Lektion 18 — Geometrische Folgen (GF)

Definition und Formeln

Allgemeines Glied

$a_n = a_1 q^{n-1}$

Summe der ersten $n$ Glieder

Für $q \neq 1$: $S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$

Beweis: $S_n = a_1 + a_1 q + \ldots + a_1 q^{n-1}$. Multipliziere mit $q$: $q S_n = a_1 q + a_1 q^2 + \ldots + a_1 q^n$ Subtrahieren: $q S_n - S_n = a_1 q^n - a_1$, also $S_n = a_1(q^n - 1)/(q - 1)$. ∎

Unendliche Summe (konvergente GF)

Wenn $|q| < 1$, dann $q^n \to 0$ für $n \to \infty$. Daher:

$S_\infty = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a_1}{1 - q}$

Dies ist die geometrische Reihe, ein zentrales Element in Taylor-Reihen (Trim 9).

Verhalten

• $q > 1$: GF wächst exponentiell.
• $q = 1$: konstant.
• $0 < q < 1$: abnehmend, konvergiert gegen 0.
• $q = -1$: oszilliert $a_1, -a_1, a_1, \ldots$
• $q < -1$: oszilliert mit wachsender Amplitude.