v1 · padrão canônico

Lektion 25 — Kegelschnitte: Ellipse, Parabel, Hyperbel

Die vier Kegelschnitte und ihre kanonischen Gleichungen. Brennpunkt, Leitlinie, Exzentrizität. Anwendungen in Planetenbahnen, Parabolantennen und GPS.

Used in: 1.º ano EM (15–16 anos) · Equiv. Math II japonês §II.4 · Equiv. Klasse 11 alemã Analytische Geometrie

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad y^2 = 4px, \qquad \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

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Kanonische Gleichungen

Ellipse

Summe der Abstände zu 2 Brennpunkten ist konstant: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Wobei $a > b > 0$ . Brennpunkte in $(\pm c, 0)$ mit $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ . Hauptachse $= 2a$ , Nebenachse $= 2b$ . Exzentrizität $e = c/a \in [0, 1)$ . Wenn $a = b$ , ist es ein Kreis.

Parabel

Abstand zum Brennpunkt $=$ Abstand zur Leitlinie: $y^2 = 4px$

Brennpunkt in $(p, 0)$ , Leitlinie $x = -p$ .

Hyperbel

Differenz der Abstände zu 2 Brennpunkten ist konstant: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

Brennpunkte in $(\pm c, 0)$ mit $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Exzentrizität $e = c/a > 1$ . Asymptoten $y = \pm (b/a) x$ .

Tabelle der drei Kegelschnitte

Kegelschnitt	Normalform	Exzentrizität	Brennpunkt(e)	Definition
Kreis	$x^2 + y^2 = r^2$	$e = 0$	Mittelpunkt	Abst. zum Mittelpunkt $= r$
Ellipse	$x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$	$0 < e < 1$	$(\pm c, 0)$	$r_1 + r_2 = 2a$
Parabel	$y^2 = 4px$	$e = 1$	$(p, 0)$	$r =$ Abst. zur Leitlinie
Hyperbel	$x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$	$e > 1$	$(\pm c, 0)$	$\\|r_1 - r_2\\| = 2a$

Allgemeine Form eines Kegelschnitts

$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$

Diskriminante $\Delta = B^2 - 4AC$ :

$\Delta < 0$ : Ellipse (oder Kreis bei $A=C, B=0$ ).
$\Delta = 0$ : Parabel.
$\Delta > 0$ : Hyperbel.

Exercise list

35 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 20Modeling 12Challenge 2Proof 1

Ex. 25.1Application
Identifiziere den Kegelschnitt: $x^2/9 + y^2/4 = 1$ . (Antw.: Ellipse.)
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Ex. 25.2Application
Scheitel der Ellipse $x^2/25 + y^2/16 = 1$ . (Antw.: $(\pm 5, 0)$ und $(0, \pm 4)$ .)
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Ex. 25.3ApplicationAnswer key
Exzentrizität der Ellipse $x^2/25 + y^2/9 = 1$ . (Antw.: $4/5$ .)
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Ex. 25.4Application
Brennpunkt der Parabel $y^2 = 8x$ . (Antw.: $(2, 0)$ .)
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Ex. 25.5Application
Leitlinie von $y^2 = 12x$ .
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Ex. 25.6Application
Asymptoten von $x^2/4 - y^2/9 = 1$ . (Antw.: $y = \pm \frac{3}{2}x$ .)
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Ex. 25.7Application
Identifiziere: $x^2/16 - y^2/9 = 1$ .
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Ex. 25.8Application
Gleichung der Ellipse mit Scheiteln $(\pm 5, 0)$ und Brennpunkt $(\pm 3, 0)$ .
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Ex. 25.9Application
Gleichung der Parabel mit Scheitel im Ursprung und Brennpunkt $(2, 0)$ .
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Ex. 25.10Application
Gleichung der Hyperbel mit Scheiteln $(\pm 4, 0)$ und Brennpunkt $(\pm 5, 0)$ .
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Ex. 25.11Application
Die Ellipse $4x^2 + 9y^2 = 36$ — Scheitel? (Antw.: $(\pm 3, 0), (0, \pm 2)$ .)
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Ex. 25.12Application
Skizziere $y^2 = 4x$ und markiere Brennpunkt und Leitlinie.
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Ex. 25.13ApplicationAnswer key
$x^2/16 + y^2/16 = 1$ — welcher Kegelschnitt? (Antw.: Kreis $r=4$ .)
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Ex. 25.14ApplicationAnswer key
Die Ellipse $x^2/9 + y^2/16 = 1$ hat ihre Hauptachse in welcher Richtung? (Antw.: vertikal.)
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Ex. 25.15ApplicationAnswer key
Länge der Hauptachse der Ellipse $4x^2 + 25y^2 = 100$ . (Antw.: 10.)
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Ex. 25.16Application
Prüfe, ob $(3, 0)$ auf der Ellipse $x^2/9 + y^2/4 = 1$ liegt.
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Ex. 25.17ApplicationAnswer key
Für welches $a$ gilt: $x^2/a^2 + y^2/16 = 1$ hat Exzentrizität $0{,}6$ ? (Antw.: $a = 5$ .)
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Ex. 25.18Application
In welchen Punkten schneidet die Parabel $y^2 = 4x$ die Linie $x = 4$ ? (Antw.: $(4, \pm 4)$ .)
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Ex. 25.19ApplicationAnswer key
Hyperbel $x^2 - y^2 = 1$ — Scheitel, Brennpunkte, Asymptoten.
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Ex. 25.20Application
Skizziere $x^2/4 + y^2 = 1$ .
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Ex. 25.21Modeling
Erdbahn: große Halbachse $a \approx 1{,}496 \times 10^8$ km, $e \approx 0{,}0167$ . Maximaler Sonne-Erde-Abstand (Aphel)?
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Ex. 25.22ModelingAnswer key
Satelliten-TV-Parabolantenne: Tiefe 30 cm, Öffnung 60 cm. Wo liegt der Brennpunkt?
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Ex. 25.23Modeling
Ballistische Bahn: $h(d) = -0{,}05 d^2 + 5d$ . Parabelform — Scheitel (maximale Reichweite)?
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Ex. 25.24Modeling
Der Halleysche Komet hat eine elliptische Bahn mit Exzentrizität $e \approx 0{,}967$ . Fast parabolisch — erkläre.
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Ex. 25.25Modeling
Skatepark in Ellipsenform: 20 m × 12 m. Gleichung der Ellipse.
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Ex. 25.26Modeling
Spiegelteleskop: Brennpunkt 2 m vom Parabolspiegel. Gleichung $y^2 = 4 \cdot 2 \cdot x$ — Öffnung für 1 m Durchmesser?
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Ex. 25.27Modeling
Parabolischer Küchenstrahler: Brennpunkt mit Infrarotstrahl. Brennweite 15 cm. Gleichung.
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Ex. 25.28Modeling
LORAN (GPS-Vorgänger) verwendet Hyperbeln. Konzeptuell: Warum definieren 2 Empfänger eine Hyperbel?
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Ex. 25.29Modeling
Das US-Kapitol hat eine elliptische Decke — ein Flüstern in einem Brennpunkt wird im anderen gehört. Für eine Kammer $20m \times 12m$ , Abstand zwischen den Brennpunkten?
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Ex. 25.30Modeling
Sonde Voyager 1 passierte Jupiter auf hyperbolischer Bahn. Welche Bedeutung hat $e > 1$ für das Swing-by?
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Ex. 25.31Modeling
In der Optimierung sind Höhenlinien von $f(x, y) = x^2/4 + y^2/9$ konzentrische Ellipsen. Richtung des Gradienten?
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Ex. 25.32Modeling
Nobelpreis für Physik 2019 (nobelprize.org): Exoplaneten in elliptischen Bahnen um andere Sterne. Typische Exzentrizität?
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Ex. 25.33Challenge
Reflexion in der Ellipse: Strahl vom Brennpunkt 1 erreicht Brennpunkt 2. Verwende dies, um eine „Flüsterkammer" zu entwerfen.
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Ex. 25.34Challenge
In einem allgemeinen Kegelschnitt $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ klassifiziert die Diskriminante $B^2 - 4AC$ : $< 0$ Ellipse, $= 0$ Parabel, $> 0$ Hyperbel. Verifiziere für die kanonischen Fälle.
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Ex. 25.35ProofAnswer key
Beweise die Normalform-Gleichung der Ellipse aus der Definition $|PF_1| + |PF_2| = 2a$ .
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Quellen

Algebra and Trigonometry — Jay Abramson et al. (OpenStax) · 2022, 2. Aufl. · EN · CC-BY · §10.1-10.4: Kegelschnitte. Primärquelle.
Precalculus / College Algebra / Trigonometry — Stitz, Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §7: Kegelschnitte.
University Physics (Volume 1) — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY · Kap. 13: Gravitation und Bahnen. Quelle für Block B.
Nobelpreis für Physik 2019 — Mayor, Queloz, Peebles · Entdeckung von Exoplaneten und Kosmologie.