Lektion 8 — Exponentielles Wachstum und Zerfall

Eine Bakterienkultur verdoppelt sich alle 30 Minuten. Anfangs 100 Bakterien. Wie viele nach 3 Stunden?

R$ 2.000 angelegt zu 8% pro Jahr mit Zinseszins. Saldo nach 10 Jahren?

Die Halbwertszeit eines Isotops beträgt 5 Jahre. Wie viel bleibt nach 25 Jahren?

Die Bevölkerung einer Stadt wächst um 2% pro Jahr. In wie vielen Jahren verdreifacht sie sich?

Ein Kaffee bei 90°C kühlt in einer Umgebung von 20°C ab. Nach 5 Min. ist er bei 70°C. Modellieren Sie $T(t)$ mit dem Newtonschen Gesetz.

Zeigen Sie, dass wenn $N(t) = N_0 e^{kt}$, das Verhältnis $N(t+\Delta t)/N(t)$ nur von $\Delta t$ abhängt, nicht von $t$. Dies definiert exponentielles Wachstum.

Wenn sich eine Menge alle 7 Jahre verdoppelt, wie hoch ist die kontinuierliche Wachstumsrate $k$?

Ein Medikament hat eine Halbwertszeit von 6 Stunden im Organismus. Der Patient nimmt 200 mg. (a) Wie viel bleibt nach 12 Stunden? (b) Nach 24 Stunden? (c) Wann fällt der Spiegel unter 10 mg?

Die Beziehung zwischen Senderantennenleistung $P$ (in W) und Reichweite $d$ (in km) ist empirisch durch $d = 10 \cdot P^{0{,}25}$ gegeben. Bestimmen Sie $d$ für $P = 100$ W. Linearisieren Sie durch log und identifizieren Sie die Steigung.

Kohlenstoff-14-Datierung: Ein Knochen enthält $30\%$ des ursprünglichen Kohlenstoff-14. Da $\tau_{1/2} = 5730$ Jahre, wie alt ist der Knochen?

In 7 Jahren hat sich die Fischpopulation in einem See verdoppelt. Bei gleicher Rate, in wie vielen Jahren vervierfacht sie sich? In wie vielen verfünffacht sie sich?

Eine Bank bietet zwei Anlageoptionen: A: 12% pro Jahr mit jährlicher Kapitalisierung. B: 11,5% pro Jahr mit kontinuierlicher Kapitalisierung. Welche bringt mehr in 5 Jahren?

Die Weltbevölkerung war 6 Milliarden in 2000 und 8 Milliarden in 2024. (a) Modellieren Sie unter Annahme exponentiellen Wachstums. (b) In welchem Jahr soll sie 10 Milliarden erreichen?

Zeigen Sie, dass wenn $N(t)$ $\dot N = kN$ mit konstantem $k$ erfüllt, dann ist $N(t) = N(0) e^{kt}$. (Sie können informelle Manipulation von Ableitungen zugeben; dies wird in Trim 10 formalisiert.)

Eine Kultur wächst von 1.000 auf 8.000 in 6 Stunden. Bestimmen Sie die Verdopplungszeit.

Die Weltbevölkerung war 7,8 Milliarden in 2020 und wächst um 1,1% pro Jahr. Wie viel wird sie 2050 sein?

Eine Investition von R$ 5.000 zu 1,2% pro Monat mit monatlicher Kapitalisierung: Saldo nach 24 Monaten?

Bakterien verdoppeln sich alle 20 Minuten. Anfangs 200. Wie viele nach 4 Stunden?

Die Wachstumskonstante einer Population ist $r = 0{,}05$/Jahr. In wie vielen Jahren wächst die Bevölkerung um 50%?

Brasiliens Bevölkerung wuchs von 190 Millionen in 2010 auf 215 Millionen in 2024. Schätzen Sie die jährliche Rate.

Kontinuierliche Kapitalisierung: R$ 1.000 zu 6% p.a. Wie viel nach 10 Jahren? Vergleichen Sie mit jährlicher Kapitalisierung.

In Marktforschung wächst ein neues Produkt 8% pro Monat während des Launches. In wie vielen Monaten verdoppelt es sich?

Jährliche Inflation von 4%: in wie vielen Jahren verdoppeln sich die Preise?

In der Demografie wächst die "Abhängigkeitsrate" (Senioren/Aktive) 2% pro Jahr. In wie vielen Jahren verdreifacht sie sich?

Zeigen Sie, dass wenn $N(t) = N_0 \e^{kt}$, dann $\ln N$ vs $t$ eine Gerade mit Steigung $k$ ist. (Dies ist die Grundlage der linearen Regression über Exponentialdaten.)

Vergleichen Sie reines exponentielles Wachstum $\dot N = rN$ mit logistischem Wachstum $\dot N = rN(1 - N/K)$ qualitativ. Wann ist das logistische realistischer?

Erläutern Sie die Faustregel: "Verdopplungszeit $\approx 70/r\%$" (70er Regel). Verwenden Sie $\ln 2 \approx 0{,}693$.

Halbwertszeit und Verdopplungszeit sind analog. Zeigen Sie: für Wachstum $\dot N = kN$, $T_\text{dupl} = \ln 2 / k$.

COVID-19-Wachstum in den ersten 30 Tagen: ungefähr $r = 0{,}3$/Tag (Verdopplungszeit ~2,3 Tage). Schätzen Sie, wie viele Fälle in 30 Tagen vorhanden sein werden, wenn anfänglich 100 vorhanden waren. (Dieses Modell gilt nur am Anfang — danach kommt logistisch/Intervention.)

Newtonsches Abkühlungsgesetz: $T(t) - T_a = (T_0 - T_a) \e^{-kt}$. Zeigen Sie, dass die Halbwertszeit der Differenz $\ln 2 / k$ ist.

Kohlenstoff-14 hat eine Halbwertszeit von 5.730 Jahren. Ein Knochen enthält $\frac{1}{8}$ des ursprünglichen C-14. Wie alt ist er?

Uran-238 hat eine Halbwertszeit von 4,5 Milliarden Jahren. Warum wird es zur geologischen Datierung verwendet? In welcher Zeit zerfällt es um 25%?

Ein medizinisches Isotop (Tc-99m) hat eine Halbwertszeit von 6 Stunden. Bei einer Anfangsdosis von 25 mCi, wie viel bleibt nach 24 Stunden?

In der Pharmakokinetik beträgt die Halbwertszeit von Paracetamol ~2,5 Stunden. Bei einer Dosis von 500 mg, wann fällt sie auf 100 mg?

Sich entladender Kondensator: $V(t) = V_0 \e^{-t/\tau}$ mit $\tau = RC$. Für $R = 1\,\text{k}\Omega$, $C = 100\,\mu$F, $V_0 = 12$V: (a) $\tau$? (b) $V(0{,}1)$ s? (c) Wann $V = 1$V?

Kaffee bei 90°C kühlt in einem Raum von 25°C ab. Nach 10 Min. ist er bei 75°C. Modellieren Sie $T(t)$ mit dem Newtonschen Gesetz. Wann erreicht er 30°C?

In RL-Schaltungen wächst der Strom als $I(t) = (V/R)(1 - \e^{-Rt/L})$. Für $V = 12$V, $R = 4\,\Omega$, $L = 2$H: (a) Zeitkonstante? (b) $I(0{,}5)$? (c) Wann $I = 90\%$ des Endwerts?

Ein Kernreaktor erzeugt nach Abschaltung Leistung $P(t) = P_0 \e^{-\lambda t}$. Für $\lambda = 0{,}05$/h: (a) Wie lange, bis die Leistung auf 1% fällt? (b) Skizzieren.

In der Krankheitsausbreitung (vereinfachtes SIR-Modell) zerfällt die Anzahl der Infizierten nach dem Höhepunkt exponentiell, wenn die Genesungsrate die Übertragung übersteigt. Modellieren Sie den "Post-Peak-Zerfall" und schätzen Sie die Zeit für einen 90%igen Abfall, wenn $\gamma = 0{,}1$/Tag.

Bei der Kalium-Argon-Datierung (Vulkangestein): Halbwertszeit von K-40 = 1,25 Milliarden Jahre. Für ein Gestein mit Verhältnis Ar/K = 0,3, wie alt ist es?

In der buchhalterischen Abschreibung (Regel "abnehmender Saldo"): $V(t) = V_0 (1-r)^t$. Für ein Gerät von R$ 50.000 mit $r = 15\%$/Jahr, wie hoch ist der Wert nach 5 Jahren? Wie viel schreibt es in 10 Jahren ab?

Akustik: Der Schallpegel eines Motors nimmt mit der Entfernung als $L(d) = L_0 - 20 \log_{10}(d/d_0)$ ab. Für $L_0 = 100$ dB bei $d_0 = 1$ m, wie hoch ist $L$ bei 10 m?

Geologische Datierung mit Uran-Blei: Halbwertszeit U-238 → Pb-206 = 4,5 Milliarden Jahre. Für Zirkon mit 80% verbleibendem U-238, wie alt ist das Gestein?

In der logistischen Bevölkerungsmodellierung, $N(t) = K/(1 + A\e^{-rt})$. Für $K = 1.000$, $A = 9$, $r = 0{,}1$/Jahr, $t = 0$ entspricht $N(0) = 100$. Berechnen Sie $N(20)$.

In der Wirtschaft, 72er-Regel: Verdopplungszeit $T \approx 72/r\%$. Vergleichen Sie mit der exakten Formel $T = \ln 2 / \ln(1+r)$ für $r = 5\%, 10\%, 20\%$.