Lektion 4 — Quadratische Funktionen

Löse $x^2 - 4x + 3 = 0$.

Löse $x^2 - 3x - 10 = 0$.

Löse $x^2 - 6x + 9 = 0$.

Prüfe, ob $x^2 + x + 1 = 0$ reelle Nullstellen hat.

Bestimme den Scheitelpunkt von $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

Hat die Funktion aus dem vorherigen Punkt ein Maximum oder ein Minimum? Welches?

Bestimme die Werte von $k$, sodass $x^2 + 2x + k = 0$ zwei verschiedene reelle Nullstellen hat.

Verwende die Vieta-Beziehungen (Summe und Produkt der Nullstellen), um $x^2 - x - 2 = 0$ zu lösen.

Schreibe $f(x) = 2x^2 - 8x + 11$ in der Scheitelpunktform $a(x - x_V)^2 + y_V$ um.

Ein Geschoss wird abgeschossen und seine Höhe als Zeitfunktion ist $h(t) = -5t^2 + 20t$ (in Metern, $t$ in Sekunden). (a) Wann erreicht es die Maximalhöhe? (b) Was ist die Maximalhöhe? (c) Wann fällt es auf den Boden zurück?

Ein Geschäft hat Kosten $C(q) = q^2 - 30q + 250$ für die Herstellung von $q$ Einheiten. Welche Stückzahl minimiert die Kosten?

Ein Bauer hat 200 m Zaun und möchte eine rechteckige Weide einzäunen. Welche Abmessungen maximieren die Fläche?

Bestimme $m$, damit die Funktion $f(x) = mx^2 + (m+1)x + 1$ ihren Scheitelpunkt auf der $y$-Achse hat.

Beweise: Die Abszisse des Scheitelpunkts von $f(x) = ax^2 + bx + c$ ist der Mittelwert der Nullstellen (sofern sie existieren).

Beweise die Mitternachtsformel durch quadratische Ergänzung.

Bestimme Nullstellen, Scheitel und skizziere $f(x) = x^2 - 2x - 8$.

Bestimme Nullstellen, Scheitel und skizziere $f(x) = -2x^2 + 4x + 6$.

Bestimme Nullstellen und Scheitel von $f(x) = 3x^2 - 12x + 9$.

Bestimme Nullstellen und Scheitel von $f(x) = x^2 + 6x + 13$. (Keine reellen Nullstellen — über die Diskriminante prüfen.)

Löse: $x^2 - x - 12 = 0$.

Löse: $4x^2 - 12x + 9 = 0$.

Löse: $2x^2 + 5x - 3 = 0$.

Löse: $x^2 - 4x - 5 < 0$.

Löse: $x^2 \geq 9$.

Für welchen Wert von $a$ ist der Scheitel der Parabel $y = a(x - 3)^2 + 5$ der Punkt $(3, 5)$? Was bewirkt $a$ in der Gestalt des Graphen?

Bestimme $k$, sodass $f(x) = x^2 + kx + 9$ eine doppelte Nullstelle hat.

Schreibe $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$ in der Form $a(x - h)^2 + k$ (Scheitelpunktform) um.

Finde die quadratische Funktion mit Nullstellen bei $-2$ und $5$, die durch $(0, -10)$ verläuft.

Finde die quadratische Funktion mit Scheitel bei $(1, -3)$, die durch $(3, 5)$ verläuft.

Skizziere $y = 2(x-1)^2 - 3$ ausgehend vom Graphen von $x^2$ durch eine Folge von Transformationen.

Ein Geschoss wird vertikal mit Anfangsgeschwindigkeit 30 m/s abgefeuert. Die Höhe ist $h(t) = 30t - 5t^2$ (m). (a) Maximalhöhe? (b) Zeit bis zum Aufprall? (c) Skizziere $h(t)$.

Ein Zaun grenzt ein rechteckiges Grundstück gegen eine Wand ab (Zaun an 3 Seiten). Gesamtzaunlänge: 60 m. Modelliere die Fläche $A$ als Funktion einer Seite und maximiere.

Erlös $R(p) = p \cdot (200 - 4p)$. (a) Für welches $p$ ist der Erlös null? (b) Für welches $p$ ist er maximal? (c) Was ist der Maximalerlös?

Eine Fabrik hat Kosten $C(q) = 2q^2 + 30q + 200$ und Erlös $R(q) = 200q$. (a) Gewinn $L(q)$? (b) $q$, das den Gewinn maximiert? (c) Maximalgewinn?

Die Flugbahn eines von einem Spieler geworfenen Balls wird durch $h(d) = -0{,}1 d^2 + d + 1$ (m) beschrieben, mit $d$ als horizontaler Distanz. (a) Erreichte Maximalhöhe? (b) Wo berührt der Ball den Boden?

Ein rechteckiger Pool hat eine Breite, die $5$ m geringer ist als seine Länge. Die Fläche beträgt $84$ m². Wie sind die Abmessungen?

In der Telekommunikation variiert die empfangene Leistung $P$ mit der Distanz $d$ gemäß $P(d) = P_0 / d^2$ (Quadratisches Abstandsgesetz). Für $P_0 = 100$: (a) $P(2)$? (b) Für welches $d$ beträgt die Leistung 25?

Eine U-förmige Rinne (aus einem 30 cm breiten Blech geformt) hat Boden $x$ und Seiten $(30-x)/2$. Modelliere den Querschnitt $A(x)$ und finde $x$, das den Durchfluss maximiert.

Bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung: $s(t) = s_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$. Für $s_0 = 0$, $v_0 = 20$ m/s, $a = -10$ m/s² (Bremsen), wann ist $s(t) = 0$? Maximal zurückgelegte Strecke?

In der Tumormodellierung (vereinfachtes Modell) wächst das Volumen wie $V(t) = at^2 + b$. Wenn $V(0) = 1$ cm³ und $V(2) = 5$ cm³, bestimme $a, b$.

Bestimme zwei Zahlen, deren Summe 12 und deren Produkt maximal ist.

Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecksgrundstücks mit fester Hypotenuse $c = 10$ m. Eine Kathete misst $x$. Modelliere die Fläche $A(x)$ und maximiere.

In der Optik folgt die Brennweite einer Linse $1/f = 1/d_o + 1/d_i$. Für $f = 10$ cm modelliere $d_i$ als Funktion von $d_o$. Für welches $d_o$ ist das Bild bei der Distanz $d_i = 30$ cm scharf?

In einem Unternehmen beeinflusst die Gehaltserhöhung ($\Delta s$) die Produktivität ($p$): $p(\Delta s) = -0{,}1(\Delta s)^2 + 4 \Delta s + 50$. (a) Optimale Erhöhung? (b) Maximale Produktivität?

Ein Bauer hat 200 m Zaun für einen rechteckigen Hühnerstall, der durch einen Innenzaun parallel zu einer Seite halbiert wird. Welche Abmessungen maximieren die Fläche? Was ist die Maximalfläche?