Lektion 17 — Arithmetische Folgen (PA)

Definition und Formeln

Allgemeines Glied

$a_n = a_1 + (n-1) r$

Beweis durch Induktion über $n$. Äquivalent zu $a_n = a_p + (n-p) r$ für jedes $p$.

Summe der ersten $n$ Glieder

$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n(2a_1 + (n-1)r)}{2}$

Beweis (Gauß als Kind, ~1789): Schreibe $S_n$ zweimal, einmal aufsteigend, einmal absteigend:

$\begin{aligned} S_n &= a_1 + a_2 + \ldots + a_n \\ S_n &= a_n + a_{n-1} + \ldots + a_1 \end{aligned}$

Glied für Glied addiert: $2 S_n = n(a_1 + a_n)$, da jedes Paar $a_1 + a_n$ ergibt. ∎

Eigenschaften

• Arithmetisches Mittel: drei aufeinanderfolgende Glieder erfüllen $a_n = (a_{n-1} + a_{n+1})/2$.
• Steigend wenn $r > 0$, fallend wenn $r < 0$, konstant wenn $r = 0$.

Numerisches Beispiel

PA mit $a_1 = 5$, $r = 3$: Glieder $5, 8, 11, 14, 17, \ldots$

$a_{20} = 5 + 19 \cdot 3 = 62$. $S_{20} = 20 \cdot (5 + 62)/2 = 670$.