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Lektion 20 — Konsolidierung Trim 2: Workshop Trigonometrie + Folgen

Integrationsworkshop der Lektionen 11-19. Aufgaben, die Trigonometrie, Folgen und intuitiven Grenzwert kombinieren.

Used in: 1.º ano do EM (15 anos) · Equiv. Math II japonês — revisão de unidade · Equiv. Klasse 10 alemã — Abschlusstest · Equiv. O-Level Singapore — End-of-topic consolidation

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Fahrplan Trim 2

Workshop mit 25 Aufgaben, die Folgendes kombinieren:

Lektion 11: trigonometrische Verhältnisse im rechtwinkligen Dreieck
Lektion 12: trigonometrischer Kreis, Bogenmaß
Lektion 13: trigonometrische Funktionen und Modellierung
Lektion 14: trigonometrische Gleichungen und Ungleichungen
Lektion 15: Sinus- und Kosinussatz
Lektionen 16-18: Folgen, AP, GP
Lektion 19: intuitiver Grenzwert

Aufgabenstile

Kombinierte Anwendung (10): Trigonometrie + Funktion
Modellierung (8): reale Aufgabenstellung übersetzen
Herausforderung (5): ENEM-schwer oder Olympiade-Niveau
Beweis (2): Beweisführung festigen

Reservieren Sie 4 Stunden ohne Hilfsmittel zum Lösen. Prüfen Sie mit dem Lösungsschlüssel (25% mit ausgearbeiteter Lösung). Bei < 50% richtig: Lektionen erneut lesen; 70-90% bereit für Trim 3; > 90%, zusätzliche Lektüre der Referenzbücher.

Exercise list

25 exercises · 6 with worked solution (25%)

Application 10Understanding 1Modeling 7Challenge 5Proof 2

Ex. 20.1ApplicationAnswer key
Lösen Sie $\sin(2x) = 1/2$ auf $[0, 2\pi)$ .
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Ex. 20.2Application
Dreieck mit $a = 5$ , $A = 30°$ , $B = 60°$ . Berechnen Sie $b$ mit dem Sinussatz.
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Ex. 20.3Application
Dreieck mit Seiten $7, 8, 9$ . Größter Winkel?
Solve online
Ex. 20.4Application
Skizzieren Sie $y = 2\sin(\pi x/3)$ — Periode und Amplitude.
Solve online
Ex. 20.5Application
Berechnen Sie $\sin(\pi/3)$ , $\cos(7\pi/4)$ , $\tan(5\pi/6)$ .
Solve online
Ex. 20.6ModelingAnswer key
Gezeiten in Salvador: $h(t) = 1{,}5 + 1\sin(\pi t/6)$ . Wann ist $h = 1{,}5$ ? Wann maximal?
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Ex. 20.7Modeling
Netzspannung: $V(t) = 311 \sin(120\pi t)$ V. Effektivspannung: $V_{ef} = V_0/\sqrt 2$ . Berechnen Sie $V_{ef}$ näherungsweise (~220 V).
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Ex. 20.8Modeling
Topografie: Sie sind 100 m von einem Turm entfernt, Höhenwinkel $30°$ . Höhe?
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Ex. 20.9Modeling
Lösen Sie $\cos x + \sin x = 1$ auf $[0, 2\pi)$ . (Verwenden Sie $\cos x + \sin x = \sqrt 2 \sin(x + \pi/4)$ .)
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Ex. 20.10Challenge
Beweisen Sie, dass in einem gleichseitigen Dreieck der Seitenlänge $\ell$ die Fläche $= \ell^2 \sqrt 3 /4$ ist (mit Kosinussatz).
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Ex. 20.11Application
AP mit $a_1 = 3$ , $r = 5$ . Berechnen Sie $a_{20}$ und $S_{20}$ .
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Ex. 20.12ApplicationAnswer key
GP mit $a_1 = 4$ , $q = 3$ . Berechnen Sie $a_8$ und $S_8$ .
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Ex. 20.13Application
Berechnen Sie $\sum_{n=0}^\infty (1/3)^n$ .
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Ex. 20.14ApplicationAnswer key
Bestimmen Sie, ob die Folge $a_n = (n+1)/n$ konvergiert. Wogegen?
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Ex. 20.15Application
Fügen Sie 4 Glieder als AP zwischen 5 und 25 ein.
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Ex. 20.16ModelingAnswer key
Sie sparen R$ 100 im ersten Monat und das wächst um 5% pro Monat. Saldo nach 12 Monaten?
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Ex. 20.17Modeling
Ein Ball fällt aus 10 m und springt jedes Mal 70% der Höhe zurück. Gesamte zurückgelegte Strecke?
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Ex. 20.18Modeling
Inflation: 0,5% pro Monat zinseszinslich. Wie viel nach 12 Monaten?
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Ex. 20.19Understanding
Zeigen Sie, dass $0{,}999\ldots = 1$ über unendliche GP.
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Ex. 20.20Challenge
Folge $a_1 = 2$ , $a_{n+1} = (a_n + 5)/2$ . Gegen welchen Wert konvergiert sie?
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Ex. 20.21Challenge
In welcher Zeit verdoppeln sich R$ 1.000 bei 6% p.a. mit kontinuierlicher Verzinsung? (Verwenden Sie $\ln$ .)
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Ex. 20.22Challenge
Bestimmen Sie das allgemeine Glied und $S_n$ der Folge $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ (weder AP noch GP).
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Ex. 20.23ChallengeAnswer key
Lösen Sie: $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0$ auf $[0, 2\pi)$ .
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Ex. 20.24Proof
Beweisen Sie, dass in einem Dreieck $ABC$ , $\sin A / a = \sin B / b$ gilt, mit dem Kosinussatz.
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Ex. 20.25Proof
Beweisen Sie, dass $\lim_{n \to \infty} (1 + 1/n)^n$ existiert mit Monotonie + Beschränktheit. (Skizze; Strenge folgt in der Analysis.)
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Quellen dieser Lektion

Die Konsolidierungslektion fasst Quellen aus den Lektionen 11-19 zusammen. Hauptquellen:

Algebra and Trigonometry — Jay Abramson et al. (OpenStax) · 2022, 2. Aufl · EN · CC-BY · §8-11: Trigonometrie und Folgen.
Precalculus / College Algebra / Trigonometry — Stitz, Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §10-11.
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024, Aufl. 2.0 · EN · CC-BY-NC-SA · §8: Folgen und Reihen.
Basic Analysis: Introduction to Real Analysis (Vol. I) — Jiří Lebl · 2024, v6.0 · EN · CC-BY-SA · §2: strenge Konvergenz.

Vollständiger Katalog unter /livros.

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