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Lektion 30 — Konsolidierung Quartal 3: analytische Geometrie + Vektoren

Workshop integrador das aulas 21-29: geometria analítica, cônicas, vetores, sistemas lineares.

Used in: 1.º ano do EM (16 anos) · Equiv. Math II japonês — geometria analítica plana · Equiv. Klasse 10/11 alemã — Analytische Geometrie

d^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2, \quad y = mx + n, \quad \vec u \cdot \vec v = u_1 v_1 + u_2 v_2, \quad A\mathbf x = \mathbf b

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Synthese des Quartals 3

Karte der Schlüsselformeln

Thema	Formel	Lektionen
Abstand	$d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$	21
Mittelpunkt	$((x_1+x_2)/2, ...)$	21
Geradengleichung	$y = mx + n$	22
Steigung	$m = \Delta y / \Delta x$	22
Parallel	$m_r = m_s$	23
Senkrecht	$m_r m_s = -1$	23
Abstand Punkt-Gerade	$\\|Ax_0 + By_0 + C\\|/\sqrt{A^2 + B^2}$	23
Kreis	$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$	24
Ellipse	$x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$	25
Parabel	$y^2 = 4px$	25
Hyperbel	$x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$	25
Vektorsumme	komponentenweise	26
Vektorbetrag	$\sqrt{v_1^2 + v_2^2}$	26
Skalarprodukt	$u_1 v_1 + u_2 v_2 = \\|u\\|\\|v\\|\cos\theta$	27
Arbeit	$W = \vec F \cdot \vec d$	28
2. Newton	$\sum \vec F = m\vec a$	28
Cramer 2x2	$x = (c_1 b_2 - c_2 b_1)/D$	29

Aufgabenstil (35 Übungen)

Kombinierte Anwendung (~15): Geometrie + Algebra.
Modellierung (~10): vektorielle Physik, Telekommunikation, Bahnen, Finanzen.
Herausforderung (~7): Niveau Brasilianische Olympiade / ITA / IME.
Beweis (~3): rigorose Beweisführung festigen.

Exercise list

35 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 12Modeling 13Challenge 5Proof 5

Ex. 30.1Application
Abstand zwischen $(2, 5)$ und $(8, 13)$ . (Antw.: 10.)
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Ex. 30.2Application
Gleichung der Geraden durch $(0, 4)$ parallel zu $y = 2x - 3$ .
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Ex. 30.3Application
Mittelsenkrechte von $\overline{(0,0)(6,0)}$ — Gleichung. (Antw.: $x = 3$ .)
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Ex. 30.4Application
Mittelpunkt des Kreises $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ . (Antw.: $(3, -2)$ .)
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Ex. 30.5Application
Lage von $(5, 5)$ relativ zu $x^2 + y^2 = 25$ . (Antw.: außerhalb, Abst. $5\sqrt 2 > 5$ .)
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Ex. 30.6ApplicationAnswer key
Gleichung der Parabel mit Brennpunkt $(3, 0)$ und Leitlinie $x = -3$ . (Antw.: $y^2 = 12x$ .)
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Ex. 30.7Application
Exzentrizität von $x^2/16 + y^2/9 = 1$ .
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Ex. 30.8ApplicationAnswer key
Tangente an $x^2 + y^2 = 25$ in $(3, 4)$ .
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Ex. 30.9Modeling
Polizeisirene: Reichweite 500 m. Gleichung der Grenze, Sirene in $(0,0)$ .
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Ex. 30.10Modeling
4G-Antenne deckt 2 km ab. Für 4 Antennen bei $(0,0), (3,0), (0,3), (3,3)$ , welche Region hat Mehrfachabdeckung?
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Ex. 30.11Application
$(2, -1) + 3 \cdot (1, 2)$ . (Antw.: $(5, 5)$ .)
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Ex. 30.12Application
Winkel zwischen $(3, 4)$ und $(1, 0)$ .
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Ex. 30.13ApplicationAnswer key
Projektion von $(5, 12)$ auf $(0, 1)$ . (Antw.: $(0, 12)$ .)
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Ex. 30.14Modeling
Arbeit von $\vec F = (8, 6)$ N zur Verschiebung des Objekts $\vec d = (3, 0)$ m. (Antw.: 24 J.)
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Ex. 30.15Modeling
5 kg auf 30°-Rampe. Beschleunigung beim Hinabgleiten (reibungsfrei). (Antw.: $g/2 \approx 4{,}9$ m/s².)
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Ex. 30.16Modeling
Flugzeug 700 km/h Richtung NO mit 100 km/h Wind aus Osten. Resultierende Geschwindigkeit.
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Ex. 30.17ModelingAnswer key
Zwei Kabel halten eine Masse von 200 kg, Winkel von $30°$ und $45°$ zur Vertikalen. Spannung in jedem Kabel.
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Ex. 30.18Modeling
In DSP: Kosinus-Ähnlichkeit zwischen $(0.5, 0.8, 0.3)$ und $(0.3, 0.6, 0.4)$ .
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Ex. 30.19ModelingAnswer key
In einem Transformer: Attention-Score für $Q = (1, 1)$ , $K = (3, 4)$ ist $Q \cdot K / \sqrt 2$ .
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Ex. 30.20Modeling
Ballistischer Wurf: $v_0 = 30$ m/s bei $45°$ . Horizontale Reichweite? (Antw.: $\approx 91{,}7$ m.)
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Ex. 30.21Application
Löse $\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 3x - y = 1 \end{cases}$ . (Antw.: $(\frac{9}{7}, \frac{20}{7})$ .)
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Ex. 30.22Modeling
Mischung: 30 % und 60 % zu 100 L mit 45 %. Finden. (Antw.: je 50 L.)
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Ex. 30.23Modeling
Ein Geschäft verkauft 2 Produkte. 5A + 3B = 110 €, 2A + 4B = 80 €. Preise. (Antw.: A=10, B=15.)
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Ex. 30.24Modeling
GPS-Triangulation: 3 Satelliten in $(0,0), (10,0), (0,10)$ messen Abstände $\sqrt{50}, \sqrt{50}, \sqrt{50}$ . Deine Position?
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Ex. 30.25Modeling
Markowitz mit 2 Assets: minimiere $w_1^2 + 2w_2^2$ unter $w_1 + w_2 = 1$ . Optimale Gewichte? (Antw.: $w_1 = 2/3, w_2 = 1/3$ .)
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Ex. 30.26Challenge
Größter einbeschriebener Kreis im Dreieck mit Eckpunkten $(0,0), (10,0), (0,6)$ .
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Ex. 30.27Challenge
Bestimme die Ellipse durch $(0, 0), (4, 0), (2, 3)$ mit horizontaler Hauptachse.
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Ex. 30.28Challenge
Gerade $r$ tangential zum Kreis $x^2 + y^2 = 4$ , parallel zu $y = x + 1$ . Gleichung?
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Ex. 30.29Challenge
Vektor $\vec v$ hat Betrag $\sqrt{20}$ , ist senkrecht zu $(3, 1)$ und hat $v_2 > 0$ . Komponenten?
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Ex. 30.30ChallengeAnswer key
System $\begin{cases} ax + y = 1 \\ x + ay = 1 \end{cases}$ — für welches $a$ hat es (a) eindeutige Lösung, (b) unendlich viele Lösungen, (c) keine?
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Ex. 30.31Proof
Beweise, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse Durchmesser des Umkreises ist (Thales).
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Ex. 30.32Proof
Beweise Cauchy-Schwarz für $\mathbb{R}^2$ über das Skalarprodukt.
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Ex. 30.33ProofAnswer key
Beweise die Formel des Abstands Punkt-Gerade über Vektorprojektion.
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Ex. 30.34ProofAnswer key
Zeige, dass die Mittelsenkrechte einer Strecke senkrecht zu ihr verläuft und durch ihren Mittelpunkt geht.
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Ex. 30.35Proof
Zeige, dass die Summe der Kantenvektoren eines geschlossenen Polygons null ist.
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Quellen

Konsolidierungslektion vereint die Quellen der Lektionen 21-29:

College Algebra — OpenStax · 2022, 2. Aufl. · EN · CC-BY · §2, §10.
Algebra and Trigonometry — OpenStax · 2022, 2. Aufl. · EN · CC-BY · §10.
Linear Algebra Done Right — Sheldon Axler · 2024, 4. Aufl. · EN · CC-BY-NC · Kap. 1, 6.
A First Course in Linear Algebra — Robert A. Beezer · 2022 · EN · GFDL · Kap. V, O, SLE.
University Physics (Volume 1) — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY · Kap. 2-7: vektorielle Kinematik und Dynamik.
Wirtschaftsnobelpreis 1990 — Markowitz, Miller, Sharpe · moderne Portfoliotheorie.
Wirtschaftsnobelpreis 1997 — Merton, Scholes · Bewertung von Derivaten.

Vollständiger Katalog unter /livros.