Lektion 19 — Intuitiver Grenzwert von Folgen

Intuitives Konzept

Die zentrale Frage

Gegeben eine Folge $(a_n)$, welchem Wert (falls einem) nähern sich die Glieder, wenn $n \to \infty$?

Wenn dieser Wert existiert, sagen wir, dass die Folge konvergiert und schreiben $\lim_{n \to \infty} a_n = L$.

Intuitive Definition

$\lim a_n = L$ bedeutet: die Glieder $a_n$ werden beliebig nahe an $L$, wenn $n$ hinreichend groß ist.

"Beliebig" und "hinreichend" sind genau das, was mit $\eps$ und $N$ in Lektion 41 formalisiert wird: $\forall \eps > 0, \exists N : n \geq N \Rightarrow |a_n - L| < \eps$

Bemerkenswerte Grenzwerte

Operationen mit Grenzwerten

Wenn $\lim a_n = A$ und $\lim b_n = B$ (beide endlich):

• $\lim(a_n + b_n) = A + B$
• $\lim(a_n \cdot b_n) = A \cdot B$
• $\lim(a_n / b_n) = A/B$ (falls $B \neq 0$)
• $\lim c \cdot a_n = c A$ ($c$ konstant)

Folgen, die NICHT konvergieren

• Divergieren gegen $\pm \infty$: $a_n = n$, $a_n = 2^n$.
• Oszillieren: $a_n = (-1)^n$ — wechselt zwischen 1 und $-1$, strebt gegen nichts.