v1 · padrão canônico

Lektion 27 — Skalarprodukt

Produto interno (dot product). Ângulo entre vetores, projeção, ortogonalidade. Trabalho mecânico.

Used in: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math II japonês · Equiv. Klasse 11 alemã · Precalculus §11.8 (US)

\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definition und Eigenschaften

Eigenschaften

Kommutativ: $\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u$ .
Distributiv: $\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w$ .
Linear im Skalar: $(\alpha \vec u) \cdot \vec v = \alpha (\vec u \cdot \vec v)$ .
Positiv: $\vec u \cdot \vec u = |\vec u|^2 \geq 0$ , mit Gleichheit $\iff \vec u = \vec 0$ .

Vorzeichen und Geometrie

$\vec u \cdot \vec v$	$\cos\theta$	Winkel
$> 0$	$> 0$	spitz $\theta < 90°$
$= 0$	$0$	rechter Winkel, $\theta = 90°$ (orthogonal)
$< 0$	$< 0$	stumpf $\theta > 90°$

Orthogonalität

$\vec u \perp \vec v \iff \vec u \cdot \vec v = 0$ .

Winkel

$\cos\theta = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u| |\vec v|}$

Projektion

Projektion von $\vec u$ auf die Richtung von $\vec v$ : $\text{proj}_{\vec v} \vec u = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec v|^2} \vec v$

Skalarer Betrag der Projektion: $\frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec v|}$ .

Zentrale Anwendung — mechanische Arbeit

$W = \vec F \cdot \vec d$ — die Arbeit einer Kraft ist ihr Skalarprodukt mit dem Verschiebungsvektor.

Exercise list

35 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 20Modeling 12Challenge 2Proof 1

Ex. 27.1ApplicationAnswer key
$(3, 4) \cdot (1, 2)$ . (Antw.: 11.)
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Ex. 27.2Application
$(2, -1) \cdot (3, 5)$ . (Antw.: 1.)
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Ex. 27.3Application
$(0, 0) \cdot \vec v$ für jedes $\vec v$ . (Antw.: 0.)
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Ex. 27.4Application
Prüfe, ob $(3, 4)$ und $(-4, 3)$ senkrecht zueinander sind. (Antw.: ja, dot = 0.)
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Ex. 27.5Application
Für welches $k$ gilt $(2, k) \cdot (3, 1) = 0$ ? (Antw.: $k = -6$ .)
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Ex. 27.6ApplicationAnswer key
Winkel zwischen $(1, 0)$ und $(1, 1)$ . (Antw.: 45°.)
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Ex. 27.7Application
Winkel zwischen $(3, 4)$ und $(4, 3)$ .
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Ex. 27.8Application
Zeige $|\vec v|^2 = \vec v \cdot \vec v$ für $\vec v = (2, 3)$ .
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Ex. 27.9Application
Projektion von $(4, 3)$ auf $(1, 0)$ . (Antw.: $(4, 0)$ .)
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Ex. 27.10Application
Projektion von $(4, 3)$ auf $(0, 1)$ .
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Ex. 27.11Application
Projektion von $(3, 5)$ auf $(1, 1)$ .
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Ex. 27.12Application
Zerlegung von $(3, 5)$ in einen zu $(1, 0)$ parallelen und einen senkrechten Anteil.
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Ex. 27.13ApplicationAnswer key
Für $\vec u = (1, 2), \vec v = (3, -1)$ : Winkel zwischen ihnen?
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Ex. 27.14ApplicationAnswer key
Einheitsvektor orthogonal zu $(2, 1)$ . (Antw.: $(\pm 1, \mp 2)/\sqrt 5$ .)
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Ex. 27.15Application
Finde einen Vektor mit Betrag 5 senkrecht zu $(3, 4)$ .
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Ex. 27.16Application
Kosinus des Winkels zwischen $(1, 0)$ und $(0, 1)$ . (Antw.: 0.)
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Ex. 27.17ApplicationAnswer key
$\vec u \cdot \vec u$ ist immer nicht negativ. Beweise.
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Ex. 27.18Application
Für $\vec u = (3, 0), \vec v = (0, 4)$ : $\vec u \cdot \vec v = ?$ .
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Ex. 27.19Application
Für $\vec u = (2, 3), \vec v = (-3, 2)$ : orthogonal? Winkel? (Antw.: ja, 90°.)
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Ex. 27.20Application
Für welches $\theta$ zwischen Vektoren ungleich null gilt $\vec u \cdot \vec v < 0$ ?
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Ex. 27.21Modeling
Arbeit der Kraft $\vec F = (10, 5)$ N über die Verschiebung $\vec d = (3, 4)$ m: $W = \vec F \cdot \vec d$ . (Antw.: 50 J.)
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Ex. 27.22ModelingAnswer key
Kraft $\vec F = (5, 0)$ N zieht eine Kiste über $\vec d = (3, 4)$ m. Nutzbare Arbeit = Projektion von $\vec F$ auf die Richtung von $\vec d$ mal $|\vec d|$ .
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Ex. 27.23Modeling
Auf einer Rampe wird die Schwerkraft $\vec g = (0, -mg)$ auf die Rampenrichtung $(\cos\theta, -\sin\theta)$ projiziert. Komponente parallel zur Ebene = $mg \sin\theta$ .
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Ex. 27.24Modeling
In ML: Kosinus-Ähnlichkeit zwischen zwei Embeddings: $\cos\theta = \vec u \cdot \vec v / (|\vec u||\vec v|)$ . Für $(0.3, 0.5)$ und $(0.6, 0.4)$ berechne.
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Ex. 27.25Modeling
Bei einem Empfehlungssystem haben zwei Nutzer Bewertungsvektoren $(5,4,3,5,2)$ und $(4,5,3,4,3)$ . Kosinus?
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Ex. 27.26Modeling
Im digitalen Filter: Korrelation zwischen Signal $(1, 2, 1, 0)$ und Modell $(1, 1, 0, 0)$ über das Skalarprodukt. (Antw.: 3.)
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Ex. 27.27Modeling
Nichttriviale Arbeit: Eine Kraft senkrecht zur Bewegung leistet null Arbeit ( $\theta = 90°$ , $\cos = 0$ ).
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Ex. 27.28Modeling
Lambert-Gesetz (Beleuchtung): Intensität $I = I_0 \vec n \cdot \hat\ell$ — Skalarprodukt aus Normalen- und Lichtrichtung.
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Ex. 27.29Modeling
Im GPS: Projektion des Radialfehlers in die tangentiale Richtung über das Skalarprodukt.
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Ex. 27.30Modeling
Im Transformer (Attention-Mechanismus) Score = $Q \cdot K / \sqrt d$ . Für $Q = (1, 2), K = (3, 4), d = 2$ berechne.
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Ex. 27.31ModelingAnswer key
In Quant Finance: Portfoliorendite $r_p = \vec w \cdot \vec r$ mit Gewichten $\vec w$ und Renditen $\vec r$ . Für $\vec w = (0{,}5, 0{,}3, 0{,}2)$ und $\vec r = (0{,}10, 0{,}08, -0{,}02)$ berechne.
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Ex. 27.32Modeling
Elektrischer Fluss $\Phi = \vec E \cdot \vec A$ . Für $\vec E = (5, 3)$ N/C und $\vec A = (0{,}2, 0{,}1)$ m² berechne.
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Ex. 27.33ChallengeAnswer key
Beweise die Cauchy-Schwarz-Ungleichung $|\vec u \cdot \vec v| \leq |\vec u||\vec v|$ . (Verwende $|\vec u + t\vec v|^2 \geq 0$ für alle $t$ .)
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Ex. 27.34Proof
Beweise die vektorielle Form des Kosinussatzes: $|\vec u - \vec v|^2 = |\vec u|^2 + |\vec v|^2 - 2 \vec u \cdot \vec v$ .
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Ex. 27.35Challenge
Zeige, dass $\vec u \cdot \vec v = u_1 v_1 + u_2 v_2 = |\vec u||\vec v|\cos\theta$ über den Kosinussatz.
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Quellen

Linear Algebra Done Right — Sheldon Axler · 2024, 4. Aufl. · EN · CC-BY-NC · Kap. 6: Skalarprodukte. Primärquelle.
A First Course in Linear Algebra — Robert A. Beezer · 2022 · EN · GFDL · Kap. O: Orthogonalität.
University Physics (Volume 1) — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY · Kap. 7: mechanische Arbeit. Quelle für Block B.
Mathematics for Machine Learning — Deisenroth, Faisal, Ong · 2020 · EN · gratis · Kap. 3: Skalarprodukt und Ähnlichkeit.