Lektion 6 — Exponentialfunktionen

Berechne $2^5$.

Berechne $2^{-3}$.

Löse $2^x = 8$.

Löse $3^x = 1/9$.

Löse $2^{x+1} = 32$.

Löse $2^x > 2$.

Löse $4^x = 64$.

Löse $9^x = 27$.

Zeige, dass $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$ unter Verwendung der Definition der ganzzahligen Potenz gilt.

Eine Bakterienkolonie verdoppelt sich jede Stunde. Anfangs gibt es 50 Bakterien. (a) Modelliere $N(t)$. (b) Wie viele wird es nach 6 Stunden geben? (c) In welcher Zeit erreicht die Population 12.800?

Du legst R$1.000 zu 6% pro Jahr mit jährlicher Verzinsung an. (a) Modelliere $S(t)$ nach $t$ Jahren. (b) Berechne nach 5 Jahren. (c) Wenn die Verzinsung monatlich wäre, wie hoch wäre der Saldo nach 5 Jahren?

Die Halbwertszeit von Kohlenstoff-14 beträgt 5.730 Jahre. Ein Knochen enthält $1/8$ des ursprünglichen Kohlenstoff-14. Wie alt ist er?

Eine Stadt hat 100.000 Einwohner und wächst um 3% pro Jahr. In wie vielen Jahren verdoppelt sich die Bevölkerung?

Löse $4^x - 2 \cdot 2^x - 8 = 0$. (Tipp: substituiere $u = 2^x$.)

Zeige, dass $a^x = b^x$ impliziert $a = b$ oder $x = 0$, für $a, b > 0$.

Löse $2^{x+3} = 4$.

Löse $5^{2x-1} = 125$.

Löse $9^x = 27$.

Löse $3^{x^2 - 1} = 81$.

Löse $\left(\frac{1}{2}\right)^{2x} = 8$.

Löse $4^x + 2^{x+1} - 8 = 0$. (Tipp: $u = 2^x$.)

Löse $9^x - 3^{x+1} - 18 = 0$.

Löse $3^x < 9$.

Löse $5^{x+1} \geq 25$.

Löse $\left(\frac{1}{4}\right)^x > 64$.

Skizziere $f(x) = 2^x$ und $g(x) = 2^{-x}$ auf derselben Ebene. Bestimme, wo sie sich schneiden.

Vergleiche grafisch $f(x) = 2^x$ und $g(x) = 3^x$ im Intervall $[-2, 2]$. Für welches $x$ gilt $f = g$?

Zeige, dass $f(x) = a^x$ streng monoton wachsend ist, wenn $a > 1$, und streng monoton fallend, wenn $0 < a < 1$.

Berechne $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ für $n = 1, 10, 100, 1.000, 10.000$. Vergleiche mit $\e \approx 2{,}71828$.

Für welchen Wert von $a$ verläuft die Funktion $f(x) = a^x$ durch den Punkt $(2, 9)$? Und durch den Punkt $(3, 1/8)$?

Eine Bakterienkultur verdreifacht sich alle 4 Stunden. Wenn anfangs 200 Bakterien vorhanden sind, modelliere $N(t)$ und berechne $N(12)$.

Du legst R$ 5.000 zu 0,8% pro Monat mit monatlicher Verzinsung an. (a) Modelliere $S(t)$ in Monaten. (b) Saldo nach 24 Monaten?

Kontinuierliche Verzinsung: $S(t) = S_0 \e^{rt}$. Bei Anlage von R$ 1.000 zu $r = 10\%$ p.a. vergleiche den Saldo nach 5 Jahren mit jährlicher Verzinsung ($1{,}10^5$) und kontinuierlicher ($\e^{0{,}5}$).

Halbwertszeit von Technetium-99m (Nuklearmedizin): 6 Stunden. Bei einer Anfangsdosis von 200 mCi, wie viel bleibt nach 18 Stunden übrig?

Die Bevölkerung einer Stadt wächst um 2,5% pro Jahr. Wenn aktuell = 80.000, wie hoch in 10 Jahren?

Exponentieller Zerfall: $A(t) = A_0 \cdot 0{,}5^{t/T}$. Für $A_0 = 100$ und $T = 5$, was ist $A(15)$? Was ist $A(0)$?

Die Lichtintensität in Wasser nimmt ab als $I(x) = I_0 \e^{-0{,}3 x}$ (mit $x$ in Metern). (a) In welcher Tiefe ist $I = 0{,}1 I_0$? (b) Für $I_0 = 1.000$ Lux, was ist $I$ bei 5 m?

Beim Sportfischen: Die Temperatur $T(t)$ eines toten Fisches im Kühlschrank folgt dem Newtonschen Gesetz: $T(t) - T_a = (T_0 - T_a)\e^{-kt}$. Für $T_a = 5\,°C$, $T_0 = 25\,°C$, $k = 0{,}1$/min: (a) $T(10)$; (b) Wann $T = 6\,°C$?

Ein Medikament wird mit Rate $k = 0{,}3$/h aus dem Körper eliminiert. Bei Anfangsdosis 500 mg: (a) modelliere $C(t)$; (b) Wann ist die Konzentration die Hälfte der Anfangskonzentration?

In Computernetzwerken kann die Wahrscheinlichkeit, dass ein Paket in $t$ Sekunden ankommt, durch $P(t) = 1 - \e^{-\lambda t}$ approximiert werden. Für $\lambda = 0{,}5$/s: (a) $P(2)$; (b) Für welches $t$ ist die Wahrscheinlichkeit 0,9?

Ein Kondensator entlädt sich gemäß $V(t) = V_0 \e^{-t/RC}$. Für $V_0 = 12$V, $RC = 2$s: (a) $V(1)$; (b) Wann $V = 1$V?

Bei täglichem Zinseszins: $S = S_0 (1 + r/365)^{365 t}$ approximiert die kontinuierliche Verzinsung. Für $r = 12\%$ p.a., $S_0 = 1.000$, berechne $S$ in 2 Jahren.

In einer Bevölkerungsstudie modelliert eine Stadt: $P(t) = 50.000 \cdot 1{,}03^t$ mit $t$ in Jahren. (a) In welcher Zeit verdoppelt sich? (b) Was ist die jährliche Rate als Prozentsatz $r$?

Die durch Abschirmung absorbierte ionisierende Strahlung folgt $I(x) = I_0 \e^{-\mu x}$ (mit $\mu$ = Schwächungskoeffizient). Für $\mu = 0{,}2$/cm: (a) Bei welcher Dicke $I = I_0/10$? (b) Skizziere.

Atmosphärische Streuung (Rayleigh) — Intensität des gestreuten blauen Lichts $\propto 1/\lambda^4$. Für $\lambda_v = 700$ nm (rot) und $\lambda_a = 450$ nm (blau), wie lautet das Streuungsverhältnis?