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v1 · padrão canônico

Lektion 26 — Vektoren in der Ebene

Vektor als geordnetes Paar in der Ebene: Betrag, Richtung, Orientierung. Addition, Skalar-Multiplikation, Skalarprodukt, Winkel zwischen Vektoren und orthogonale Projektion.

Used in: 1.º ano do EM (15–16 anos) · Equiv. Math I japonês §A — Vetores · Equiv. Klasse 11 alemã — Vektoren

v⃗=(v1,v2),∣v⃗∣=v12+v22,u⃗+v⃗=(u1+v1,u2+v2)\vec{v} = (v_1, v_2), \quad |\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}, \quad \vec{u} + \vec{v} = (u_1+v_1, u_2+v_2)
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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Vektoren in ℝ²

Operationen

  • Summe: u⃗+v⃗=(u1+v1,u2+v2)\vec u + \vec v = (u_1 + v_1, u_2 + v_2).
  • Skalar: αv⃗=(αv1,αv2)\alpha \vec v = (\alpha v_1, \alpha v_2).
  • Differenz: u⃗−v⃗=(u1−v1,u2−v2)\vec u - \vec v = (u_1 - v_1, u_2 - v_2).

Betrag (Norm)

∣v⃗∣=v12+v22|\vec v| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}

Einheitsvektor

v^=v⃗/∣v⃗∣\hat v = \vec v / |\vec v| hat Betrag 1. Richtungsvektor.

Kanonische Vektoren

ı^=(1,0)\hat\imath = (1, 0), ȷ^=(0,1)\hat\jmath = (0, 1). Jeder Vektor: v⃗=v1ı^+v2ȷ^\vec v = v_1 \hat\imath + v_2 \hat\jmath.

Polarform

v⃗=(∣v⃗∣cos⁡θ,∣v⃗∣sin⁡θ)\vec v = (|\vec v|\cos\theta, |\vec v|\sin\theta), wobei θ\theta der Winkel zur positiven xx-Achse ist.

Eigenschaften (8 Axiome eines Vektorraums)

EigenschaftAusdruck
Kommutativitätu⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec u + \vec v = \vec v + \vec u
Assoziativität(u⃗+v⃗)+w⃗=u⃗+(v⃗+w⃗)(\vec u + \vec v) + \vec w = \vec u + (\vec v + \vec w)
Identitätv⃗+0⃗=v⃗\vec v + \vec 0 = \vec v
Inversesv⃗+(−v⃗)=0⃗\vec v + (-\vec v) = \vec 0
Distributivität (Skalar/Vektor)α(u⃗+v⃗)=αu⃗+αv⃗\alpha(\vec u + \vec v) = \alpha\vec u + \alpha\vec v
Distributivität (Vektor/Skalar)(α+β)v⃗=αv⃗+βv⃗(\alpha + \beta)\vec v = \alpha\vec v + \beta\vec v
Kompatibilitätα(βv⃗)=(αβ)v⃗\alpha(\beta\vec v) = (\alpha\beta)\vec v
Skalare Identität1⋅v⃗=v⃗1 \cdot \vec v = \vec v

Diese 8 Eigenschaften charakterisieren einen Vektorraum — formal in der linearen Algebra (Quartal 12).

Parallelogrammregel

u⃗+v⃗\vec u + \vec v ist die Diagonale des Parallelogramms, das von u⃗\vec u und v⃗\vec v aufgespannt wird.

Exercise list

35 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 1Modeling 12Challenge 1Proof 1
  1. Ex. 26.1Application
    Berechne (3,4)+(1,2)(3, 4) + (1, 2). (Antw.: (4,6)(4, 6).)
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  2. Ex. 26.2Application
    Berechne 2⋅(3,−1)2 \cdot (3, -1). (Antw.: (6,−2)(6, -2).)
    Solve online
  3. Ex. 26.3Application
    Berechne (5,7)−(2,3)(5, 7) - (2, 3).
    Solve online
  4. Ex. 26.4ApplicationAnswer key
    Betrag von (3,4)(3, 4). (Antw.: 5.)
    Solve online
  5. Ex. 26.5Application
    Betrag von (5,−12)(5, -12). (Antw.: 13.)
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  6. Ex. 26.6Application
    Einheitsvektor in Richtung (6,8)(6, 8). (Antw.: (3/5,4/5)(3/5, 4/5).)
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  7. Ex. 26.7ApplicationAnswer key
    Für u⃗=(1,2)\vec u = (1, 2), v⃗=(3,−1)\vec v = (3, -1): berechne u⃗+v⃗\vec u + \vec v, 2u⃗−v⃗2\vec u - \vec v, ∣u⃗+v⃗∣|\vec u + \vec v|.
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  8. Ex. 26.8Application
    Zeige, dass (3,4)(3, 4) und (−3,−4)(-3, -4) entgegengesetzt sind.
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  9. Ex. 26.9Application
    Zerlege v⃗=(5,5)\vec v = (5, 5) in der kanonischen Basis (ı^,ȷ^)(\hat\imath, \hat\jmath).
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  10. Ex. 26.10Application
    Vektor mit gleichem Betrag wie (3,4)(3, 4), aber entgegengesetzter Richtung.
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  11. Ex. 26.11ApplicationAnswer key
    Vektor mit Betrag 10 in Richtung (3,4)(3, 4). (Antw.: (6,8)(6, 8).)
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  12. Ex. 26.12Application
    Finde v⃗\vec v mit v⃗+(2,−1)=(5,7)\vec v + (2, -1) = (5, 7).
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  13. Ex. 26.13Application
    Zeige ∣αv⃗∣=∣α∣∣v⃗∣|\alpha \vec v| = |\alpha| |\vec v| für α∈R\alpha \in \mathbb{R}.
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  14. Ex. 26.14Application
    Vektor von A=(1,2)A = (1, 2) nach B=(5,8)B = (5, 8) ist AB⃗\vec{AB}. Berechne. (Antw.: (4,6)(4, 6).)
    Solve online
  15. Ex. 26.15Application
    Dreieck A=(0,0)A = (0,0), B=(4,0)B = (4,0), C=(2,3)C = (2, 3). Berechne AB⃗\vec{AB}, BC⃗\vec{BC}, CA⃗\vec{CA} und zeige, dass die Summe null ist.
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  16. Ex. 26.16Application
    Einheitsvektor in positiver yy-Richtung: ȷ^=(0,1)\hat\jmath = (0, 1).
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  17. Ex. 26.17Application
    Für u⃗=(4,3)\vec u = (4, 3) berechne einen senkrechten Vektor mit gleichem Betrag. (Antw.: (−3,4)(-3, 4) oder (3,−4)(3, -4).)
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  18. Ex. 26.18Application
    Für welches kk gilt ∣(k,3)∣=5|(k, 3)| = 5? (Antw.: k=±4k = \pm 4.)
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  19. Ex. 26.19Application
    Bestimme α,β\alpha, \beta mit α(1,0)+β(0,1)=(3,7)\alpha(1, 0) + \beta(0, 1) = (3, 7).
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  20. Ex. 26.20Application
    Linearkombination w⃗=2u⃗−3v⃗\vec w = 2\vec u - 3\vec v mit u⃗=(1,2)\vec u = (1,2), v⃗=(−1,1)\vec v = (-1, 1).
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  21. Ex. 26.21Modeling
    In der Mechanik wirken die Kräfte F⃗1=(3,4)\vec F_1 = (3, 4) N und F⃗2=(−1,2)\vec F_2 = (-1, 2) N auf einen Körper. Resultierende? (Antw.: (2,6)(2, 6) N.)
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  22. Ex. 26.22Modeling
    Fluss mit Strömung c⃗=(3,0)\vec c = (3, 0) km/h, Boot mit Motor m⃗=(0,4)\vec m = (0, 4) km/h. Resultierende Geschwindigkeit. Verlässt die Bahn das Ufer?
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  23. Ex. 26.23Modeling
    Pilot bei 500 km/h auf Kurs 060°060° NO mit 8080 km/h Wind aus Osten. Resultierende Geschwindigkeit (Betrag und Winkel).
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  24. Ex. 26.24ModelingAnswer key
    Flugbahn unter 2 aufeinanderfolgenden Winden: v⃗1=(200,100)\vec v_1 = (200, 100) im ersten Abschnitt, v⃗2=(300,−50)\vec v_2 = (300, -50) im zweiten. Dauer jedes Abschnitts: 1 h. Endposition?
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  25. Ex. 26.25Modeling
    Beim Routing eines Pakets im Netzwerk ist der Sprungvektor (lat, long, lat, long, ...) — modelliere 3 aufeinanderfolgende Sprünge.
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  26. Ex. 26.26ModelingAnswer key
    In Spielen: Spieler bei (10,20)(10, 20) bewegt sich mit Geschwindigkeit (5,−3)(5, -3) pro Sekunde. Position nach 4 s? (Antw.: (30,8)(30, 8).)
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  27. Ex. 26.27Modeling
    Embeddings in ML: Wort „König" ≈(0.3,0.5,0.2,...)\approx (0.3, 0.5, 0.2, ...), „Königin" ≈(0.3,0.6,0.1,...)\approx (0.3, 0.6, 0.1, ...). Vektorabstand ist semantische Nähe.
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  28. Ex. 26.28Modeling
    Im GPS ist Ihre Position ein 3D-Vektor. Bewegung ist Geschwindigkeitsvektor. Vom Beschleunigungssensor gemeldete Momentanbeschleunigung: Vektor.
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  29. Ex. 26.29ModelingAnswer key
    In der Statik ziehen 3 Seile am Punkt PP mit Kräften F⃗1=(5,0)\vec F_1 = (5, 0), F⃗2=(−3,4)\vec F_2 = (-3, 4), F⃗3=(?,?)\vec F_3 = (?, ?). Für Gleichgewicht F⃗3=?\vec F_3 = ?. (Antw.: (−2,−4)(-2, -4).)
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  30. Ex. 26.30ModelingAnswer key
    In der 2D-Robotik: Arm mit 2 Segmenten. Erstes Segment in Richtung u⃗1=(cos⁡30°,sin⁡30°)⋅50\vec u_1 = (\cos 30°, \sin 30°) \cdot 50 cm. Zweites in Richtung u⃗2\vec u_2. Endposition ist u⃗1+u⃗2\vec u_1 + \vec u_2.
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  31. Ex. 26.31Modeling
    Drohne mit 4 Motoren mit Schub F⃗1,F⃗2,F⃗3,F⃗4\vec F_1, \vec F_2, \vec F_3, \vec F_4. Zum Schweben muss die Summe die Schwerkraft G⃗=(0,−mg)\vec G = (0, -mg) kompensieren.
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  32. Ex. 26.32Modeling
    In Quant Finance ist die Portfoliorendite eine Linearkombination r⃗=w1a⃗+w2b⃗\vec r = w_1 \vec a + w_2 \vec b der Asset-Renditen a⃗,b⃗\vec a, \vec b mit Gewichten w1,w2w_1, w_2.
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  33. Ex. 26.33Understanding
    Zeige, dass aus u⃗+v⃗=0⃗\vec u + \vec v = \vec 0 folgt v⃗=−u⃗\vec v = -\vec u.
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  34. Ex. 26.34Challenge
    Ein Vektor v⃗\vec v hat Betrag 10 und bildet einen Winkel von 60°60° mit der positiven xx-Achse. Komponenten? (Antw.: (5,53)(5, 5\sqrt 3).)
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  35. Ex. 26.35ProofAnswer key
    Beweise die Dreiecksungleichung ∣u⃗+v⃗∣≤∣u⃗∣+∣v⃗∣|\vec u + \vec v| \leq |\vec u| + |\vec v| über die Entwicklung von ∣u⃗+v⃗∣2|\vec u + \vec v|^2.
    Solve online

Quellen

Updated on 2026-04-30 · Author(s): Clube da Matemática

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