Lektion 1 — Zahlensysteme, Intervalle, Notation

Listen Sie in Mengenklammer-Notation die Menge $A = \{x \in \mathbb{N} : 1 \leq x \leq 5\}$ auf.

Schreiben Sie in Intervallnotation: $\{x \in \mathbb{R} : 2 \leq x \leq 8\}$.

Schreiben Sie in Intervallnotation: $\{x \in \mathbb{R} : x < 5\}$.

Gegeben $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ und $B = \{4, 5, 6, 7\}$, berechnen Sie $A \cap B$.

Mit denselben $A$ und $B$ aus dem vorherigen Punkt berechnen Sie $A \cup B$.

Noch mit denselben $A, B$: Berechnen Sie $A \setminus B$ (Elemente, die in $A$ sind, aber nicht in $B$).

Berechnen Sie $[3, 10] \cap (1, 7)$.

Berechnen Sie $[3, 10] \cup (1, 7)$.

$(-\infty, 0] \cup [0, +\infty) = ?$

$(-\infty, 0] \cap [0, +\infty) = ?$

Wahr oder falsch: $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z}$. (Verwenden Sie W oder F.)

Wahr oder falsch: $\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{N}$.

Wahr oder falsch: $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$ aber $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.

Lösen Sie und drücken Sie in Intervall aus: $|2x - 3| \leq 5$.

Lösen Sie: $|x - 3| > 2$.

Lösen Sie die Ungleichung $|x| \leq 5$ und geben Sie das Ergebnis in Intervallnotation an.

Überprüfen Sie die Aussage: $\pi \in \mathbb{R}$ aber $\pi \notin \mathbb{Q}$.

Zu welchem Zahlensystem gehört $-5$?

Zu welchem Zahlensystem gehört die kleinste Zahl in diesem System: $3/5$?

Welche der folgenden Zahlen sind rationale Zahlen zwischen 0 und 2?

Klassifizieren Sie das Intervall $[3, 8]$: geschlossen, offen oder halbsoffen?

Klassifizieren Sie das Intervall $(1, 5)$: geschlossen, offen oder halbsoffen?

Klassifizieren Sie das Intervall $[-2, 7)$: geschlossen, offen oder halbsoffen?

Berechnen Sie $[3, 10] \cap [6, 15]$.

Berechnen Sie $[3, 10] \cup [6, 15]$.

Berechnen Sie $(10, +\infty) \cap (-\infty, 5)$.

Die Dichte von $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$ bedeutet: Zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen $a < b$ existiert immer mindestens eine rationale Zahl $q$. Ist diese Aussage wahr oder falsch?

Welche Aussage über rationale Zahlen und ihre Dezimaldarstellung ist richtig?

Beweisen Sie, dass zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen $a < b$ immer eine rationale Zahl existiert. (Verwenden Sie die Dichte-Eigenschaft von $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$.)

Ein Produkt ist in dem Regal an den Haken 1 bis 5 befestigt, wobei Haken 1 enthalten ist, aber Haken 5 ausgeschlossen ist. Welches Intervall beschreibt diese Situation?

Lösen Sie die lineare Ungleichung $2x + 3 > 13$ und drücken Sie die Lösung in Intervallnotation aus.

Lösen Sie die lineare Ungleichung $3x - 5 \geq -11$.

Lösen Sie: $-4x + 8 \geq 0$.

Welche Aussage ist richtig?

Bestimmen Sie die Lösungsmenge von $(x - 4)^2 \geq 1$ in Intervallnotation.

Die Tagestemperatur eines Ortes liegt immer zwischen 15°C (einschließlich) und 30°C (einschließlich). Schreiben Sie das Intervall der möglichen Temperaturen $T$.

Ein Batterieprozentanteil $B$ reicht von minimum bis maximum. Schreiben Sie das Intervall für $B$ bei einer Standard-Batterie-Prozentanzeige.

Das Gewicht $W$ eines Objekts ist eine positive Größe. Schreiben Sie das Intervall für mögliche Gewichte.

Eine Schulnote $G$ liegt zwischen 0 und 10. Schreiben Sie das Intervall für mögliche Noten (unter Annahme, dass beide Extreme möglich sind).

Das Alter $A$ eines Arbeiters liegt in einem typischen Bereich. Schreiben Sie ein realistisches Intervall für das Alter eines erwerbstätigen Arbeiters.

Die Stundenangabe $h$ in einem 24-Stunden-System reicht von 0 bis knapp vor 24. Schreiben Sie das Intervall.

Die Stundenangabe $h$ in einem 12-Stunden-System. Schreiben Sie das Intervall.

Die Anzahl der Menschen in einem Raum ist eine Zahl. Schreiben Sie den Bereich oder das Intervall.

Ein Punkt auf einem Stab der Länge $L$ kann an jeder Position zwischen den beiden Enden liegen. Schreiben Sie das Intervall für die möglichen Positionen.

Eine Wahrscheinlichkeit $P$ kann nur zwischen zwei Extremen liegen. Schreiben Sie das klassische Intervall für Wahrscheinlichkeiten.

Ein Jahreszahl $Y$ nach Christi Geburt kann nur ab 2000 an relevant sein (modern era). Schreiben Sie ein Intervall.

Ein Prozentsatz liegt zwischen zwei Grenzen. Schreiben Sie das Intervall für typische Prozentsätze (ausschließlich der Extreme).

Eine Entfernung $d$ zwischen zwei Orten. Schreiben Sie das Intervall der möglichen Entfernungen.

Die Konzentration $C$ einer gelösten Substanz. Schreiben Sie ein realistisches Intervall basierend auf typischen Konzentrationen.

Der pH-Wert einer Wasserlösung liegt in einem bestimmten Bereich für Trinkwasser. Schreiben Sie das Intervall.

Ein Winkel $\theta$ in Grad für ein vollständige Rotation. Schreiben Sie das Intervall.

Der Wert von $\sin(\theta)$ oder $\cos(\theta)$ für jeden Winkel $\theta$. Schreiben Sie das Intervall.

Eine Stromversorgung muss zwischen 4,5 V (minimal) und 5,5 V (maximal) liegen. Schreiben Sie das Intervall.

Normale Körpertemperatur eines Menschen liegt zwischen 37°C und 38°C, aber nicht exakt bei 37,5°C. Schreiben Sie das Intervall.

Für einen elektronischen Stromkreis, um richtig zu funktionieren, muss die Versorgungsspannung $V$ erfüllen: $V \geq 4{,}5$ V und $V \leq 5{,}5$ V und $V \neq 5{,}0$ V (Regulator-Einschränkung). Drücken Sie die Menge der akzeptablen Spannungen als Vereinigung disjunkter Intervalle aus.

Zeigen Sie, dass unter beliebigen 11 ganzen Zahlen zwischen 1 und 20 immer zwei existieren, die sich genau um 5 unterscheiden. (Schubfachprinzip.)

Die Cantor-Menge wird konstruiert, indem das mittlere Drittel von $[0, 1]$ rekursiv entfernt wird. Nach $n$ Stufen, wie groß ist die Gesamtlänge der verbleibenden Intervalle? Zu welchem Wert neigt diese Länge, wenn $n \to \infty$?

Beweisen Sie, dass wenn $A \subseteq B$, dann $A \cup B = B$ und $A \cap B = A$.

Beweisen Sie, dass $\sqrt{3}$ irrational ist. (Passen Sie den Beweis von $\sqrt{2}$ an.)

Beweisen Sie das andere De-Morgan-Gesetz: $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$.