Lektion 2 — Funktionen: Definition, Definitionsbereich, Bild

Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich von $f(x) = 3x + 1$.

Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich von $g(x) = \frac{1}{x - 2}$.

Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich von $h(x) = \sqrt{x - 5}$.

Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich von $f(x) = \frac{1}{(x+2)(x-3)}$.

Sei $f(x) = 2x^2 + 2$. Berechnen Sie $f(2)$, $f(-1)$, $f(0)$.

Ist die Funktion $f(x) = 3x - 1$ injektiv oder nicht? Begründen Sie.

Ist die Funktion $g(x) = x^2$, definiert auf $\mathbb{R}$, injektiv?

Was ist das Bild von $g(x) = x^2$, definiert auf $\mathbb{R}$?

Seien $f(x) = x^2$ und $g(x) = x + 1$. Berechnen Sie $(f \circ g)(x)$.

Mit denselben $f$ und $g$ wie oben, berechnen Sie $(g \circ f)(x)$.

Zeigen Sie, dass $f \circ g \neq g \circ f$ im Allgemeinen, indem Sie ein konkretes Gegenbeispiel angeben, das vom vorherigen verschieden ist.

Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von $f(x) = 3x + 1$.

Warum hat $f(x) = x^2$, definiert auf $\mathbb{R}$, keine Umkehrfunktion? Und auf $[0, +\infty)$?

Finden Sie die Umkehrung von $f: [0, +\infty) \to [0, +\infty)$, $f(x) = x^2$.

Ein Taxi berechnet R$5,50 fest + R$3,10 pro km. (a) Schreiben Sie die Kostenfunktion $T(d)$. (b) Wie viel kostet eine 12-km-Fahrt? (c) Bei welcher Entfernung betragen die Kosten R$80?

Ein leerer Pool wird mit einem konstanten Durchfluss von 200 L/min gefüllt. Modellieren Sie das Volumen $V(t)$ in Litern als Funktion der Zeit $t$ in Minuten während des Befüllens. Der Pool hat eine Gesamtkapazität von 8000 L. Bestimmen Sie den physikalischen Definitionsbereich und das Bild.

Berechnen Sie den BMI einer 70 kg schweren und 1,75 m großen Person. In welchem WHO-Bereich befindet sie sich?

Eine Fabrik produziert $q$ Einheiten pro Tag mit Kosten $C(q) = 100 + 8q + 0{,}1q^2$ Reais. (a) Was sind die Fixkosten? (b) Was sind die durchschnittlichen Kosten pro Einheit, wenn $q = 50$? (c) Was sind die Kosten zur Produktion der 51. Einheit? (Diese Differenz sind die "Grenzkosten" — Vorschau auf die Ableitung!)

Seien $f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ Funktionen, sodass $(f \circ g)(x) = x^2 + 1$ und $g(x) = x + 1$. Bestimmen Sie $f(x)$.

Beweisen Sie: die Komposition zweier bijektiver Funktionen ist bijektiv.

Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich von $f(x) = \frac{x+1}{x^2 - 9}$.

Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich von $f(x) = \sqrt{4 - x}$.

Bestimmen Sie den Definitionsbereich von $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$.

Bestimmen Sie den Definitionsbereich von $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$.

Bestimmen Sie den Definitionsbereich von $f(x) = \frac{\sqrt{9 - x^2}}{x}$.

Verwenden Sie den Horizontaltest, um zu entscheiden, ob $f(x) = x^3 - 3x$ injektiv auf $\mathbb{R}$ ist.

Ist die Funktion $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, definiert durch $f(x) = x^3$, injektiv? Surjektiv? Bijektiv? Begründen Sie.

Ist die Funktion $g: \mathbb{R} \to [0, +\infty)$, definiert durch $g(x) = x^2$, surjektiv? Und injektiv?

Seien $f(x) = 2x + 3$ und $g(x) = x^2$. Berechnen Sie $f \circ g$, $g \circ f$, $f \circ f$, $g \circ g$.

Bestimmen Sie $f(x)$, wenn $(f \circ g)(x) = 4x^2 - 4x + 5$ und $g(x) = 2x - 1$. (Hinweis: setzen Sie $u = 2x - 1$.)

Skizzieren Sie den Graphen von $f(x) = |x - 3|$ aus dem Graphen von $|x|$.

Skizzieren Sie $f(x) = -2(x+1)^2 + 4$ aus Transformationen von $x^2$.

Entscheiden Sie, ob jede der folgenden Funktionen gerade, ungerade oder weder gerade noch ungerade ist: (a) $f(x) = x^4 - x^2$; (b) $g(x) = x^3 + x$; (c) $h(x) = x^2 + x$.

Betrachten Sie die charakteristische Funktion $\chi_A(x) = 1$, falls $x \in A$, $0$ sonst. Skizzieren Sie für $A = [0, 1]$ $\chi_A$. Bestimmen Sie Definitionsbereich und Bild.

Eine Funktion $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ heißt periodisch mit Periode $T > 0$, wenn $f(x + T) = f(x)$ für alle $x$. Verifizieren Sie, dass $\sin x$ die Periode $2\pi$ hat. Gibt es eine kleinere Periode?

Ein rechteckiger Pool hat einen festen Umfang von 30 m. Modellieren Sie die Fläche $A$ als Funktion der Länge $\ell$. Bestimmen Sie den physikalischen Definitionsbereich (plausible Minima und Maxima).

Eine Schachtel ohne Deckel wird aus einem Karton mit Seitenlänge 20 cm konstruiert, indem an den Ecken Quadrate der Seitenlänge $x$ ausgeschnitten und gefaltet werden. Modellieren Sie das Volumen $V(x)$. Geben Sie den Definitionsbereich an.

Die Temperatur $T$ (°C) eines Kaffees, der im Raum abkühlt, folgt $T(t) = 20 + 70 \cdot 0{,}9^t$ (mit $t$ in min). Bestimmen Sie $T(0)$, $T(10)$ und den Grenzwert $\lim_{t \to \infty} T(t)$ qualitativ (ohne formale Berechnung).

Die Nachfragefunktion $D(p) = 100 - 2p$ (mit $p$ in Reais und $D$ in Einheiten) beschreibt, wie viele Einheiten Kunden zu jedem Preis kaufen. (a) Bei welchem Preis wird die Nachfrage null? (b) Was ist die reale Interpretation des Definitionsbereichs $p \geq 0$?

Die Produktionskostenfunktion eines Unternehmens lautet $C(q) = 2.000 + 8q$ (Fixkosten + variabler Anteil). (a) Was sind die Kosten zur Produktion von 100 Einheiten? (b) Modellieren Sie die durchschnittliche Kostenfunktion $CM(q) = C(q)/q$.

Ein Bakterium verdoppelt sich alle 30 min. Modellieren Sie die Population $N(t)$, wenn $N(0) = 100$. (Diese Funktion kommt als Exponentialfunktion in Lektion 6 zurück.)

Die Lichtintensität $I$, die $x$ Meter Wasser durchquert, folgt Lambert-Beer: $I(x) = I_0 \e^{-kx}$ mit $k = 0{,}5$. Für $I_0 = 1.000$ Lux: (a) Intensität bei 2 m? (b) Bei welcher Tiefe halbiert sich die Intensität?

In der Mechanik ist die Position eines im freien Fall befindlichen Objekts aus der Höhe $h_0$ $h(t) = h_0 - \frac{1}{2}gt^2$ mit $g \approx 9{,}81$ m/s². Wann erreicht das Objekt für $h_0 = 100$ m den Boden?

Eine Fluggesellschaft hat Kosten von $1.500 + 200n$ Reais für einen Flug mit $n$ Passagieren und berechnet $300$ Reais pro Ticket. Modellieren Sie den Gewinn $L(n)$. Ab welchem $n$ wird der Flug profitabel?

Die durchschnittliche Größe brasilianischer Jungen folgt (annähernd) $h(t) = 50 + 6t$ cm für $t \in [0, 18]$ Jahre. (a) Physikalischer Definitionsbereich? (b) Welche Größe mit 12 Jahren? (c) Sind 6 cm/Jahr vernünftig? Diskutieren Sie die Grenzen des Modells.

Die maximal empfohlene Herzfrequenz ist $F_\text{max}(\text{Alter}) = 220 - \text{Alter}$. Modellieren Sie die Funktion und berechnen Sie sie für die Alter 30, 50, 70.

In der Stadtgeometrie kann der Weg eines Mitfahrgelegenheitsautos zwischen zwei Punkten durch eine Manhattan-Distanz-Funktion $d_M(P, Q) = |x_P - x_Q| + |y_P - y_Q|$ modelliert werden. Berechnen Sie $d_M((1,2), (5,7))$. (Verbindung zur $\ell_1$-Norm an der Universität.)

Die Funktion $V(t) = 30.000(0{,}85)^t$ modelliert den Wiederverkaufswert eines Autos $t$ Jahre nach dem Kauf. Berechnen Sie (a) $V(0)$; (b) $V(5)$; (c) Bei welchem $t$ fällt der Wert unter R$ 10.000?

Modellieren Sie mathematisch: "die Summe zweier Zahlen ist 30 und das Produkt ist maximal". (Quadratische Funktion — Vorschau auf Lektion 4.)

In einer Fabrik montiert jeder Arbeiter 12 Produkte/Tag. Es gibt Koordinationsineffizienz: ab 50 Arbeitern montiert jeder zusätzliche Arbeiter nur 8 Produkte. Modellieren Sie die Gesamtproduktion $P(n)$ als stückweise Funktion.