Lektion 15 — Sinussatz und Kosinussatz

Beweise und Anwendung

Sinussatz

Beweis (für spitzwinkliges Dreieck): konstruiere die Höhe $h$ vom Eckpunkt $C$ zur Seite $\overline{AB}$. Dann gilt $h = b \sin A = a \sin B$. Daher $a/\sin A = b/\sin B$. Gleiches Argument für $c$. ∎

Spezialfall (rechtwinklig in $C$): $\sin C = 1$, also $c = 2R$ — die Hypotenuse ist Durchmesser des Umkreises. Satz des Thales (geometrisch).

Kosinussatz

Beweis: durch das Skalarprodukt der Vektoren $\vec{CB} - \vec{CA} = \vec{AB}$: $|\vec{AB}|^2 = |\vec{CB}|^2 + |\vec{CA}|^2 - 2 \vec{CB} \cdot \vec{CA}$

Da $\vec{CB} \cdot \vec{CA} = |\vec{CB}||\vec{CA}|\cos C = ab \cos C$, erhält man $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$. ∎

Wann welches Gesetz verwenden

Mehrdeutiger Fall (SSA)

Gegeben $a$, $b$ und $A$ (Winkel gegenüber $a$): es kann 0, 1 oder 2 Dreiecke geben. Entscheidung:

• Wenn $a \geq b$: 1 Dreieck.
• Wenn $a < b \sin A$: 0 Dreiecke (geometrisch unmöglich).
• Wenn $b \sin A < a < b$: 2 Dreiecke.