v1 · padrão canônico

Lektion 21 — Kartesische Ebene: Abstand, Mittelpunkt

Coordenadas cartesianas, fórmula da distância, ponto médio, divisão de segmento. Linguagem geométrica de Descartes (1637).

Used in: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math II japonês cap. 2 · Equiv. Algebra & Trigonometry §10

d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Analytische Geometrie in ℝ²

Abstand

Für $P = (x_1, y_1)$ , $Q = (x_2, y_2)$ : $d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Mittelpunkt

$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

Streckenteilung im Verhältnis $k$

Um $\overline{PQ}$ im Verhältnis $PR/RQ = k$ zu teilen: $R = \left(\frac{x_1 + k x_2}{1 + k}, \frac{y_1 + k y_2}{1 + k}\right)$

Flächenberechnung

Fläche des Dreiecks mit Eckpunkten $A = (x_1, y_1)$ , $B = (x_2, y_2)$ , $C = (x_3, y_3)$ : $\text{Fläche} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$

Äquivalent zu $\frac{1}{2} |\det M|$ , wobei $M$ die Matrix der Vektoren $\vec{AB}, \vec{AC}$ ist.

Eigenschaftentabelle

Begriff	Formel	Ursprung
Abstand	$\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$	Pythagoras
Mittelpunkt	$((x_1+x_2)/2, (y_1+y_2)/2)$	arithmetisches Mittel
Schwerpunkt	$((x_1+x_2+x_3)/3, ...)$	Mittelwert von 3 Eckpunkten
Dreiecksfläche	$\frac{1}{2}\\|x_1(y_2-y_3)+\ldots\\|$	Determinante
Kollinearität	Fläche $= 0$	det $= 0$

Exercise list

35 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 4Modeling 5Challenge 4Proof 2

Ex. 21.1Application
$d(A, B)$ für $A = (1, 2)$ , $B = (4, 6)$ . (Antw.: 5.)
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Ex. 21.2Application
$d$ zwischen $(0, 0)$ und $(3, 4)$ . (Antw.: 5.)
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Ex. 21.3Application
$d$ zwischen $(-2, 1)$ und $(3, -4)$ .
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Ex. 21.4Application
Mittelpunkt von $(2, 5)$ und $(6, 9)$ . (Antw.: $(4, 7)$ .)
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Ex. 21.5Application
Mittelpunkt von $(-3, 2)$ und $(7, -8)$ .
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Ex. 21.6Application
Bestimme $x$ so, dass $d((x, 3), (5, 7)) = 5$ .
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Ex. 21.7Application
Bestimme $y$ so, dass $(0, y)$ einen Abstand von 13 Einheiten zu $(5, 0)$ hat.
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Ex. 21.8ApplicationAnswer key
Punkte $A = (1, 1)$ , $B = (4, 5)$ , $C = (-2, 4)$ . Wie groß ist der Umfang des Dreiecks $ABC$ ?
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Ex. 21.9ApplicationAnswer key
Zeige, dass $A = (1, 1)$ , $B = (4, 5)$ , $C = (5, -3)$ ein rechtwinkliges Dreieck bilden.
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Ex. 21.10Application
Finde den Punkt $P$ auf der $x$ -Achse, der gleich weit von $(2, 5)$ und $(8, 1)$ entfernt ist.
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Ex. 21.11Application
Eckpunkte des Vierecks $(0,0), (4,0), (4,3), (0,3)$ . Berechne den Umfang. (Antw.: 14.)
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Ex. 21.12Application
Bestimme, ob $(1,2), (5,2), (5,5), (1,5)$ ein Rechteck bilden.
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Ex. 21.13ApplicationAnswer key
Berechne die Fläche des Dreiecks mit Eckpunkten $(0,0), (4,0), (0,3)$ . (Antw.: 6.)
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Ex. 21.14ApplicationAnswer key
Mittelpunkt von $(a, b)$ und $(c, d)$ — allgemeine Formel.
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Ex. 21.15ApplicationAnswer key
Welche Art von Dreieck bilden die Punkte $(0,0), (6,0), (3, 3\sqrt 3)$ ? (Antw.: gleichseitig, Seitenlänge 6.)
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Ex. 21.16Modeling
Du bist bei $(2, 3)$ und willst nach $(8, 11)$ . Abstand in gerader Linie? (Antw.: 10.)
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Ex. 21.17Modeling
Manhattan-Abstand ( $\ell_1$ ) zwischen $(1,1)$ und $(5,4)$ . Vergleiche mit dem euklidischen.
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Ex. 21.18Modeling
In einer Rasterstadt (Manhattan), Taxiabstand zwischen $(0,0)$ und $(10, 7)$ ? Abstand in gerader Linie?
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Ex. 21.19Application
Finde den Punkt, der $\overline{(2,3)(10,11)}$ im Verhältnis $1:3$ teilt.
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Ex. 21.20ApplicationAnswer key
Schwerpunkt des Dreiecks $A=(0,0), B=(6,0), C=(0,9)$ . (Antw.: $(2, 3)$ .)
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Ex. 21.21Modeling
GPS meldet deine Position $(45{,}123,\ -23{,}456)$ (Breite, Länge in Grad). Deine Freundin bei $(45{,}126,\ -23{,}450)$ . Ungefährer Abstand in km? (Etwa 111 km/Breitengrad.)
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Ex. 21.22Modeling
In ML zwei Punkte $\mathbf{x} = (1, 2, 3, 4)$ und $\mathbf{y} = (5, 6, 7, 8)$ in $\mathbb{R}^4$ . Euklidischer Abstand? (Antw.: 8.)
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Ex. 21.23ApplicationAnswer key
Zeige, dass das Dreieck mit Eckpunkten $(0,0), (4,3), (8,0)$ gleichschenklig ist.
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Ex. 21.24Application
Verifiziere, dass die Punkte $(0,0), (6,8), (-1,7)$ nicht kollinear sind.
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Ex. 21.25Application
Der Abstand vom Ursprung zum Punkt $(a, b)$ ist $\sqrt{a^2 + b^2}$ . Beweise.
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Ex. 21.26Understanding
Menge der Punkte $(x, y)$ mit $\sqrt{x^2 + y^2} = 5$ — welche Figur? (Antw.: Kreis mit Radius 5 um den Ursprung.)
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Ex. 21.27Understanding
Punkte $(x,y)$ mit $|x| + |y| = 1$ — welche Figur?
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Ex. 21.28Understanding
Punkte gleich weit entfernt von $A = (-2, 0)$ und $B = (2, 0)$ bilden welche Gerade? (Antw.: $x = 0$ , die $y$ -Achse.)
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Ex. 21.29Understanding
Menge der Punkte mit $\max(|x|, |y|) = 1$ . (Achsenparalleles Quadrat.)
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Ex. 21.30Challenge
Zeige, dass die Dreiecksfläche null ist, wenn drei Punkte kollinear sind.
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Ex. 21.31Challenge
Mittelpunkt des Kreises durch $(0,0), (4,0), (0,3)$ .
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Ex. 21.32Challenge
Größtes gleichseitiges Dreieck, das in ein Quadrat der Seitenlänge 1 einbeschrieben ist — welche Seitenlänge?
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Ex. 21.33Challenge
In einem Viereck $ABCD$ ist $M$ der Mittelpunkt von $\overline{AB}$ und $N$ der Mittelpunkt von $\overline{CD}$ . Zeige, dass der Mittelpunkt von $\overline{MN}$ gleich dem Mittelpunkt der Diagonalen ist. (Satz von Newton.)
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Ex. 21.34Proof
Beweise die Abstandsformel mittels Pythagoras.
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Ex. 21.35ProofAnswer key
Beweise, dass der Mittelpunkt gleich weit von den Endpunkten entfernt ist.
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Quellen

College Algebra — Jay Abramson et al. (OpenStax) · 2022, 2. Aufl. · EN · CC-BY · §10.1: Abstand und Mittelpunkt. Primärquelle.
Algebra and Trigonometry — OpenStax · 2022, 2. Aufl. · EN · CC-BY · §10.
Precalculus / College Algebra / Trigonometry — Stitz, Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §1.1.
Geometria e Trigonometria — Wikibooks · lebendig · PT-BR · CC-BY-SA.