Lektion 16 — Zahlenfolgen

Definition und Eigenschaften

Wie man eine Folge beschreibt

1. Explizite Formel (allgemeines Glied): $a_n = 2n + 1$ — Glieder $3, 5, 7, 9, \ldots$
2. Rekursion: $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 2$ — gleiches Ergebnis.
3. Beschreibung: "n-te Primzahl" — $2, 3, 5, 7, 11, 13, \ldots$ (ohne geschlossene Formel).

Monotonie

• Streng monoton wachsend: $a_{n+1} > a_n \quad \forall n$.
• Monoton wachsend: $a_{n+1} \geq a_n$.
• Streng monoton fallend: $a_{n+1} < a_n$.
• Konstant: $a_{n+1} = a_n$.

Beschränktheit

$(a_n)$ ist beschränkt, wenn es ein $M > 0$ mit $|a_n| \leq M$ für alle $n$ gibt. Nach oben beschränkt, wenn $a_n \leq M_+$; nach unten, wenn $a_n \geq M_-$.

Intuitive Konvergenz (formalisiert in Lektion 19)

$(a_n)$ konvergiert gegen $L$, wenn "$a_n$ sich beliebig nahe an $L$ annähert, wenn $n$ groß ist". Formal (Lektion 41 — Trim 5): $\lim_{n \to \infty} a_n = L \iff \forall \eps > 0, \exists N : n \geq N \Rightarrow |a_n - L| < \eps$