Lektion 3 — Affine Funktionen (1. Grades)

Berechne für $f(x) = 3x + 1$ den Wert $f(2)$.

Was ist der Steigungskoeffizient von $f(x) = 2x - 5$?

Was ist der lineare Koeffizient von $f(x) = 2x - 5$?

Finde die Nullstelle von $f(x) = 2x - 5$.

Ist $f(x) = 4x + 3$ wachsend, fallend oder konstant?

Ist $g(x) = -2x + 7$ wachsend, fallend oder konstant?

Bestimme die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte $(0, 1)$ und $(2, 5)$ verläuft.

Bestimme die Gleichung der Geraden, die durch $(1, 4)$ und $(3, -2)$ verläuft.

Zeige, dass die Veränderungsrate $(f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1)$ von $f(x) = ax + b$ konstant und gleich $a$ ist, für beliebige $x_1 \neq x_2$.

Zwei Geraden $y = a_1 x + b_1$ und $y = a_2 x + b_2$ sind parallel, wenn $a_1 = a_2$. Sie sind senkrecht, wenn $a_1 \cdot a_2 = -1$. Finde eine Gerade senkrecht zu $y = 3x + 1$, die durch $(0, 0)$ verläuft.

Die Stromrechnung hat eine Festgebühr von R$15,00 + R$0,80 pro verbrauchter kWh. (a) Modelliere $C(k)$. (b) Wie viel kostet ein Verbrauch von 250 kWh? (c) Bei welchem Verbrauch erreicht die Rechnung R$200?

Die Temperatur in Celsius und Fahrenheit verhält sich gemäß $F = 1{,}8C + 32$. (a) Bei 20°C, wie viel sind das in °F? (b) Bei 100°F, wie viel sind das in °C? (c) Gibt es eine Temperatur, bei der $C = F$?

Eine Stadt hatte 1500 Einwohner im Jahr 2020 und wuchs linear auf 2500 im Jahr 2025. (a) Modelliere die Bevölkerung $P(t)$, wobei $t = 0$ im Jahr 2020 ist. (b) In welchem Jahr wird die Bevölkerung 4000 erreichen (bei Beibehaltung der Rate)?

In einem Rennen startet Auto A von Position 0 m mit konstanter Geschwindigkeit von 30 m/s. Auto B startet gleichzeitig von Position 200 m mit konstanter Geschwindigkeit von 25 m/s in derselben Richtung. Wann und wo treffen sich die Autos?

Zeige, dass die Komposition zweier affiner Funktionen ebenfalls affin ist.

Bestimme die Gleichung der Geraden, die durch $(3, 5)$ und $(1, 1)$ verläuft.

Bestimme die Gleichung der Geraden, die durch $(-2, 4)$ und $(3, -6)$ verläuft.

Gerade parallel zu $y = 3x + 1$ und durch $(0, 5)$ verlaufend.

Gerade senkrecht zu $y = 2x - 3$ und durch $(2, 3)$ verlaufend.

Bestimme $a$, sodass die Geraden $y = ax + 2$ und $y = 4x - 5$ parallel sind.

Bestimme $a$, sodass die Geraden $y = ax + 2$ und $y = 4x - 5$ senkrecht sind.

Bestimme den Schnittpunkt von $y = 2x - 3$ und $y = -x + 3$.

Die Gerade $r$ verläuft durch $(0, 4)$ und ist senkrecht zur Geraden mit Gleichung $3x + y - 6 = 0$. Bestimme ihre Gleichung.

Zeige, dass die drei Punkte $(0,1)$, $(2, 5)$, $(5, 11)$ kollinear sind.

Für welche Werte von $k$ sind die Punkte $(1, 2)$, $(3, k)$ und $(5, 12)$ kollinear?

Finde den Abstand vom Ursprung zur Geraden $3x - 4y + 12 = 0$. (Punkt-Geraden-Abstandsformel.)

Bestimme, ob die Gerade $y = 2x - 5$ tangential, sekant oder außen liegend zum Kreis $x^2 + y^2 = 4$ ist. (Einsetzen und auflösen.)

Skizziere $f(x) = |2x - 4|$ ausgehend von $|x|$.

Zeige algebraisch und grafisch, dass $f(x) = ax + b$ genau dann injektiv ist, wenn $a \neq 0$.

Berechne den Winkel zwischen den Geraden $y = x + 1$ und $y = 3x - 2$. (Verwende $\tan\theta = |m_1 - m_2|/(1+m_1 m_2)$.)

Ein Taxi berechnet R$ 5,00 fest und R$ 2,80/km. Modelliere den Tarif $T(d)$ und berechne ihn für 6 km.

Die Wasserrechnung hat eine Festgebühr von R$ 25,00 plus R$ 4,50 pro m³. Bei welchem Verbrauch übersteigt die Rechnung R$ 100,00?

Ein Mobilfunkanbieter berechnet R$ 30,00 fest + R$ 0,40/min für Anrufe. Ein anderer Anbieter berechnet R$ 50,00 fest + R$ 0,15/min. Ab wie vielen Minuten ist der zweite billiger?

Die Tiefe eines Brunnens nimmt linear mit der Bohrzeit zu. Nach 2 h beträgt sie 40 m, nach 5 h 88 m. Modelliere $h(t)$ und berechne die Tiefe nach 10 h.

Celsius-Fahrenheit-Umrechnung: $0\,°C = 32\,°F$ und $100\,°C = 212\,°F$. Modelliere $F(C)$ als affin. Berechne $F(37)$ und $C^{-1}(98{,}6)$.

Die Kostenfunktion einer Fabrik ist $C(q) = 200 + 8q$ und der Erlös ist $R(q) = 12q$. (a) Bei welchem $q$ ist der Gewinn null? (b) Wie hoch ist der Gewinn bei $q = 100$?

In der Materialwissenschaft ist die Dehnung $\epsilon$ eines elastischen Balkens proportional zur angelegten Spannung $\sigma$ (Hookesches Gesetz): $\sigma = E \cdot \epsilon$. Für $E = 200$ GPa: (a) Wie groß ist die Dehnung bei $\sigma = 100$ MPa? (b) Diskutiere die Gültigkeitsgrenze.

Die Höhe einer Kerze nimmt linear ab: $h(t) = 25 - 0{,}8t$ cm mit $t$ in Minuten. (a) Wann ist die Kerze aufgebraucht? (b) Skizziere $h$ im physikalischen Definitionsbereich.

In der Hydraulik ist der Durchfluss $Q$ im stationären Regime konstant: $V(t) = Q \cdot t$. Für $Q = 5$ L/min, modelliere $V(t)$ und berechne das Volumen in 1 h.

In der Transportökonomie sind die Kraftstoffkosten $C(d) = 0{,}45 \cdot d$ R$ (mit $d$ in km). Modelliere die Kosten einer 350-km-Reise.

Eine tägliche Autovermietung kostet R$ 80,00 fest + R$ 0,30/km. Was sind die Gesamtkosten für eine 300-km-Reise an 1 Tag?

Der atmosphärische Druck nahe dem Boden nimmt etwa $0{,}12$ kPa pro Meter Höhe ab. Auf Meereshöhe beträgt er 101,3 kPa. Modelliere $P(h)$. Bei welcher Höhe beträgt der Druck 50 kPa? (Vereinfachtes Modell gültig bis ~1 km.)

In der Marktforschung wird die Anzahl der verkauften Einheiten $V$ als Funktion des Preises $p$ auf $V(p) = 500 - 8p$ geschätzt. (a) Physikalischer Definitionsbereich? (b) Was ist der Gesamtumsatz $R(p) = p \cdot V(p)$? (c) Welcher Preis maximiert den Umsatz? — Vorschau auf die Quadratische.

Bei einer Wanderung mit konstanter Steigung steigt der Kalorienverbrauch $G$ linear mit der Distanz. Nach 1 km wurden 60 kcal verbraucht; nach 5 km 280 kcal. Modelliere $G(d)$.

Betrachte die zwei Internetanbieter:

• Plan A: R$ 90,00/Monat (fest, unbegrenzt)
• Plan B: R$ 30,00/Monat + R$ 4,00 pro genutztem GB

Bei welchem Verbrauch $g$ (in GB) kosten die Pläne dasselbe?