v1 · padrão canônico

Lição 84 — Técnica: substituição (u-substitution)

Substituição u = g(x): inversa da regra da cadeia. A técnica mais usada de integração. Versões indefinida e definida. Reconhecimento de padrão.

Used in: 3.º ano do EM (17 anos) · Equiv. Math II japonês cap. 6 · Equiv. Klasse 12 alemã

\int f(g(x))\, g'(x)\, dx = \int f(u)\, du, \quad u = g(x)

Substituição: inversa da regra da cadeia. Quando o integrando contém o padrão f(g(x)) · g'(x), troque por u = g(x) e du = g'(x) dx. A integral nova deve ser mais simples.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Teorema e procedimento

Teorema da mudança de variável

"A regra de substituição é o equivalente para integração da regra da cadeia para derivação." — OpenStax Calculus Vol. 1, §5.5

Demonstração. Se $F' = f$ , pela regra da cadeia: $(F \circ g)' = f(g(x)) \cdot g'(x)$ . Logo $F \circ g$ é antiderivada de $f(g(x)) g'(x)$ . Pelo TFC2:

$\int_a^b f(g(x)) g'(x)\, dx = F(g(b)) - F(g(a)) = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\, du. \quad \square$

Procedimento mecânico

Sinal de que a substituição vai funcionar

O integrando deve conter $f(\text{algo})$ multiplicado pela derivada do "algo" (ou um múltiplo constante dessa derivada).

Exemplos de padrão:

Integrando	$u$	$du$
$2x\, e^{x^2}$	$x^2$	$2x\, dx$
$\cos x \cdot e^{\sin x}$	$\sin x$	$\cos x\, dx$
$\frac{x}{x^2 + 1}$	$x^2 + 1$	$2x\, dx$ (precisa ajuste $1/2$ )
$x^2(x^3 + 1)^5$	$x^3 + 1$	$3x^2\, dx$ (ajuste $1/3$ )

Exemplos resolvidos

Example— 2· Ajuste de constante (basico)

Problema. Calcule $\displaystyle\int x(x^2 + 5)^4\, dx$ .

Estratégia. $g(x) = x^2 + 5$ , $g'(x) = 2x$ . O integrando tem $x$ (metade do $g'$ ), então é necessário ajuste por $1/2$ .

Resolução. $u = x^2 + 5$ , $du = 2x\, dx$ , então $x\, dx = du/2$ .

$\int x(x^2+5)^4\, dx = \int u^4 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^5}{5} + C = \frac{(x^2+5)^5}{10} + C.$

Verificação. $\left(\frac{(x^2+5)^5}{10}\right)' = \frac{5(x^2+5)^4 \cdot 2x}{10} = x(x^2+5)^4$ . Confere.

Fonte. APEX Calculus, §6.1, Exemplo 6.1.4 — CC-BY-NC.

Example— 3· Substituicao em integral definida com troca de limites (intermediario)

Problema. Calcule $\displaystyle\int_0^1 2x(x^2 + 1)^3\, dx$ .

Estratégia. $u = x^2 + 1$ , $du = 2x\, dx$ . Trocar os limites: $u(0) = 1$ , $u(1) = 2$ .

Resolução. $\int_0^1 2x(x^2+1)^3\, dx = \int_1^2 u^3\, du = \left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2 = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}.$

Verificação. Sem troca de limites: antiderivada $(x^2+1)^4/4$ . Avaliar em $x=1$ e $x=0$ : $2^4/4 - 1^4/4 = 4 - 1/4 = 15/4$ . Confere.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1, §5.5, Exemplo 5.38 — CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Substituicao com funcao trigonometrica (intermediario)

Problema. Calcule $\displaystyle\int \sin^3 x \cos x\, dx$ .

Estratégia. $g(x) = \sin x$ , $g'(x) = \cos x$ — aparece explicitamente no integrando.

Resolução. $u = \sin x$ , $du = \cos x\, dx$ .

$\int \sin^3 x \cos x\, dx = \int u^3\, du = \frac{u^4}{4} + C = \frac{\sin^4 x}{4} + C.$

Verificação. $\left(\frac{\sin^4 x}{4}\right)' = \frac{4\sin^3 x \cos x}{4} = \sin^3 x \cos x$ . Confere.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1, §5.5, Exemplo 5.36 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Integral de tangente por substituicao (desafio)

Problema. Calcule $\displaystyle\int \tan x\, dx$ .

Estratégia. Escrever $\tan x = \sin x / \cos x$ , depois tomar $u = \cos x$ .

Resolução. $u = \cos x$ , $du = -\sin x\, dx$ , então $\sin x\, dx = -du$ .

$\int \frac{\sin x}{\cos x}\, dx = \int \frac{-du}{u} = -\ln|u| + C = -\ln|\cos x| + C = \ln|\sec x| + C.$

Verificação. $(\ln|\sec x|)' = \frac{\sec x \tan x}{\sec x} = \tan x$ . Confere.

Fonte. APEX Calculus, §6.1, Exemplo 6.1.8 — CC-BY-NC.

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 23Understanding 2Modeling 2Challenge 2Proof 1

Ex. 84.1Application
Calcule $\int (2x+1)^4\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.1 · 6.1.1 · p. 290
Show solution
Tome $u = 2x + 1$ , $du = 2\, dx$ . Integral: $\frac{1}{2}\int u^4\, du = \frac{(2x+1)^5}{10} + C$ .
Ex. 84.2Application
Calcule $\int x(x^2 - 3)^5\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.1 · 6.1.3 · p. 290
Show solution
Tome $u = x^2 - 3$ , $du = 2x\, dx$ . Integral: $\frac{1}{2}\int u^5\, du = \frac{(x^2-3)^6}{12} + C$ .
Ex. 84.3Application
Calcule $\int \cos^3 x \sin x\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.5 · 5.5.253 · p. 561
Show solution
Tome $u = \cos x$ , $du = -\sin x\, dx$ . Integral: $-\int u^3\, du = -\frac{\cos^4 x}{4} + C$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique: $\sin x$ é a derivada de $-\cos x$ ; tome $u = \cos x$ .
2. Calcule: $du = -\sin x\, dx$ , logo $\sin x\, dx = -du$ .
3. Reescreva: $\int \cos^3 x \cdot \sin x\, dx = \int u^3 \cdot (-du) = -\int u^3\, du$ .
4. Integre: $-u^4/4 + C = -\cos^4 x / 4 + C$ .
5. Verifique: $(-\cos^4 x/4)' = -4\cos^3 x(-\sin x)/4 = \cos^3 x \sin x$ . Confere.
Macete: quando o integrando tem $(\cos x)^n \sin x$ , tome $u = \cos x$ . Quando tem $(\sin x)^n \cos x$ , tome $u = \sin x$ .
Ex. 84.4Application
Calcule $\int x^2 e^{x^3 + 2}\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.1 · 6.1.7 · p. 290
Show solution
Tome $u = x^3 + 2$ , $du = 3x^2\, dx$ . Integral: $\frac{1}{3}\int e^u\, du = \frac{e^{x^3+2}}{3} + C$ .
Ex. 84.5Application
Calcule $\int \frac{x}{x^2 + 1}\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.1 · 6.1.9 · p. 290
Show solution
Tome $u = x^2 + 1$ , $du = 2x\, dx$ . Integral: $\frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln|x^2 + 1| + C = \frac{\ln(x^2+1)}{2} + C$ (módulo desnecessário pois $x^2+1 > 0$ ).
Ex. 84.6Application
Calcule $\int \cos(3x)\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.5 · 5.5.245 · p. 561
Show solution
Tome $u = 3x$ , $du = 3\, dx$ . Integral: $\frac{1}{3}\int \cos u\, du = \frac{\sin 3x}{3} + C$ .
Ex. 84.7ApplicationAnswer key
Calcule $\int x e^{-x^2/2}\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.1 · 6.1.11 · p. 290
Show solution
Tome $u = -x^2/2$ , $du = -x\, dx$ . Integral: $-\int e^u\, du = -e^{-x^2/2} + C$ .
Ex. 84.8ApplicationAnswer key
Calcule $\int \frac{(\ln x)^2}{x}\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.1 · 6.1.13 · p. 290
Show solution
Tome $u = \ln x$ , $du = dx/x$ . Integral: $\int u^2\, du = \frac{(\ln x)^3}{3} + C$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Observe: $(\ln x)' = 1/x$ . O integrando tem $(\ln x)^2$ multiplicado por $1/x$ — padrão perfeito para $u = \ln x$ .
2. Calcule: $du = (1/x)\, dx$ .
3. Reescreva: $\int u^2\, du$ .
4. Integre: $u^3/3 + C = (\ln x)^3/3 + C$ .
Macete: quando o integrando tem $(\ln x)^n / x$ , tome $u = \ln x$ — é um padrão-chave.
Ex. 84.9Application
Calcule $\int \sin^4 x \cos x\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.5 · 5.5.255 · p. 561
Show solution
Tome $u = \sin x$ , $du = \cos x\, dx$ . Integral: $\int u^4\, du = \frac{\sin^5 x}{5} + C$ .
Ex. 84.10Application
Calcule $\int \sqrt{4 - 3x}\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.1 · 6.1.5 · p. 290
Show solution
Tome $u = 4 - 3x$ , $du = -3\, dx$ . Integral: $-\frac{1}{3}\int \sqrt{u}\, du = -\frac{1}{3} \cdot \frac{2u^{3/2}}{3} + C = -\frac{2(4-3x)^{3/2}}{9} + C$ .
Ex. 84.11Application
Calcule $\int (x+2)(x^2+4x)^3\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.5 · 5.5.239 · p. 560
Show solution
Tome $u = x^2 + 4x$ , $du = (2x+4)\, dx = 2(x+2)\, dx$ . Integral: $\frac{1}{2}\int u^3\, du = \frac{(x^2+4x)^4}{8} + C$ .
Ex. 84.12Application
Calcule $\int \sin(2x)\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.1 · 6.1.15 · p. 290
Show solution
Tome $u = 2x$ , $du = 2\, dx$ . Integral: $\frac{1}{2}\int \sin u\, du = -\frac{\cos 2x}{2} + C$ .
Ex. 84.13ApplicationAnswer key
Calcule $\int_1^2 \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.5 · 5.5.265 · p. 562
Show solution
Troca de limites: $u(1) = 1+1 = 2$ , $u(2) = 4+1 = 5$ . $\int_2^5 \frac{du}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2}[2\sqrt{u}]_2^5 = \sqrt{5} - \sqrt{2}$ . Ou: $u = x^2 + 1$ , $du = 2x\, dx$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Tome $u = x^2 + 1$ , $du = 2x\, dx$ , logo $x\, dx = du/2$ .
2. Troque os limites: $x = 1 \Rightarrow u = 2$ ; $x = 2 \Rightarrow u = 5$ .
3. Integral em $u$ : $\frac{1}{2}\int_2^5 u^{-1/2}\, du = \frac{1}{2} \cdot [2u^{1/2}]_2^5 = \sqrt{5} - \sqrt{2}$ .
Macete: trocar os limites na integral definida é mais eficiente — evita voltar para $x$ antes de avaliar.
Ex. 84.14Application
Calcule $\int_0^1 \frac{e^x}{e^x + 1}\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.1 · 6.1.25 · p. 291
Show solution
Troca de limites: $u(0) = 1$ , $u(1) = e$ . $u = e^x + 1$ , $du = e^x\, dx$ . Integral: $\int_2^{e+1} \frac{du}{u} = [\ln u]_2^{e+1} = \ln(e+1) - \ln 2$ .
Ex. 84.15Application
Calcule $\int \cot x\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.1 · 6.1.19 · p. 290
Show solution
Reescreva: $\cot x = \cos x / \sin x$ . Tome $u = \sin x$ , $du = \cos x\, dx$ . Integral: $\int \frac{du}{u} = \ln|\sin x| + C$ .
Ex. 84.16ApplicationAnswer key
Calcule $\int e^{5x}\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.5 · 5.5.243 · p. 560
Show solution
Tome $u = 5x$ , $du = 5\, dx$ . Integral: $\frac{1}{5} e^{5x} + C$ .
Ex. 84.17Application
Calcule $\int \frac{x^2}{x^3 + 1}\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.1 · 6.1.21 · p. 290
Show solution
Tome $u = x^3 + 1$ , $du = 3x^2\, dx$ . Integral: $\frac{1}{3}\int \frac{du}{u} = \frac{\ln|x^3+1|}{3} + C$ .
Ex. 84.18UnderstandingAnswer key
Qual substituição $u$ é mais adequada para calcular $\int 3x^2(x^3+1)^4\, dx$ ?
Select the correct option
u = x²u = x³ + 1u = 3x²u = x² + 1
Select an option first
Solve online APEX Calculus · §6.1 · conceitual · p. 288
Show solution
Para $\int 3x^2(x^3+1)^4\, dx$ : a expressão "interna" da potência é $x^3+1$ , e $(x^3+1)' = 3x^2$ aparece exatamente no integrando. Logo $u = x^3+1$ . Opção A: $(x^2)' = 2x \neq 3x^2$ . Opção C: $3x^2$ é o fator multiplicativo, não a substituição. Opção D: $(x^2+1)' = 2x$ , não aparece no integrando.
Ex. 84.19Understanding
Ao tentar usar substituição $u = g(x)$ , percebe-se que o $g'(x)$ está multiplicado por uma constante diferente de 1. O que fazer?
Select the correct option
A substituição nunca funciona quando falta uma constanteMultiplicar e dividir por uma constante dentro da integral e compensar foraUsar integração por partes em vez de substituiçãoTrocar o integrando por uma aproximação linear
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.5 · conceitual · p. 557
Show solution
Quando o integrando tem $f(g(x))$ mas apenas $k \cdot g'(x)$ para alguma constante $k$ , pode-se multiplicar e dividir por $k$ : $\int f(g(x)) \cdot k g'(x)\, dx / k$ . Constantes saem da integral — mas funções de $x$ não. Opção A é incorreta — ajuste de constante é sempre válido. Opções C e D não se aplicam ao cenário.
Ex. 84.20Application
Calcule $\int_0^{\pi/4} e^{\sin^2 x} \sin x \cos x\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.5 · 5.5.267 · p. 562
Show solution
Troca de limites: $u(0) = 0$ , $u(\pi/4) = 1/2$ . $u = \sin^2 x$ , $du = 2\sin x \cos x\, dx$ . Integral: $\frac{1}{2}\int_0^{1/2} e^u\, du = \frac{1}{2}(e^{1/2} - 1) = \frac{\sqrt{e}-1}{2}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique: $e^{\sin^2 x}$ e o fator $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$ . Tome $u = \sin^2 x$ .
2. Calcule: $du = 2\sin x \cos x\, dx$ , logo $\sin x \cos x\, dx = du/2$ .
3. Troque os limites: $u(0) = 0$ , $u(\pi/4) = \sin^2(\pi/4) = 1/2$ .
4. Integral: $\frac{1}{2}\int_0^{1/2} e^u\, du = \frac{1}{2}[e^u]_0^{1/2} = \frac{e^{1/2}-1}{2}$ .
Observação: a combinação $\sin x \cos x$ no integrando é o "aviso" de que a substituição $u = \sin^2 x$ (ou equivalentemente $u = \cos^2 x$ ) vai funcionar.
Ex. 84.21Application
Calcule $\int \tan^3 x \sec^2 x\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.1 · 6.1.23 · p. 290
Show solution
Tome $u = \tan x$ , $du = \sec^2 x\, dx$ . Integral: $\int u^3\, du = \frac{\tan^4 x}{4} + C$ .
Ex. 84.22Application
Calcule $\int_1^2 x^2(x^3 + 1)^4\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.5 · 5.5.261 · p. 562
Show solution
Troca de limites: $u(1) = 2$ , $u(2) = 5$ . Integral: $\int_2^5 u^4\, du/3 = \frac{1}{3}[u^5/5]_2^5 = \frac{1}{15}(5^5 - 2^5) = \frac{3125 - 32}{15} = \frac{3093}{15} = 206{,}2$ .
Ex. 84.23Modeling
Um fundo de renda fixa tem taxa de aporte de R$ 500 por mês com crescimento exponencial: $r(t) = 500 e^{0{,}08t}$ reais por mês. Calcule o saldo acumulado após 12 meses.
Solve online Active Calculus · §5.1 · 5.1.5 · p. 302
Show solution
Saldo após $T$ meses: $S(T) = \int_0^T 500 e^{0{,}08t}\, dt$ . Tome $u = 0{,}08t$ , $du = 0{,}08\, dt$ . Resultado: $\frac{500}{0{,}08}[e^{0{,}08t}]_0^{12} = 6250(e^{0{,}96} - 1) \approx 6250 \times 1{,}611 \approx 10069$ reais.
Ex. 84.24Application
Calcule $\int x\cos(x^2)\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.1 · 6.1.17 · p. 290
Show solution
Tome $u = x^2$ , $du = 2x\, dx$ . Integral: $\frac{1}{2}\int \cos u\, du = \frac{\sin(x^2)}{2} + C$ .
Ex. 84.25ApplicationAnswer key
Calcule $\int \frac{1}{(1+\sqrt{x})\sqrt{x}}\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.5 · 5.5.257 · p. 561
Show solution
Tome $u = 1 + \sqrt{x}$ . Então $du = 1/(2\sqrt{x})\, dx$ , logo $dx/\sqrt{x} = 2\, du$ . Integral: $\int \frac{2\, du}{u} = 2\ln|1 + \sqrt{x}| + C$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Tome $u = 1 + \sqrt{x}$ . Calcule $du = \frac{1}{2\sqrt{x}}\, dx$ , logo $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\, du$ .
2. Reescreva: $\int \frac{1}{(1 + \sqrt{x})\sqrt{x}}\, dx = \int \frac{2\, du}{u}$ .
3. Integre: $2\ln|u| + C = 2\ln|1+\sqrt{x}| + C$ (e $1+\sqrt{x} > 0$ , então módulo desnecessário).
Macete: quando há $\sqrt{x}$ no denominador junto com uma expressão contendo $\sqrt{x}$ , experimente $u = \text{(expressão com } \sqrt{x})$ .
Ex. 84.26Application
Calcule $\int_0^\pi \cos(\sin x) \cos x\, dx$ . (Dica: observe os limites após a substituição.)
Solve online APEX Calculus · §6.1 · 6.1.27 · p. 291
Show solution
Troca de limites: $u(0) = 0$ , $u(\pi) = 0$ (retorna ao mesmo valor!). Portanto a integral é zero: $\int_0^0 \cos u\, du = 0$ . (Verificação direta: antiderivada $-\cos(\sin x)/1$ ... mas como $\sin 0 = \sin\pi = 0$ , a diferença é zero.)
Ex. 84.27Challenge
Calcule $\int \frac{e^x}{e^{2x} + 1}\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.5 · 5.5.259 · p. 561
Show solution
Tome $u = e^x$ , $du = e^x\, dx$ . Integral: $\int \frac{du}{u^2+1} = \arctan u + C = \arctan(e^x) + C$ .
Ex. 84.28Challenge
Tente calcular $\int \sec^3 x\, dx$ por substituição. Identifique por que a substituição simples falha aqui, e escreva a resposta (que requer integração por partes, Lição 85).
Solve online APEX Calculus · §6.1 · 6.1.29-var · p. 291
Show solution
Escreva: $\sec^3 x = \sec x \cdot \sec^2 x$ . Tome $u = \sec x$ , $du = \sec x \tan x\, dx$ . Mas o integrando tem $\sec^2 x$ , não $\tan x$ . A substituição simples não funciona — este caso requer integração por partes (Lição 85). Resposta: $\int \sec^3 x\, dx = \frac{1}{2}(\sec x \tan x + \ln|\sec x + \tan x|) + C$ .
Ex. 84.29ProofAnswer key
Demonstre que $\int f(ax + b)\, dx = \frac{1}{a} F(ax + b) + C$ onde $F' = f$ e $a \neq 0$ .
OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.5 · demonstração · p. 556
Show solution
Queremos verificar o caso geral de ajuste de constante: se $\int f(u)\, du = F(u) + C$ , então $\int f(ax + b)\, dx = \frac{1}{a}F(ax+b) + C$ . Tome $u = ax + b$ , $du = a\, dx$ , então $dx = du/a$ . Integral: $\int f(u) \cdot \frac{du}{a} = \frac{1}{a}F(u) + C = \frac{1}{a}F(ax+b) + C$ . Verificação por derivação: $\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{a}F(ax+b)\right] = \frac{1}{a} \cdot F'(ax+b) \cdot a = F'(ax+b) = f(ax+b)$ .
Ex. 84.30Modeling
Um veículo tem aceleração $a(t) = 10e^{-0{,}5t}$ m/s², partindo do repouso ( $v(0) = 0$ ). Encontre $v(t)$ usando substituição e calcule a velocidade em $t = 4$ s.
Solve online Active Calculus · §5.1 · 5.1.3 · p. 302
Show solution
Velocidade: $v(t) = \int a(t)\, dt$ . Tome $u = -0{,}5t$ , $du = -0{,}5\, dt$ . $v(t) = \int 10 e^{-0{,}5t}\, dt = -20e^{-0{,}5t} + C$ . Com $v(0) = 0$ : $C = 20$ , logo $v(t) = 20(1 - e^{-0{,}5t})$ . Em $t = 4$ : $v(4) = 20(1 - e^{-2}) \approx 20 \times 0{,}865 = 17{,}3$ m/s.
Show step-by-step (with the why)
1. Integre $a(t) = 10e^{-0{,}5t}$ por substituição: $u = -0{,}5t$ , resultado $v(t) = -20e^{-0{,}5t} + C$ .
2. Use $v(0) = 0$ : $-20 + C = 0 \Rightarrow C = 20$ .
3. Logo $v(t) = 20(1 - e^{-0{,}5t})$ m/s.
4. Avalie em $t = 4$ : $v(4) = 20(1 - e^{-2}) \approx 17{,}3$ m/s.
Curiosidade: este é o modelo de velocidade terminal — o veículo se aproxima assintoticamente de 20 m/s sem jamais atingir (resistência do ar proporcional à velocidade).

Fontes

Active Calculus — Boelkins · §5.1 · CC-BY-NC-SA. Motivação da substituição como desfazer a regra da cadeia.
APEX Calculus — Hartman et al. · §6.1 · CC-BY-NC. Procedimento mecânico, ajuste de constante, integral definida com troca de limites.
OpenStax Calculus Volume 1 · §5.5 · CC-BY-NC-SA. Teorema formal, exemplos com radicais e trigonometria, exercícios de integral definida.