin x)^{(4)} = \sin x$ e por que $(e^x)^{(n)} = e^x$ para todo $n \geq 0$ .
Solve online Active Calculus · §1.6
Show solution
Para o seno: derivar quatro vezes percorre o ciclo $\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin$ , retornando ao ponto de partida — período 4. Para a exponencial: $(e^x)' = e^x$ — ela é o único ponto fixo do operador derivada (a menos de constante multiplicativa), portanto $(e^x)^{(n)} = e^x$ para todo $n$ .
Ex. 55.26ApplicationAnswer key
Derive a fórmula de $(fg)''$ a partir da regra do produto, e identifique a analogia com o binômio de Newton.
Solve online APEX Calculus · §2.2
Show solution
Pela regra do produto: $(fg)' = f'g + fg'$ . Derivando novamente: $(fg)'' = f''g + f'g' + f'g' + fg'' = f''g + 2f'g' + fg''$ . O coeficiente 2 no termo misto é análogo ao binômio $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .
Ex. 55.27Application
Seja $f(x) = (1 + x)^{10}$ . Calcule $f^{(10)}(0)$ .
Solve online Active Calculus · §8.3
Show solution
$f(x) = (1+x)^{10}$ . O coeficiente do termo $x^{10}$ na expansão binomial é $\binom{10}{10} = 1$ . Portanto $f^{(10)}(x) = 10! \cdot 1 = 10!$ (constante). Avaliando em $x = 0$ : $f^{(10)}(0) = 10! = 3628800$ .
Ex. 55.28Modeling
Posição de uma partícula: $s(t) = 4t^3 - t^4$ (metros, $t$ em segundos). Calcule $v(1)$ , $a(1)$ e $j(1)$ , e interprete $j(1) = 0$ .
Solve online APEX Calculus · §2.2 · p. ex. 2.2.7
Show solution
$s(t) = 4t^3 - t^4$ . Velocidade: $v(t) = 12t^2 - 4t^3$ ; $v(1) = 12 - 4 = 8$ m/s. Aceleração: $a(t) = 24t - 12t^2$ ; $a(1) = 24 - 12 = 12$ m/s². Jerk: $j(t) = 24 - 24t$ ; $j(1) = 0$ m/s³. O jerk nulo em $t = 1$ indica que a aceleração está no máximo (ponto de inflexão da curva de aceleração).
Show step-by-step (with the why)
1. Velocidade. $v(t) = s'(t) = 12t^2 - 4t^3$ . $v(1) = 12 - 4 = 8$ m/s.
2. Aceleração. $a(t) = v'(t) = 24t - 12t^2$ . $a(1) = 24 - 12 = 12$ m/s².
3. Jerk. $j(t) = a'(t) = 24 - 24t$ . $j(1) = 0$ m/s³.
4. Interpretação: jerk = 0 em $t = 1$ significa que a aceleração não está mudando naquele instante — ela atingiu seu valor extremo.
Ex. 55.29Modeling
Pêndulo: $\theta(t) = A\cos(\omega t)$ . Calcule $\ddot{\theta}$ e verifique que $\ddot{\theta} + \omega^2\theta = 0$ .
Solve online APEX Calculus · §2.2
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$\theta(t) = A\cos(\omega t)$ . $\dot\theta = -A\omega\sin(\omega t)$ . $\ddot\theta = -A\omega^2\cos(\omega t) = -\omega^2 \theta(t)$ . Portanto $\ddot\theta + \omega^2\theta = 0$ — equação do pêndulo simples (para pequenas amplitudes). A segunda derivada de posição angular é proporcional à posição, com sinal negativo — princípio da restauração.
Ex. 55.30Modeling
Custo de produção: $C(q) = q^3 - 6q^2 + 15q$ (R$ mil). Calcule $C''(q)$ e interprete o ponto de inflexão como "custo marginal mínimo".
Solve online Active Calculus · §1.6
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$C(q) = q^3 - 6q^2 + 15q$ . $C'(q) = 3q^2 - 12q + 15$ (custo marginal). $C''(q) = 6q - 12 = 6(q - 2)$ . Zero em $q = 2$ . Para $q < 2$ : $C'' < 0$ (custo marginal decrescente). Para $q > 2$ : $C'' > 0$ (custo marginal crescente). Inflexão em $q = 2$ é o ponto de custo marginal mínimo — máxima eficiência de escala.
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule $C''$ . $C'(q) = 3q^2 - 12q + 15$ . $C''(q) = 6q - 12$ .
2. Zero de $C''$ . $6q - 12 = 0 \Rightarrow q = 2$ .
3. Sinal. $C'' < 0$ para $q < 2$ ; $C'' > 0$ para $q > 2$ . Mudança de sinal: inflexão confirmada.
4. Interpretação econômica: o custo marginal $C'$ atinge seu mínimo em $q = 2$ . Produzir abaixo de 2 unidades: ainda há ganho de escala. Acima de 2: custo marginal começa a subir.
Ex. 55.31ModelingAnswer key
Posição de veículo: $s(t) = 10t^3 - 30t^2 + 5$ (metros). Calcule $v(t)$ , $a(t)$ , $j(t)$ e determine quando a aceleração é zero.
Solve online APEX Calculus · §2.2
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$s(t) = 10t^3 - 30t^2 + 5$ . Velocidade: $v(t) = 30t^2 - 60t$ . Aceleração: $a(t) = 60t - 60 = 60(t-1)$ . Jerk: $j(t) = 60$ m/s³ (constante). Aceleração zero em $t = 1$ s. Para $t < 1$ : $a < 0$ ; para $t > 1$ : $a > 0$ . Jerk constante indica variação linear da aceleração.
Ex. 55.32Modeling
Altura de projétil: $h(t) = -4{,}9t^2 + v_0 t + h_0$ . Calcule $h''(t)$ e identifique seu significado físico.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.2
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$h(t) = -4{,}9t^2 + v_0 t + h_0$ . $h'(t) = -9{,}8t + v_0$ (velocidade). $h''(t) = -9{,}8$ m/s² — a aceleração gravitacional, constante e negativa (aponta para baixo). A segunda derivada de posição sob gravidade é sempre $-g$ , independente de $v_0$ e $h_0$ .
Ex. 55.33Modeling
Em um sistema mecânico, a energia potencial $U(\theta)$ tem ponto crítico em $\theta_0$ . O que $U''(\theta_0) > 0$ versus $U''(\theta_0) < 0$ implica sobre a estabilidade do equilíbrio?
Solve online APEX Calculus · §3.4
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Num sistema com energia potencial $U(\theta)$ , equilíbrio ocorre onde $U'(\theta_0) = 0$ . O teste da segunda derivada classifica: $U''(\theta_0) > 0$ — $U$ tem mínimo local, equilíbrio estável (sistema retorna se perturbado). $U''(\theta_0) < 0$ — $U$ tem máximo local, equilíbrio instável (sistema escapa se perturbado). A segunda derivada quantifica a curvatura do potencial, ou seja, a rigidez efetiva do sistema.
Ex. 55.34Modeling
Usando as três primeiras derivadas de $f(x) = e^x$ em $a = 0$ , escreva o polinômio de Taylor $T_2(x)$ e estime o erro para $x = 0{,}1$ .
Solve online Active Calculus · §8.3
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$f(x) = e^x$ . $f(0) = 1$ , $f'(0) = 1$ , $f''(0) = 1$ . $T_2(x) = 1 + x + \frac{1}{2}x^2$ . Para $x = 0{,}1$ : $T_2 = 1 + 0{,}1 + 0{,}005 = 1{,}105$ ; $e^{0{,}1} \approx 1{,}10517$ ; erro $\approx 0{,}00017$ .
Ex. 55.35ModelingAnswer key
Escreva o polinômio de Taylor de grau 2 de $f(x) = \cos x$ em torno de $a = 0$ e verifique para $x = 0{,}1$ .
Solve online Active Calculus · §8.3
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$f(x) = \cos x$ . $f(0) = 1$ , $f'(0) = -\sin(0) = 0$ , $f''(0) = -\cos(0) = -1$ . $T_2(x) = 1 + 0 \cdot x + \frac{-1}{2}x^2 = 1 - \frac{x^2}{2}$ . Para $x = 0{,}1$ : $T_2 = 0{,}995$ ; $\cos(0{,}1) \approx 0{,}99500$ . Aproximação excelente — termo de erro é de ordem $x^4/24$ .
Ex. 55.36Challenge
Calcule $f^{(n)}(x)$ para $f(x) = \ln(1+x)$ e escreva o polinômio de Taylor $T_n(x)$ em torno de $a = 0$ .
Solve online Active Calculus · §8.3
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Para $f(x) = \ln(1+x)$ : $f'(x) = (1+x)^{-1}$ , $f''(x) = -(1+x)^{-2}$ , $f'''(x) = 2(1+x)^{-3}$ . Padrão: $f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1}(n-1)!(1+x)^{-n}$ . Em $x = 0$ : $f^{(n)}(0) = (-1)^{n-1}(n-1)!$ . Portanto $\frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ , e $T_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k}x^k$ .
Ex. 55.37Challenge
Para $f(x) = x^x$ ( $x > 0$ ), calcule $f''(x)$ usando derivada logarítmica.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.2
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Tome logaritmo: $\ln f = x\ln x$ . Derive: $f'/f = \ln x + 1$ , logo $f' = x^x(1 + \ln x)$ . Derive novamente pela regra do produto: $f'' = x^x(1 + \ln x)^2 + x^x \cdot \frac{1}{x} = x^x(1 + \ln x)^2 + x^{x-1}$ .
Ex. 55.38Challenge
Enuncie a fórmula de Leibniz $(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}$ e descreva a estrutura do argumento por indução que a prova.
Solve online APEX Calculus · §2.2
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Para $n = 1$ : $(fg)' = f'g + fg'$ — regra do produto. Suponha válido para $n = m$ . Derive ambos os lados e use a identidade de Pascal $\binom{m}{k} + \binom{m}{k-1} = \binom{m+1}{k}$ para combinar os termos. Obtém-se a fórmula para $n = m+1$ . Por indução, vale para todo $n \geq 1$ .
Ex. 55.39ProofAnswer key
Demonstração. Seja $f$ duas vezes diferenciável em $[0, 1]$ , com $f(0) = f(1) = 0$ e $f' \not\equiv 0$ . Existe $c \in (0, 1)$ com $f''(c) = 0$ ? Justifique.
Solve online Active Calculus · §1.6
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Dado $f(0) = f(1) = 0$ e $f$ diferenciável, pelo Teorema de Rolle existe $c_1 \in (0, 1)$ com $f'(c_1) = 0$ . Como $f' \not\equiv 0$ , existe algum ponto onde $f' \neq 0$ . Em particular, $f'$ tem zeros (pelo menos $c_1$ ). Aplicando Rolle a $f'$ em um intervalo onde $f'$ assume o mesmo valor em dois pontos (ou usando TVM entre um zero de $f'$ e um ponto onde $f' \neq 0$ ), obtém-se $c \in (0, 1)$ com $f''(c) = 0$ .
Ex. 55.40Proof
Demonstração. Prove que se $f$ é duas vezes diferenciável e $f''(x) \geq 0$ em $(a, b)$ , então $f$ é convexa em $(a, b)$ .
Solve online Active Calculus · §1.6
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Se $f'' \geq 0$ em $(a,b)$ , então $f'$ é não decrescente. Dados $x_1 < x < x_2$ em $(a,b)$ , escreva $x = \lambda x_1 + (1-\lambda)x_2$ com $\lambda \in (0,1)$ . Pelo TVM: $f(x_2) - f(x) \geq f'(x)(x_2 - x)$ e $f(x) - f(x_1) \leq f'(x)(x - x_1)$ (monotonicidade de $f'$ ). Multiplicando a primeira por $\lambda$ e a segunda por $1-\lambda$ e combinando, obtém-se $f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2)$ — definição de convexidade.

Fontes

Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · §1.6 (The Second Derivative), §8.3 (Taylor Polynomials). Fonte primária. CC-BY-NC-SA.
Calculus, Volume 1 — OpenStax · 2016 · §3.2 (The Derivative as a Function), §4.5 (Derivatives and the Shape of a Graph). CC-BY-NC-SA.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · v5 · §2.2 (Interpretations of the Derivative), §3.4 (Concavity and the Second Derivative). CC-BY-NC.