Lektion 14 — Trigonometrische Gleichungen und Ungleichungen

Struktur der Lösungen

Gleichungen mit Sinus

Für $\sin x = a$ mit $a \in [-1, 1]$: $x = \arcsin a + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \arcsin a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Wobei $\arcsin: [-1, 1] \to [-\pi/2, \pi/2]$ die Hauptumkehrfunktion ist.

Gleichungen mit Kosinus

Für $\cos x = a$ mit $a \in [-1, 1]$: $x = \pm \arccos a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Wobei $\arccos: [-1, 1] \to [0, \pi]$.

Gleichungen mit Tangens

Für $\tan x = a$ mit $a \in \mathbb{R}$: $x = \arctan a + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Wobei $\arctan: \mathbb{R} \to (-\pi/2, \pi/2)$.

Allgemeines Rezept

Um $f(x) = 0$ trigonometrisch zu lösen:

1. Reduzieren auf grundlegende Gleichungen $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\tan x = a$ mittels Identitäten.
2. Auflisten aller Lösungen im Intervall $[0, 2\pi)$ (oder $[-\pi, \pi]$).
3. Verallgemeinern durch Addition von $2k\pi$ (oder $k\pi$ beim Tangens).