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Lektion 13 — Trigonometrische Funktionen

Graphen von sin, cos, tan. Periodizität, Amplitude, Phase, Frequenz. Modellierung periodischer Phänomene.

Used in: 1. Jahr Gymnasium · Physik (Wellen) · Ingenieurwesen (Signale)

y(t)=Asin⁡(ωt+φ)+ky(t) = A \sin(\omega t + \varphi) + k
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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definition und Parameter

Verallgemeinerte Sinusfunktion

Für y(t)=Asin⁡(ωt+φ)+ky(t) = A \sin(\omega t + \varphi) + k mit A,ω>0A, \omega > 0:

  • Amplitude AA: Abstand der Mittellinie zu den Spitzen. Wertebereich: [k−A,k+A][k - A, k + A].
  • Kreisfrequenz ω\omega: Schwingungsgeschwindigkeit. Periode T=2π/ωT = 2\pi/\omega. Frequenz f=1/T=ω/(2π)f = 1/T = \omega/(2\pi).
  • Anfangsphase φ\varphi: horizontale Verschiebung. yy erreicht sein Maximum, wenn ωt+φ=π/2\omega t + \varphi = \pi/2, also t=(π/2−φ)/ωt = (\pi/2 - \varphi)/\omega.
  • Vertikale Verschiebung kk: Mitte des Graphen.
sin xcos xπ2π3π4π

Graphen von sin x (blau) und cos x (orange). Phasenverschoben um π/2. Beide haben Amplitude 1 und Periode 2π.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 4Modeling 12Challenge 2Proof 2
  1. Ex. 13.1Application
    Skizzieren Sie y=2sin⁡xy = 2\sin x im Intervall [0,2π][0, 2\pi]. Identifizieren Sie Amplitude und Periode.
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  2. Ex. 13.2Application
    Skizzieren Sie y=sin⁡(2x)y = \sin(2x). Periode?
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  3. Ex. 13.3Application
    Skizzieren Sie y=cos⁡(x/2)y = \cos(x/2). Periode?
    Solve online
  4. Ex. 13.4Application
    Skizzieren Sie y=sin⁡(x−π/4)y = \sin(x - \pi/4). Phasenverschiebung?
    Solve online
  5. Ex. 13.5Application
    Skizzieren Sie y=3sin⁡x+1y = 3\sin x + 1. Identifizieren Sie den Wertebereich.
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  6. Ex. 13.6Application
    Identifizieren Sie Amplitude, Periode, Phase in y=4sin⁡(3x−π)y = 4\sin(3x - \pi).
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  7. Ex. 13.7ApplicationAnswer key
    Identifizieren Sie den Wertebereich von y=2cos⁡(x)−1y = 2\cos(x) - 1.
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  8. Ex. 13.8Application
    Für y=sin⁡(πt)y = \sin(\pi t), was ist die Periode in Sekunden?
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  9. Ex. 13.9Application
    Für y=cos⁡(2πt/T)y = \cos(2\pi t/T) zeigen Sie, dass die Periode TT ist.
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  10. Ex. 13.10ApplicationAnswer key
    Skizzieren Sie y=tan⁡xy = \tan x auf (−π/2,π/2)(-\pi/2, \pi/2).
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  11. Ex. 13.11Application
    Lösen Sie sin⁡x=1/2\sin x = 1/2 auf [0,2π)[0, 2\pi).
    Solve online
  12. Ex. 13.12Application
    Lösen Sie cos⁡x=0\cos x = 0 auf [0,2π)[0, 2\pi).
    Solve online
  13. Ex. 13.13Application
    Lösen Sie tan⁡x=1\tan x = 1 auf [0,2π)[0, 2\pi).
    Solve online
  14. Ex. 13.14Application
    Lösen Sie sin⁡x=−2/2\sin x = -\sqrt 2/2 auf [0,2π)[0, 2\pi).
    Solve online
  15. Ex. 13.15Application
    Lösen Sie cos⁡(2x)=1/2\cos(2x) = 1/2 auf [0,2π)[0, 2\pi).
    Solve online
  16. Ex. 13.16Application
    Lösen Sie sin⁡x=cos⁡x\sin x = \cos x auf [0,2π)[0, 2\pi).
    Solve online
  17. Ex. 13.17ApplicationAnswer key
    Lösen Sie 2sin⁡x−1=02\sin x - 1 = 0 auf [0,2π)[0, 2\pi).
    Solve online
  18. Ex. 13.18Application
    Lösen Sie sin⁡2x=1/4\sin^2 x = 1/4 auf [0,2π)[0, 2\pi).
    Solve online
  19. Ex. 13.19Application
    Lösen Sie sin⁡(x+π/3)=1/2\sin(x + \pi/3) = 1/2 auf [0,2π)[0, 2\pi).
    Solve online
  20. Ex. 13.20ApplicationAnswer key
    Lösen Sie tan⁡(2x)=3\tan(2x) = \sqrt{3} auf [0,2π)[0, 2\pi).
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  21. Ex. 13.21Modeling
    Die Gezeiten in Salvador schwingen zwischen 0,5 m und 2,5 m mit einer Periode von 12 h. Modellieren Sie die Höhe h(t)h(t) als Funktion der Zeit.
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  22. Ex. 13.22ModelingAnswer key
    Spannung des brasilianischen Stromnetzes: V(t)=311sin⁡(120πt)V(t) = 311 \sin(120\pi t). Effektivspannung?
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  23. Ex. 13.23Modeling
    Die Höhe einer Riesenrad-Gondel (Radius 10 m, Achse 12 m über dem Boden) dreht 1 Umdrehung alle 4 min. Modellieren Sie h(t)h(t).
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  24. Ex. 13.24ModelingAnswer key
    Reiner 440-Hz-Ton hat p(t)=Asin⁡(880πt)p(t) = A \sin(880\pi t). Wie viele Schwingungen in 1 Sekunde?
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  25. Ex. 13.25ModelingAnswer key
    Die monatliche Durchschnittstemperatur in Brasília schwankt zwischen 18°C (Juli) und 23°C (Oktober). Modellieren Sie T(m)T(m) mit mm in Monaten.
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  26. Ex. 13.26Modeling
    Pendel der Länge 1 m schwingt mit ω=g/L\omega = \sqrt{g/L}. Für g=9,81g = 9{,}81, was ist die Periode?
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  27. Ex. 13.27Modeling
    Masse-Feder-System: m=0,5m = 0{,}5 kg, k=50k = 50 N/m. Eigenfrequenz ω=k/m\omega = \sqrt{k/m}. Berechnen Sie.
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  28. Ex. 13.28Modeling
    In der Schwingungsmechanik: x(t)=5sin⁡(2πt)x(t) = 5 \sin(2\pi t) cm. Maximalgeschwindigkeit?
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  29. Ex. 13.29Modeling
    Gezeiten unter rein lunarer Beeinflussung: Periode T=12T = 12h 2525min. Frequenz?
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  30. Ex. 13.30Modeling
    Ein Cepheidenstern variiert in Helligkeit mit T=5,4T = 5{,}4 Tagen und Amplitude 0,8 Magnituden. Modellieren Sie m(t)m(t).
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  31. Ex. 13.31Modeling
    Die Tauchtiefe eines U-Bootes schwingt als d(t)=100+30sin⁡(πt/30)d(t) = 100 + 30 \sin(\pi t / 30) m. Maximale und minimale Tiefe? Periode?
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  32. Ex. 13.32ModelingAnswer key
    Im GPS-System: Trägersignal von 1.575 MHz. Periode in Sekunden? (GPS-Wellen sind nahezu instantan — daher die Präzision.)
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  33. Ex. 13.33Understanding
    Zeigen Sie, dass die Summe sin⁡x+sin⁡(x+2π/3)+sin⁡(x+4π/3)=0\sin x + \sin(x + 2\pi/3) + \sin(x + 4\pi/3) = 0 für jedes xx. (Das ist das Ergebnis hinter Drehstrommotoren.)
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  34. Ex. 13.34UnderstandingAnswer key
    Skizzieren Sie y=sin⁡x+sin⁡3xy = \sin x + \sin 3x. (Lehren von Fourier — Harmonische addieren.)
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  35. Ex. 13.35Understanding
    Zeigen Sie, dass Asin⁡(ωt)+Bcos⁡(ωt)=A2+B2sin⁡(ωt+φ)A \sin(\omega t) + B \cos(\omega t) = \sqrt{A^2 + B^2} \sin(\omega t + \varphi) mit tan⁡φ=B/A\tan\varphi = B/A.
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  36. Ex. 13.36Understanding
    Verifizieren Sie: sin⁡(x)+sin⁡(x+π)=0\sin(x) + \sin(x + \pi) = 0.
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  37. Ex. 13.37Challenge
    Lösen Sie sin⁡2x−3sin⁡x+2=0\sin^2 x - 3\sin x + 2 = 0 auf [0,2π)[0, 2\pi). (Verwenden Sie u=sin⁡xu = \sin x.)
    Solve online
  38. Ex. 13.38ChallengeAnswer key
    Lösen Sie 2sin⁡2x+sin⁡x−1=02\sin^2 x + \sin x - 1 = 0 auf [0,2π)[0, 2\pi).
    Solve online
  39. Ex. 13.39Proof
    Beweisen Sie cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x.
    Solve online
  40. Ex. 13.40Proof
    Beweisen Sie, dass sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x.
    Solve online

Quellen dieser Lektion

Updated on 2026-04-29 · Author(s): Clube da Matemática

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