v1 · padrão canônico

Lektion 24 — Kreisgleichung

Forma reduzida (x-a)² + (y-b)² = r². Forma geral. Posição relativa entre reta e circunferência. Tangentes.

Used in: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math II japonês · Equiv. Klasse 10/11 alemã

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Gleichungen und Eigenschaften

Normalform

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

Allgemeine Form

Ausmultipliziert: $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ mit $D = -2a$ , $E = -2b$ , $F = a^2 + b^2 - r^2$ .

Mittelpunkt zurückgewonnen: $(a, b) = (-D/2, -E/2)$ . Radius: $r = \sqrt{D^2/4 + E^2/4 - F}$ (gültig, falls positiv; sonst ist es kein reeller Kreis).

Gerade und Kreis

Lage	Kriterium	Gemeinsame Punkte
Außerhalb	$d(C, r) > r$	0
Tangente	$d(C, r) = r$	1
Sekante	$d(C, r) < r$	2

Zwei Kreise

Lage	Kriterium
Äußerlich getrennt	$d(C_1, C_2) > r_1 + r_2$
Äußerlich tangierend	$d = r_1 + r_2$
Schneidend	$\lvert r_1 - r_2 \rvert \lt d \lt r_1 + r_2$
Innerlich tangierend	$d = \lvert r_1 - r_2 \rvert$
Einer im anderen	$d \lt \lvert r_1 - r_2 \rvert$

Tangente-Radius-Eigenschaft

Die Tangente in $P$ steht senkrecht auf dem Radius $\overline{CP}$ .

Tangentengleichung

Tangente in $(x_0, y_0)$ an den Kreis $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ : $(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2$

Exercise list

35 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 2Modeling 8Challenge 3Proof 2

Ex. 24.1Application
Gleichung des Kreises mit Mittelpunkt $(0,0)$ und Radius $5$ . (Antw.: $x^2 + y^2 = 25$ .)
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Ex. 24.2ApplicationAnswer key
Gleichung mit Mittelpunkt $(2, 3)$ und Radius $4$ .
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Ex. 24.3Application
Mittelpunkt $(-1, 5)$ , Radius $\sqrt{10}$ .
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Ex. 24.4Application
Identifiziere aus der Gleichung $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 16$ Mittelpunkt und Radius. (Antw.: $C = (3, -2)$ , $r = 4$ .)
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Ex. 24.5Application
Identifiziere aus der Gleichung $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$ Mittelpunkt und Radius (quadratische Ergänzung). (Antw.: $(2, -3), r = 5$ .)
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Ex. 24.6Application
Prüfe, ob $(3, 4)$ zum Kreis $x^2 + y^2 = 25$ gehört.
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Ex. 24.7Application
Lage von $(0,0)$ relativ zu $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 4$ — innerhalb oder außerhalb?
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Ex. 24.8Application
Gleichung des Kreises mit Durchmesser $\overline{(0,0)(6,8)}$ .
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Ex. 24.9Application
Finde die Schnittpunkte von $y = x$ mit $x^2 + y^2 = 8$ .
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Ex. 24.10Application
Prüfe, ob $y = x + 5$ Tangente, Sekante oder außerhalb von $x^2 + y^2 = 16$ liegt.
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Ex. 24.11ApplicationAnswer key
Abstand von $(3, 4)$ zum Mittelpunkt $(0,0)$ — innerhalb oder außerhalb des Kreises mit $r=5$ ? (Antw.: auf dem Rand.)
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Ex. 24.12Application
Bestimme den Kreis durch $(0,0), (4,0), (0,3)$ .
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Ex. 24.13Application
Kreis tangential zur $x$ -Achse in $(3, 0)$ mit Radius $5$ — bestimme die Gleichung.
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Ex. 24.14ApplicationAnswer key
Bestimme die Berührpunkte von $y = x$ mit $x^2 + y^2 - 4x = 0$ .
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Ex. 24.15Application
Stellt die Gleichung $x^2 + y^2 + 4x - 2y + 10 = 0$ einen Kreis dar? (Antw.: nein — Radius $^2 < 0$ .)
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Ex. 24.16Modeling
Eine Antenne sendet Signal in einem Radius von 30 km. Mittelpunkt in $(0, 0)$ . Gleichung der Abdeckungsgrenze.
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Ex. 24.17ModelingAnswer key
Zwei Erdbeben: Epizentrum 1 in $(0, 0)$ , Reichweite 100 km; Epizentrum 2 in $(120, 0)$ , Reichweite 150 km. Gleichungen der zwei Grenzen. Punkte mit Erschütterung beider?
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Ex. 24.18Modeling
GPS: 3 Satelliten bei $(0,0), (10,0), (5,8)$ messen Abstände $5, 8, 6$ . (Trilateration — System aus 3 Kreisen.)
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Ex. 24.19Modeling
Mindestkurvenradius einer Straße bei Geschwindigkeit $v$ ist $r = v^2/(\mu g)$ . Für $v = 30$ m/s, $\mu = 0{,}7$ , $g = 9{,}81$ , berechne.
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Ex. 24.20ModelingAnswer key
Kreisförmige Leichtathletikbahn mit Umfang 400 m. Radius?
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Ex. 24.21Application
Finde die Tangente an $x^2 + y^2 = 25$ im Punkt $(3, 4)$ . (Antw.: $3x + 4y = 25$ .)
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Ex. 24.22Application
Externe Tangente von $(7, 0)$ an den Kreis $x^2 + y^2 = 9$ .
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Ex. 24.23ApplicationAnswer key
Länge der externen Tangente von $(5, 0)$ an den Kreis $x^2 + y^2 = 4$ . (Antw.: $\sqrt{21}$ .)
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Ex. 24.24Application
Bestimme den Punkt von $x^2 + y^2 = 25$ , der $(7, 0)$ am nächsten ist. (Antw.: $(5, 0)$ .)
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Ex. 24.25Application
Mittelpunkt des Kreises durch $(1, 0), (-1, 0), (0, 1)$ .
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Ex. 24.26Modeling
Drohne mit Reichweite 2 km von der Basis. Geradlinige Bahn zum Ziel: in welchen Punkten kreuzt sie die Grenze?
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Ex. 24.27ModelingAnswer key
Zwei GPS-ähnliche Satelliten in Kreisbahn mit Radien $r_1 = 6{.}500$ km und $r_2 = 7{.}000$ km. Zeige, dass sie konzentrische Bahnen haben (sich nicht kreuzen).
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Ex. 24.28Understanding
Zeige, dass jede Gleichung $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ mit $D^2 + E^2 - 4F > 0$ ein Kreis ist.
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Ex. 24.29Understanding
Zeige, dass zwei äußerlich tangierende Kreise einen Mittelpunktsabstand von $r_1 + r_2$ haben.
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Ex. 24.30ModelingAnswer key
In der Statistik: Ridge-Regression mit $\beta_1^2 + \beta_2^2 \leq c$ definiert eine Kreisscheibe. Die Lösung liegt dort, wo die Fehler-Ellipse die Scheibe berührt.
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Ex. 24.31Challenge
Größter einbeschriebener Kreis im Dreieck mit Eckpunkten $(0,0), (6,0), (0,8)$ .
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Ex. 24.32Challenge
Bestimme die 4 gemeinsamen Tangenten der Kreise $x^2 + y^2 = 1$ und $(x-5)^2 + y^2 = 4$ .
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Ex. 24.33Challenge
Der geometrische Ort der Punkte $P$ mit $|PA|/|PB| = k \neq 1$ ist ein Kreis (Apollonius-Kreis).
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Ex. 24.34Proof
Beweise, dass die Tangente im Berührpunkt senkrecht auf dem Radius steht.
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Ex. 24.35Proof
Beweise die Formel der Punktpotenz: $|PA| \cdot |PB| = |PC|^2 - r^2$ (konstant für jede Sekante durch $P$ ).
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Quellen

Algebra and Trigonometry — Jay Abramson et al. (OpenStax) · 2022, 2. Aufl. · EN · CC-BY · §10.1: Kegelschnitte und Kreise. Primärquelle.
College Algebra — OpenStax · 2022, 2. Aufl. · EN · CC-BY.
Geometria e Trigonometria — Wikibooks · lebendig · PT-BR · CC-BY-SA.