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Lektion 9 — Durchschnittliche Änderungsrate — Eingang zur Kalkulation

Δy/Δx als zentrales Konzept, das der Ableitung vorausgeht. Geometrische Interpretation (Steigung) und physikalische (Durchschnittsgeschwindigkeit). Die Frage, die die Kalkulation öffnet: 'was wenn Δx sehr klein wird?'

Used in: 1.º ano EM · porta de entrada para Cálculo (Trim 5-6)

\text{DAR} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definition und Interpretation

Geometrische Interpretation

Es ist die Steigung der Sekante zum Graphen von $f$ durch die Punkte $(a, f(a))$ und $(b, f(b))$ .

Sekante (orange) durch die Punkte (a, f(a)) und (b, f(b)). Ihre Steigung ist genau Δy / Δx, die durchschnittliche Änderungsrate von f in [a, b].

Spezialfälle

$f$ affin ( $f(x) = mx + n$ ): DAR ist konstant und gleich $m$ , unabhängig vom Intervall.
$f$ quadratisch: DAR variiert je nach Intervall.

Die Frage, die die Kalkulation öffnet

Was wenn $\Delta x \to 0$ ? Die Sekante "wird immer mehr zur" Tangente, und die DAR konvergiert zur Momentanen Änderungsrate — was genau die Ableitung $f'(a)$ ist.

Dies ist das Thema der Trim 5 (Grenzwerte) und Trim 6 (Ableitungen). Diese Lektion ist die Vorschau.

Physikalische Interpretation: Geschwindigkeit

In der Kinematik, wenn $x$ Zeit und $f(x)$ Position ist:

$v_{\text{durchschnittlich}} = \frac{\text{Positionsänderung}}{\text{Zeitänderung}} = \frac{f(t_2) - f(t_1)}{t_2 - t_1}$

Die Durchschnittsgeschwindigkeit über $[t_1, t_2]$ ist die Sekante zur Kurve "Position vs. Zeit". Die Momentangeschwindigkeit zur Zeit $t$ ist die Tangente — die Ableitung der Positionsfunktion.

Gelöste Beispiele

Example— 1· Durchschnittliche Änderungsrate einer linearen Funktion (Anwendung)

Problem: Finden Sie die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion $f(x) = 3x - 2$ über dem Intervall $[1, 4]$ .

Strategie: Verwenden Sie die Formel für die durchschnittliche Änderungsrate: $\text{DAR} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Lösung:

Identifizieren Sie $a$ und $b$ : $a = 1$ , $b = 4$ .
Berechnen Sie $f(a)$ und $f(b)$ :
- $f(1) = 3(1) - 2 = 3 - 2 = 1$
- $f(4) = 3(4) - 2 = 12 - 2 = 10$
Wenden Sie die Formel an: $\text{DAR} = \frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{10 - 1}{3} = \frac{9}{3} = 3$

Interpretation: Für jede Einheit, die wir in $x$ erhöhen, erhöht sich $f(x)$ um 3. Das ist genau die Steigung der Funktion — erinnern Sie sich, $f(x) = 3x - 2$ hat Steigung 3.

Nota: Bei linearen Funktionen ist die durchschnittliche Änderungsrate konstant und gleich der Steigung (hier 3), egal welches Intervall Sie wählen.

Quelle. Active Calculus — Boelkins §1.3.

Example— 2· Durchschnittliche Änderungsrate einer quadratischen Funktion (Mittelstufe)

Problem: Gegeben $f(x) = x^2 - 2x$ . Finden Sie die DAR über $[1, 3]$ und über $[1, 1.5]$ .

Strategie: Berechnen Sie $f$ an den Endpunkten jedes Intervalls, wenden Sie dann die Formel an.

Lösung:

Für das Intervall $[1, 3]$ :
- $f(1) = 1^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$
- $f(3) = 3^2 - 2(3) = 9 - 6 = 3$
- DAR = $\frac{3 - (-1)}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$
Für das Intervall $[1, 1.5]$ :
- $f(1) = -1$ (von oben)
- $f(1.5) = 1.5^2 - 2(1.5) = 2.25 - 3 = -0.75$
- DAR = $\frac{-0.75 - (-1)}{1.5 - 1} = \frac{0.25}{0.5} = 0.5$

Beobachtung: Die DAR ist unterschiedlich! Über $[1, 3]$ ist sie 2, aber über $[1, 1.5]$ ist sie 0.5. Dies passiert, weil quadratische Funktionen nicht linear sind — ihre Steigung variiert.

Geometrisch: Die Sekante durch $(1, -1)$ und $(3, 3)$ hat Steigung 2. Die Sekante durch $(1, -1)$ und $(1.5, -0.75)$ hat Steigung 0.5.

Quelle. OpenStax Calculus Volume 1 §2.1.

Example— 3· Durchschnittsgeschwindigkeit (Physikalische Anwendung)

Problem: Ein Ball wird aus der Höhe mit der Funktion $h(t) = 20t - 5t^2$ (Höhe in Metern, Zeit in Sekunden) nach oben geworfen. Finden Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen $t = 1$ und $t = 3$ Sekunden.

Strategie: Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist die Änderungsrate der Position bezüglich der Zeit.

Lösung:

Berechnen Sie die Positionen:
- $h(1) = 20(1) - 5(1)^2 = 20 - 5 = 15$ Meter
- $h(3) = 20(3) - 5(3)^2 = 60 - 45 = 15$ Meter
Durchschnittsgeschwindigkeit: $v_{\text{durchschnittlich}} = \frac{h(3) - h(1)}{3 - 1} = \frac{15 - 15}{2} = \frac{0}{2} = 0 \text{ m/s}$

Interpretation: Durchschnittlich war die Geschwindigkeit 0 m/s. Das bedeutet, der Ball hatte dieselbe Höhe um 1 Sekunde und um 3 Sekunden! (Er ist zwischen diesen Zeiten nach oben gegangen und dann wieder heruntergekommen.)

Hinweis: Die momentane Geschwindigkeit bei $t = 1$ ist nicht 0 — das ist die Ableitung $h'(1) = 20 - 10(1) = 10$ m/s.

Quelle. OpenStax Calculus Volume 1 §2.1 — Kinematics.

Example— 4· Durchschnittliche Kostenänderung (Ökonomische Anwendung)

Problem: Die Kostenfunktion eines Unternehmens ist $C(q) = 500 + 20q + 0,5q^2$ (Kosten in Dollar, $q$ = Einheiten). Finden Sie die durchschnittliche Kostenerhöhung, wenn die Produktion von 10 auf 20 Einheiten erhöht wird.

Strategie: Die durchschnittliche Kostenänderung ist die DAR der Kostenfunktion.

Lösung:

Berechnen Sie die Kosten:
- $C(10) = 500 + 20(10) + 0,5(10)^2 = 500 + 200 + 50 = 750$ Dollar
- $C(20) = 500 + 20(20) + 0,5(20)^2 = 500 + 400 + 200 = 1100$ Dollar
Durchschnittliche Kostenerhöhung pro Einheit: $\frac{\Delta C}{\Delta q} = \frac{1100 - 750}{20 - 10} = \frac{350}{10} = 35 \text{ $/Einheit}$

Interpretation: Wenn die Produktion von 10 auf 20 Einheiten erhöht wird, betragen die durchschnittlichen zusätzlichen Kosten 35 Dollar pro Einheit.

(Die Grenzkosten bei genau $q = 10$ wäre die Ableitung $C'(10) = 20 + 0,5(2)(10) = 20 + 10 = 30$ $/Einheit — etwas kleiner.)

Quelle. Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs Kap. 5.

Exercise list

10 exercises · 2 with worked solution (25%)

Application 6Understanding 4

Ex. 9.1Application
Berechnen Sie die DAR von $f(x) = 2x + 1$ über $[1, 4]$ .
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Ex. 9.2Application
Berechnen Sie die DAR von $f(x) = -x + 5$ über $[0, 3]$ .
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Ex. 9.3ApplicationAnswer key
Berechnen Sie die DAR von $f(x) = x^2$ über $[2, 3]$ .
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Ex. 9.4Application
Berechnen Sie die DAR von $f(x) = -3x + 10$ über $[1, 5]$ .
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Ex. 9.5Application
Ein Ball wird mit $h(t) = 50t - 5t^2$ geworfen. Berechnen Sie die DAR (Durchschnittsgeschwindigkeit) zwischen $t = 3$ und $t = 5$ Sekunden.
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Ex. 9.6Application
Berechnen Sie die DAR von $f(x) = x^2 - 3x$ über $[2, 5]$ .
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Ex. 9.7UnderstandingAnswer key
Warum ist die DAR einer linearen Funktion konstant, aber die DAR einer quadratischen nicht?
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Ex. 9.8Understanding
Was ist die geometrische Bedeutung der DAR?
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Ex. 9.9Understanding
Was ist der Unterschied zwischen der DAR und der Ableitung?
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Ex. 9.10Understanding
Kann die Durchschnittsgeschwindigkeit 0 sein, wenn die Momentangeschwindigkeit nie 0 war?
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Quellen

Active Calculus 2.0 — Matthew Boelkins, 2023. Lizenz CC-BY-NC-SA.
OpenStax Calculus Volume 1 — Herausgeber: Richard S. Baraniuk, et al. Lizenz CC-BY 4.0.
Stitz-Zeager Precalculus — Carl Stitz & Jeff Zeager. Lizenz CC-BY-NC-SA.
Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs — Katherine Yoshiwara & Bruce Yoshiwara. Lizenz frei.