Lektion 10 — Konsolidierung Trim 1: integrierender Workshop

Finden Sie den maximalen Definitionsbereich von $f(x) = \log_2(x^2 - 4)$.

Seien $f(x) = 2^x$ und $g(x) = \log_2 x$. Berechnen Sie $f(g(8))$ und $g(f(3))$.

Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden, die durch den Scheitel der Parabel $y = x^2 - 4x + 7$ geht und die Steigung 2 hat.

Lösen Sie $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$.

Berechnen Sie die MÄR von $f(x) = 2x + 3$ im Intervall $[1, 2]$.

Seien $f(x) = x^2 + 1$ und $g(x) = \sqrt{x}$. Bestimmen Sie $(f \circ g)(x)$ und den Definitionsbereich dieser Verkettung.

Zeigen Sie, dass wenn $f$ gerade ist ($f(-x) = f(x)$) und $g$ ungerade ist ($g(-x) = -g(x)$), dann $f \cdot g$ ungerade ist.

Lösen Sie das System $\begin{cases} \log_2 x + \log_2 y = 5 \\ x - y = 16 \end{cases}$.

Ist die Funktion $f(x) = (1/2)^{x-1}$ wachsend oder fallend? Begründen Sie.

Bestimmen Sie $a$ so, dass die Funktion $f(x) = (a-1)x^2 + 3x - 2$ ihren Scheitel bei $x = 1$ hat.

Ein Schwimmbad wird in zwei Etappen gefüllt: in den ersten 2 Stunden mit konstantem Durchfluss von 500 L/h; danach mit konstantem Durchfluss von 800 L/h. Modellieren Sie das Volumen $V(t)$. Wie lange dauert es, bis das 6000-L-Becken voll ist?

Ein Kondensator entlädt sich gemäß $V(t) = V_0 e^{-t/\tau}$, wobei $\tau = 0{,}5$s. Für $V_0 = 12$V: (a) Wie hoch ist die Spannung bei $t = 1$s? (b) Wie lange dauert es, bis die Spannung auf 1 V fällt? (c) Wie lange dauert es, bis sie sich halbiert?

Das Familieneinkommen R\ steigt linear mit der Schulbildung $e$ (Jahre): $R = 800 + 200e$. (a) Wie hoch ist das Durchschnittseinkommen pro zusätzliches Studienjahr? (b) Bei welchem Wert von $e$ erreicht das Einkommen R$5.000?

Ein Medikament hat eine Halbwertszeit von 3h. Sie nehmen jetzt 100 mg ein. Sie nehmen eine weitere Dosis von 100 mg in 6h ein. Modellieren Sie die Gesamtkonzentration $C(t)$ über die ersten 12h.

Ein Unternehmen modelliert seine Kosten $C(q) = 50 + 20q + 0{,}5q^2$ und Einnahmen $R(q) = 60q$. Gewinn $L = R - C$. (a) Wann ist der Gewinn null? (b) Welche Menge maximiert den Gewinn?

Eine Stadt schätzt ihre Bevölkerung durch $P(t) = P_0 \cdot 1{,}025^t$ (Jahre). 2020 ist $P_0 = 50.000$. In welchem Jahr erreicht sie 100.000?

Die Sonneneinstrahlung auf der Erde variiert im Laufe des Jahres. Bei einer Breite wird sie modelliert als $I(t) = 800 + 200 \sin(\pi t / 6)$ (W/m², mit $t$ in Monaten). (a) Minimum? (b) Maximum? (c) In welchem Monat tritt das Maximum auf?

Ein Unternehmen hat zwei Arten von Arbeitern: A mit festem Gehalt R$3000/Monat; B mit variablem Gehalt $0{,}1 \cdot V$, wobei $V$ die monatlichen Verkäufe in R$ sind. Bei welchem Verkaufsvolumen übersteigt Gehalt B Gehalt A?

Für $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - 6x + 8$, bestimmen Sie: (a) Nullstellen; (b) Scheitel; (c) größtes Intervall, in dem $f$ injektiv ist; (d) Umkehrung in diesem Intervall.

Lösen Sie: $\log_2(x+3) + \log_2(x-1) = 5$.

Eine Kultur $A$ wächst mit der Rate $0{,}05$ pro Stunde ($r_A = 0{,}05$); Kultur $B$ wächst mit der Rate $0{,}10$ pro Stunde. Bei $t = 0$ hat $A$ $1000$ Zellen, $B$ hat $200$. Wann haben die beiden Kulturen die gleiche Größe?

Lösen Sie das System: $\begin{cases} 1 \leq x < 4 \\ (x - 3)^2 \leq 1 \end{cases}$

Für die Funktion $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}$: (a) bestimmen Sie Definitionsbereich und Bild; (b) prüfen Sie, ob sie injektiv ist; (c) finden Sie die Umkehrung.

Beweisen Sie, dass jede Funktion $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion geschrieben werden kann. (Hinweis: $f(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2}$.)

Beweisen Sie, dass wenn $a, b > 0$ und $a + b = c$ (konstant), dann $a^2 + b^2$ minimal ist, wenn $a = b = c/2$. Verwenden Sie die Technik der quadratischen Funktion.