Lektion 29 — Lineare Gleichungssysteme 2x2 und 3x3

Methoden und Theorie

Lösungsmethoden

1. Einsetzungsverfahren: Eine Variable isolieren und einsetzen.
2. Additionsverfahren (Eliminationsverfahren): Gleichungen kombinieren, um eine Variable zu eliminieren.
3. Cramersche Regel: Verhältnis von Determinanten.
4. Gauß-Elimination: Matrix triangulieren.
5. Inverse Matrix: $\mathbf x = A^{-1}\mathbf b$.

Cramer 2x2

Für $\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$ mit $D = a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$:

$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$

Cramer 3x3

3x3-Determinante (Sarrus): $\det A = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})$

$x_i = \frac{\det A_i}{\det A}$

wobei $A_i$ die $i$-te Spalte durch $\vec b$ ersetzt hat.

Klassifikation über die Determinante

Gauß-Elimination

Elementaroperationen:

1. Zwei Gleichungen vertauschen.
2. Gleichung mit einem Skalar ungleich null multiplizieren.
3. Vielfaches einer Gleichung zu einer anderen addieren.

Ziel: obere Dreiecksform. Danach Rückwärtseinsetzen.