Lição 71 — Medidas de tendência central: média, mediana, moda

Dados: 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9. Calcule a média, a mediana e a moda.

Notas de 8 alunos: 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10. Calcule a média, a mediana e a moda.

Salários mensais (R$ mil): 2, 2, 3, 4, 5, 50. Compare média e mediana. Qual representa melhor o salário típico?

Idades de 7 participantes: 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24. Calcule a média, mediana e moda.

Tempos de carregamento (s): 0,5; 0,7; 0,8; 0,9; 1,1; 1,5; 7,0. Calcule a média e a mediana. A mediana é mais informativa que a média neste caso?

Cores de carros num estacionamento: 12 brancos, 8 pretos, 5 cinzas, 5 vermelhos. Qual medida de tendência central é apropriada?

Dados: 1, 1, 2, 3, 5, 5, 7. Determine a(s) moda(s). Como se classifica esta distribuição?

Tabela de frequências: $x$ = 4, 5, 6, 7, 8 com frequências $f$ = 2, 3, 5, 3, 2. Calcule a média aritmética.

Dados agrupados: intervalos $[0,10)$, $[10,20)$, $[20,30)$ com frequências 5, 12, 3. Calcule a média usando pontos médios.

Uma turma tem média de idade $\bar{x} = 17{,}5$ anos. Um novo aluno de 20 anos entra e a nova média passa a $17{,}75$ anos. Quantos alunos havia originalmente?

Calcule média, mediana e moda para: 3, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 9.

Calcule média, mediana e moda(s) para: 10, 10, 11, 12, 13, 14, 14, 15, 19.

Por que o IBGE prefere usar a mediana (e não a média) para descrever a renda domiciliar per capita do Brasil?

Tempo de espera num pronto-socorro: a maioria é atendida em 1 a 2 horas, mas alguns casos graves esperam mais de 10 horas. Qual medida usar para descrever o tempo de espera típico? Justifique.

Um fabricante quer declarar a vida útil típica de suas lâmpadas LED. Sugira qual medida de tendência central usar e justifique.

Uma pesquisa eleitoral pergunta a 1.000 eleitores qual partido pretendem votar. Qual medida de tendência central identificará o partido preferido?

Para uma distribuição unimodal com assimetria à direita (cauda longa positiva), qual é a ordem típica entre moda, mediana e média? Explique intuitivamente.

Distribuição uniforme em $[0, 10]$. Determine a média, a mediana e discuta a moda. O que isso diz sobre distribuições simétricas?

As notas do ENEM têm distribuição próxima do normal. Média ou mediana é mais adequada para descrever o desempenho típico? Justifique.

Um investidor quer saber o número de quartos mais comum nos apartamentos de um bairro. Qual medida usar?

Tempo de carregamento de página: 95% das requisições respondem em menos de 300 ms, mas 1% demora mais de 5 s. Por que engenheiros de confiabilidade preferem mediana (P50) e percentis (P95, P99) em vez da média?

Por que para uma distribuição contínua simétrica unimodal, as três medidas de tendência central são iguais? Explique geometricamente.

A/B testing: tempo de checkout do site A tem média 12 s e mediana 9 s. Site B tem média 10 s e mediana 10 s. Qual site tem melhor experiência para o usuário típico? Justifique.

Empresa A reporta apenas salário médio de R$ 10 mil. Empresa B reporta média de R$ 8 mil e mediana de R$ 7 mil. O que a ausência da mediana em A pode estar escondendo?

Em K-means, o centroide de um cluster é a média. Qual o efeito de um outlier sobre o centroide? Como K-medoids (que usa o ponto mediano) mitiga este problema?

Controle de qualidade: peças com diâmetro médio $\bar{d} = 10{,}05$ mm e distribuição aproximadamente simétrica. A que valor você esperaria que a mediana seja próxima? Por quê?

Em aprendizado de máquina, MSE como função de perda implica que o modelo aprende a estimar a média condicional. MAE implica que o modelo estima a mediana condicional. Explique por que isso decorre da caracterização variacional das medidas centrais.

Uma meta-análise com 50 estudos reporta a mediana do tamanho de efeito em vez da média. Por que a mediana é preferida em meta-análise?

Por que o boxplot usa a mediana como linha central (e o IQR como largura da caixa) em vez de usar média e desvio padrão?

Em federated learning, por que substituir a média dos gradientes pela mediana aumenta a resistência a clientes maliciosos (ataques Byzantine)?

Para a distribuição log-normal ($\ln X \sim N(\mu, \sigma^2)$): moda $= e^{\mu-\sigma^2}$, mediana $= e^\mu$, média $= e^{\mu+\sigma^2/2}$. Verifique a ordenação moda menor que mediana menor que média para $\sigma > 0$.

Salários (R$ mil): 4, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8 (8 funcionários). Um CEO com salário de R$ 60 mil é adicionado (sem remover nenhum). Calcule a média e mediana antes e depois. Qual medida mudou mais?

Notas de 30 alunos numa prova, agrupadas: $[60,70)$: 3 alunos; $[70,80)$: 8 alunos; $[80,90)$: 12 alunos; $[90,100]$: 7 alunos. Calcule a média estimada pelos pontos médios.

Mostre que $\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x}) = 0$.

Mostre que $\sum_{i=1}^{n}(x_i - c)^2$ é minimizado em $c = \bar{x}$ para qualquer sequência $x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R}$.

Mostre que $\sum_{i=1}^{n}|x_i - c|$ é minimizado em $c = \text{mediana}$. (Sugestão: analise o que acontece ao deslocar $c$ para um lado ou outro da mediana, contando quantos $x_i$ ficam acima e abaixo.)

Mostre que se $y_i = ax_i + b$ (transformação linear), então $\bar{y} = a\bar{x} + b$.

A média satisfaz $\overline{f(x_i)} = f(\bar{x})$ em geral? E a mediana? Investigue com $f(t) = t^2$ e os dados $x = \{1, 2, 3\}$.

Distribuição de Cauchy: $f(x) = 1/[\pi(1+x^2)]$. Calcule a mediana. Mostre que a média não existe (a integral $\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,dx$ diverge).

Mostre que se trocarmos o maior valor de um conjunto de dados por um valor ainda maior, a mediana não muda, mas a média aumenta.

Dois grupos têm médias $\bar{x}_1$ e $\bar{x}_2$ com tamanhos $n_1$ e $n_2$. Derive a fórmula da média combinada dos dois grupos.

A desigualdade de Jensen afirma que para $\varphi$ convexa, $\varphi(E[X]) \leq E[\varphi(X)]$. Aplique com $\varphi(t) = t^2$ para obter uma desigualdade entre $\bar{x}^2$ e $\overline{x^2}$. O que isso implica sobre a variância?