Lektion 7 — Logarithmische Funktionen

Berechne $\log_2 8$.

Berechne $\log_3 81$.

Berechne $\log_5 (1/5)$.

Berechne $\log_{10} 1$.

Berechne $\log_{10} 1000$.

Berechne $\log_4 2$.

Löse $\log_2 x = 5$.

Löse $\log_{10} x = 2$.

Verwende die Rechenregeln, um $\log_2 8 + \log_2 4 - \log_2 16$ zu vereinfachen.

Berechne $\log_2 \sqrt{32}$ mit den Rechenregeln.

Löse $\log_2 x + \log_2 (x - 2) = 3$.

Die Stärke eines Erdbebens ist $A = 10^M \cdot A_0$, wobei $A_0$ Referenz und $M$ die Magnitude (Richter) ist. Wie viel mehr Energie setzt ein Beben der Magnitude 7 gegenüber einem der Magnitude 4 frei?

Die Halbwertszeit von Iod-131 beträgt 8 Tage. Wie lange, bis $1/16$ des ursprünglichen Iods übrig ist? Verwende $\log_2 16 = 4$.

In einer Lösung gilt $[H^+] = 4 \times 10^{-5}$ mol/L. Berechne den pH. (Tipp: $\log_{10} 4 \approx 0{,}6$.)

Beweise die Eigenschaft $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$ mithilfe der Definition.

Berechne $\log_5 25$.

Berechne $\log_3 (1/9)$.

Berechne $\log_{16} 64$.

Berechne $\log_2 32 + \log_2 4$.

Berechne $\log_3 27 - \log_3 9$.

Verwende die Rechenregeln zur Vereinfachung: $\log_2 (8 \cdot 16)$.

Verwende die Rechenregeln zur Vereinfachung: $\log_2 (32/8)$.

Verwende die Rechenregeln: $\log_5 (125^3)$.

Verwende den Basiswechsel: $\log_2 7 = ?$ (in Termen von $\ln$).

Löse $\log_3 x = 4$.

Löse $\log_2 (x+1) = 5$.

Löse $\log_4 x + \log_4 (x-3) = 1$.

Löse $\log_3 (x^2 - 5x + 9) = 1$.

Löse $\ln(x+1) = 2$.

Löse $\log_5 x = \log_5 6 + \log_5 4$.

Die Richter-Magnitude eines Erdbebens ist $M = \log_{10}(A/A_0)$. Wie viel stärker ist ein Beben der Magnitude 8 verglichen mit einem der Magnitude 5?

Schallintensität in Dezibel: $L = 10 \log_{10}(I/I_0)$ mit $I_0 = 10^{-12}$ W/m². (a) Berechne $L$ für ein normales Gespräch $I = 10^{-6}$ W/m². (b) Berechne $L$ für ein Rockkonzert $I = 10^{-2}$ W/m². (c) Die Differenz von $L$ ist groß, aber das Verhältnis $I_{\text{show}}/I_{\text{conversa}}$ ist viel größer. Kommentiere.

pH einer Lösung: $\text{pH} = -\log_{10}[H^+]$. (a) Berechne pH für $[H^+] = 10^{-3}$ mol/L. (b) Wie viel saurer ist eine Lösung mit pH 4 im Vergleich zu pH 7?

Ein Medikament hat eine Halbwertszeit von 6 Stunden. Wie viele Halbwertszeiten, bis der Spiegel unter 1 % des Anfangswerts fällt? Verwende $\log_{10}$ oder $\log_2$.

Die Weltbevölkerung wächst um 1,1 % pro Jahr. In welcher Zeit verdoppelt sie sich? (Verwende $\ln 2 \approx 0{,}693$.)

Die Kohlenstoff-14-Datierung verwendet $t = \frac{\tau_{1/2}}{\ln 2} \cdot \ln(N_0/N)$. Für $\tau_{1/2} = 5.730$ Jahre und Verhältnis $N/N_0 = 0{,}25$, wie alt?

Im Finanzwesen, die umgekehrte Zinseszinsformel: $t = \log(S/S_0)/\log(1+i)$. Für $S_0 = 1.000$, $i = 8\%$ p.a., wie viel Zeit, um $S = 5.000$ zu erreichen?

In der Statistik, die Shannon-Entropie: $H = -\sum p_i \log_2 p_i$ (in Bits). Berechne $H$ für eine Gleichverteilung über 4 Elemente ($p = 1/4$ für jedes).

In der Datenkompression besagt das fundamentale Theorem, dass jedes Symbol im Mittel $\geq H$ Bits braucht. Für das Alphabet $\{A, B, C\}$ mit Wahrscheinlichkeiten $\{0{,}5, 0{,}3, 0{,}2\}$, berechne $H$.

Beer-Lambert-Gesetz (Chemie): $A = \log_{10}(I_0/I)$. Für $A = 0{,}3$, welcher Anteil $I/I_0$ wird durchgelassen?

In der Fotografie repräsentiert jeder „Stop" $\log_2$ des Helligkeitsverhältnisses. Wie viele Stops trennen ISO 100 und ISO 1.600?

In der Funktechnik: Verhältnis von Leistungen in dB: $\Delta = 10 \log_{10}(P_1/P_2)$. Wenn $P_1$ 100-mal größer als $P_2$ ist, was ist $\Delta$?

Die Skala der Sternmagnitude (Astronomie) lautet $m_1 - m_2 = -2{,}5 \log_{10}(F_1/F_2)$. Sirius ($m \approx -1{,}5$) ist wie viel mal heller als ein Stern der Magnitude 6?

In der Informatik beträgt die Komplexität der binären Suche $O(\log_2 n)$. Für $n = 1.000.000$, wie viele Vergleiche?

Bevölkerungswachstum: $P(t) = P_0 \e^{rt}$. Forme nach $t$ in Abhängigkeit von $P, P_0, r$ um. Verwende das Ergebnis, um zu berechnen, wie lange es dauert, R$ 1.000 bei 10 % p.a. zu verdoppeln.