Lektion 5 — Komposition und Umkehrfunktion

Seien $f(x) = x^2$ und $g(x) = 2x + 3$. Berechne $(f \circ g)(x)$.

Gleiche $f, g$. Berechne $(g \circ f)(x)$.

Bestimme $f^{-1}(x)$ für $f(x) = 3x - 1$.

Bestimme $f^{-1}(x)$ für $f: [0,+\infty) \to [2,+\infty)$, $f(x) = x^2 + 2$.

Für $f(x) = x^2$, $g(x) = x+5$, berechne $(f \circ g)(2)$.

Gleiche Situation. Berechne $(g \circ f)(2)$.

Zeige durch Gegenbeispiel, dass $f \circ g \neq g \circ f$ im Allgemeinen.

Gibt es eine Funktion, sodass $f \circ g = g \circ f$ für jedes $g$? Begründe.

Seien $f, g$ bijektiv. Zeige, dass $(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$. (Umgekehrte Reihenfolge — "Socken aus, bevor Schuhe aus".)

Wenn $f \circ g$ injektiv ist, ist $g$ notwendigerweise injektiv? Begründe.

Ein Produkt kostet $p$ Euro. Laden A gibt $20\%$ Rabatt: $f(p) = 0{,}8p$. Laden B zieht 10€ ab: $g(p) = p - 10$. (a) Wenn man A dann B anwendet, was ist die Formel? (b) Wenn B dann A? (c) Für $p = 100$, welche Strategie zahlt weniger?

Seien $f, g$ so, dass $(f \circ g)(x) = x^2 + 4x$ und $g(x) = x + 2$. Bestimme $f$.

Bestimme $f(x)$, wenn $f(x+1) = 2x^2 + 3x - 1$.

Zeige, dass wenn $f$ bijektiv ist, dann $(f^{-1})^{-1} = f$.

Zeige, dass die Komposition zweier injektiver Funktionen injektiv ist.

Seien $f(x) = x + 5$ und $g(x) = x^2$. Berechne $(f \circ g)(x)$ und $(g \circ f)(x)$.

Seien $f(x) = 3x - 2$ und $g(x) = \frac{1}{x}$. Berechne $(f \circ g)(2)$ und $(g \circ f)(2)$.

Seien $f(x) = \sqrt{x}$ und $g(x) = x^2 - 4$. Bestimme $(f \circ g)(x)$ und seinen Definitionsbereich.

Seien $f(x) = \frac{1}{x-2}$ und $g(x) = x + 3$. Berechne $(f \circ g)(x)$ und gib Einschränkungen an.

Zerlege $h(x) = (3x + 2)^4$ als Komposition $f \circ g$ "einfacherer" Funktionen.

Zerlege $h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ als Komposition.

Zerlege $h(x) = \frac{1}{(x+5)^2}$ als Komposition dreier Funktionen.

Bestimme die Umkehrung von $f(x) = 3x + 7$.

Bestimme die Umkehrung von $f(x) = \frac{x - 1}{2}$.

Bestimme die Umkehrung von $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$, $x \neq 1$.

Bestimme die Umkehrung von $f(x) = \sqrt[3]{x + 5}$.

Verifiziere, dass $f(x) = 2x + 4$ und $g(x) = (x-4)/2$ Umkehrungen voneinander sind (berechne $f \circ g$ und $g \circ f$).

Die Funktion $f(x) = x^2$ ist nicht invertierbar auf $\mathbb{R}$. Bestimme zwei verschiedene Mengen, auf denen $f$ invertierbar wird, und gib die beiden Umkehrungen an.

Zeige grafisch: der Graph der Umkehrung $f^{-1}$ ist die Spiegelung von $f$ an der Geraden $y = x$.

Für $f$ stetig und injektiv auf einem Intervall $I$ zeige, dass auch $f^{-1}$ stetig ist. (Intuitives Argument über Graphen — formale Begründung in Lektion 41.)

Real-Dollar-Konverter: $D(R) = R/5$ (vereinfachter Kurs). Bestimme $D^{-1}$ — wie viele Real pro Dollar? Berechne $D(500)$ und $D^{-1}(50)$.

In der Logistik sind die Versandkosten $C(p) = 30 + 4p$, wobei $p$ das Gewicht in kg ist. Bestimme $C^{-1}(c)$ — welches Gewicht zahlt $c$€ Fracht? Wie viel wiegt ein Paket mit 90€ Fracht?

Umrechnung Celsius zu Fahrenheit: $F(C) = \frac{9}{5}C + 32$. Bestimme $F^{-1}$ und berechne die Temperatur in °C, die $F = 100$ entspricht.

In der Pharmakokinetik produziert die orale Dosis $D$ eine Blutkonzentration $C(D) = 0{,}05 \cdot D$ (mg/L für $D$ in mg). Bestimme $C^{-1}$ — welche Dosis erzeugt Konzentration $c$? Für $c = 2$ mg/L, welche Dosis?

Ein Produkt kostet $p$ Euro. Laden A bietet $f(p) = 0{,}9 p$ (10% Rabatt). Laden B bietet $g(p) = p - 50$ (50€ feste Ermäßigung). Für $p = 800$: (a) welche Strategie zahlt weniger? (b) Für welches $p$ kosten beide Strategien gleich viel?

In Schaltkreisen ist der Gesamtwiderstand zweier Parallelwiderstände $R_T = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$. Für festes $R_1 = 100\,\Omega$ drücke $R_T$ als Funktion von $R_2$ aus. Berechne die Umkehrung: $R_2$ als Funktion von $R_T$.

Wirtschaftliche Nutzenfunktion: $U(c) = \sqrt{c}$ (mit $c$ = Konsum). Bestimme die Umkehrung: welcher Konsum ist nötig für Nutzen $u$? Für $u = 5$, welches $c$?

Ein Auto verbraucht Kraftstoff mit Funktion $C(d) = 0{,}08 d$ Liter (mit $d$ in km). Bestimme $C^{-1}$ — wie viele km mit $c$ Litern? Wie viele km mit 40 L?

Im menschlichen Ohr folgt die Lautwahrnehmung etwa dem Gesetz $S(I) = k \log(I/I_0)$ (logarithmisch — Vorschau Lektion 7). Invertiere, um $I$ als Funktion von $S$ zu finden.

Eine industrielle Bewertungsskala geht von 0 bis 100. Die Industrie muss die Note umgerechnet auf Skala 1-10 veröffentlichen. Modelliere die Umrechnung $C(n)$ und ihre Umkehrung.

In der JPEG-Bildkompression hängt der Qualitätsfaktor $Q \in [0, 100]$ mit der Bitrate pro Pixel zusammen. Vereinfachtes Modell: $b(Q) = 0{,}05 Q^2$ bpp. Invertiere zu $Q$ als Funktion von $b$.

Ein Pool hat eine Füllfunktion $V(t) = 80t$ Liter. Bestimme $V^{-1}(v)$ — wie lange, um $v$ Liter zu füllen. Wie lange für 4.000 L?

In der Populationsmodellierung verdoppelt sich $P(t) = P_0 \cdot 2^{t/T}$ alle $T$ Jahre. Invertiere zu $t(P)$ — in welcher Zeit erreicht die Population $P$? (Verwendet Logarithmus aus Lektion 7.)

Ein Techniker, der den Zuckergehalt in Limonade misst, verwendet die Dichte-Konzentrations-Beziehung $\rho(c) = 1{,}0 + 0{,}004 c$ (g/cm³ für $c$ in g/L). Invertiere: schätze $c$, wenn $\rho = 1{,}080$.

Produktionsfunktion: jeder Bediener produziert $p(n) = 50n - 0{,}5 n^2$ Einheiten, $n \in [0, 100]$. (a) Lokale Umkehrung auf $[0, 50]$. (b) Für welches $n$ ist die Produktion maximal?