v1 · padrão canônico

Lektion 31 — Einführung in Matrizen

Matriz como tabela retangular de números. Notação, dimensões, igualdade, tipos especiais.

Used in: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math II japonês · Equiv. Klasse 10 alemã · Pré-cálculo norte-americano §11.5

A = (a_{ij})_{m \times n} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definition und Typen

Spezielle Typen

Typ	Definition
Quadratisch	$m = n$
Zeile	$1 \times n$
Spalte	$m \times 1$
Diagonal	quadratisch mit $a_{ij} = 0$ für $i \neq j$
Einheitsmatrix $I_n$	Diagonal mit $a_{ii} = 1$
Nullmatrix $O$	alle Elemente null
Obere Dreiecks-	$a_{ij} = 0$ für $i > j$
Untere Dreiecks-	$a_{ij} = 0$ für $i < j$
Symmetrisch	$A^T = A$ , also $a_{ij} = a_{ji}$
Antisymmetrisch	$A^T = -A$ , also $a_{ij} = -a_{ji}$
Skalar	Diagonal mit $a_{ii} = k$ konstant

Diagonale einer quadratischen Matrix

Die Hauptdiagonale ist $\{a_{ii}\}$ . Spur: $\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}$ .

Bildungsgesetz

Häufig definiert man $A$ über die Formel $a_{ij} = f(i, j)$ . Beispiele:

$a_{ij} = i + j$
$a_{ij} = (-1)^{i+j}$
$a_{ij} = \delta_{ij}$ (Kronecker-Delta — erzeugt die Einheitsmatrix)

Exercise list

46 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 26Understanding 6Modeling 10Challenge 3Proof 1

Ex. 31.1Application
Identifiziere die Dimension von $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$ . (Antw.: $3 \times 2$ .)
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Ex. 31.2Application
Schreibe eine $3 \times 3$ -Einheitsmatrix.
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Ex. 31.3Application
Schreibe eine Nullmatrix $2 \times 4$ .
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Ex. 31.4Application
Für $A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ identifiziere $a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}$ . (Antw.: $5, -2, 3, 4$ .)
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Ex. 31.5ApplicationAnswer key
Konstruiere die Matrix $A_{2 \times 3}$ mit $a_{ij} = i + j$ .
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Ex. 31.6ApplicationAnswer key
Konstruiere $A_{3 \times 3}$ mit $a_{ij} = i \cdot j$ .
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Ex. 31.7ApplicationAnswer key
Prüfe, ob $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ symmetrisch ist. (Antw.: ja.)
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Ex. 31.8Application
Prüfe, ob $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ antisymmetrisch ist.
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Ex. 31.9ApplicationAnswer key
Spur von $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ . (Antw.: $15$ .)
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Ex. 31.10Application
Für welches $x$ gilt $\begin{pmatrix} x & 2 \\ 3 & x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$ ?
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Ex. 31.11ApplicationAnswer key
Konstruiere eine beliebige $3 \times 3$ -obere Dreiecksmatrix.
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Ex. 31.12Application
Konstruiere eine $3 \times 3$ -Diagonalmatrix mit Diagonalen $2, -1, 5$ . Berechne die Spur. (Antw.: $6$ .)
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Ex. 31.13Application
Identifiziere das Element $a_{32}$ von $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ . (Antw.: $8$ .)
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Ex. 31.14Application
Für $A_{m \times n}$ mit $m = n$ , was ist die Klasse der Matrix?
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Ex. 31.15ApplicationAnswer key
Wie viele Elemente hat eine $4 \times 5$ -Matrix? (Antw.: $20$ .)
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Ex. 31.16Application
Konstruiere $A_{2 \times 2}$ mit $a_{ij} = (-1)^{i+j}$ .
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Ex. 31.17Application
Prüfe, ob $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ die Einheitsmatrix ist.
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Ex. 31.18ApplicationAnswer key
Konstruiere $A_{3 \times 3}$ mit $a_{ij} = \max(i, j)$ .
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Ex. 31.19Application
Entscheide: Ist $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ symmetrisch?
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Ex. 31.20ApplicationAnswer key
Konstruiere $5 \times 5$ -Einheitsmatrix. Wie viele Nullen hat sie? (Antw.: $20$ .)
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Ex. 31.21Application
Konstruiere $A_{3 \times 3}$ mit $a_{ij} = |i - j|$ . Ist sie symmetrisch?
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Ex. 31.22Application
Konstruiere $A_{4 \times 4}$ mit $a_{ij} = \delta_{ij}$ (Kronecker-Delta). Welche Matrix ist das?
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Ex. 31.23Application
Wie viele Nichtnull-Elemente hat $I_n$ ? (Antw.: $n$ .)
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Ex. 31.24Application
Konstruiere eine untere Dreiecksmatrix $4 \times 4$ mit $a_{ij} = i + j$ falls $i \geq j$ .
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Ex. 31.25Application
Identifiziere, ob $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -1 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 7 \end{pmatrix}$ symmetrisch ist.
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Ex. 31.26Application
Bestimme $x, y$ , sodass $\begin{pmatrix} 2x & 3 \\ 5 & y+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}$ . (Antw.: $x = 4, y = 6$ .)
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Ex. 31.27Understanding
Zeige, dass eine symmetrische Matrix quadratisch sein muss.
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Ex. 31.28UnderstandingAnswer key
Zeige, dass eine antisymmetrische Matrix Null-Diagonale hat.
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Ex. 31.29Understanding
Zeige, dass für eine symmetrische Matrix $A$ gilt: $a_{ij} = a_{ji}$ für beliebige $i, j$ .
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Ex. 31.30Understanding
Wie viele symmetrische $3 \times 3$ -Matrizen mit Einträgen aus $\{0, 1\}$ gibt es? (Antw.: $2^6 = 64$ — 6 unabhängige Einträge.)
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Ex. 31.31Understanding
Zeige, dass jede quadratische Matrix sich als Summe von symmetrischer + antisymmetrischer Matrix schreibt: $A = \frac{A + A^T}{2} + \frac{A - A^T}{2}$ .
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Ex. 31.32Understanding
Verifiziere die obige Zerlegung für $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$ .
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Ex. 31.33ModelingAnswer key
Noten von 3 Schülern in 4 Fächern: Stelle eine $3 \times 4$ -Matrix mit fiktiven Daten auf.
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Ex. 31.34ModelingAnswer key
Entfernungen zwischen 4 Städten: symmetrische $4 \times 4$ -Matrix mit Null-Diagonale.
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Ex. 31.35Modeling
Graustufenbild $2 \times 3$ . Jedes Element zwischen 0 (schwarz) und 255 (weiß). Erstelle ein Beispiel.
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Ex. 31.36Modeling
Preistabelle nach Geschäft × Produkt: Stelle eine $3 \times 4$ -Matrix auf (3 Geschäfte, 4 Produkte).
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Ex. 31.37Modeling
In ML hat ein Datensatz $n$ Stichproben × $d$ Features: welche Matrixdimension?
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Ex. 31.38Modeling
Lineares System $\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$ — schreibe die Koeffizientenmatrix und die erweiterte Matrix.
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Ex. 31.39Modeling
Adjazenzmatrix eines Graphen mit 4 Knoten und Kanten $\{1\text{-}2, 2\text{-}3, 3\text{-}4, 1\text{-}4\}$ .
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Ex. 31.40Modeling
In Finance: Korrelationsmatrix $5 \times 5$ zwischen Aktien: symmetrisch, Diagonale $= 1$ . Wie viele eindeutige Werte? (Antw.: $10$ .)
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Ex. 31.41Modeling
In der Produktion: Kosten×Mengen-Matrix: jedes Element ist die Gesamtkosten dieser Kombination.
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Ex. 31.42Modeling
In der Regelungstechnik: Zustand $\mathbf x \in \mathbb R^3$ mit Dynamikmatrix $A \in M_{3\times 3}$ . Wie viele Einträge?
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Ex. 31.43Challenge
Zeige, dass die Dimension des Raums symmetrischer $n \times n$ -Matrizen $n(n+1)/2$ ist.
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Ex. 31.44Challenge
Zeige, dass die Dimension des Raums antisymmetrischer $n \times n$ -Matrizen $n(n-1)/2$ ist.
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Ex. 31.45Challenge
Konstruiere $A_{3 \times 3}$ mit $a_{ij} = \binom{i+j-2}{j-1}$ . Erkennst du das Muster? (Pascal-Zeilen — verschobene Hilbert-Matrix.)
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Ex. 31.46Proof
Beweise, dass eine zugleich symmetrische und antisymmetrische Matrix $A$ die Nullmatrix ist.
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Quellen

Linear Algebra Done Right — Sheldon Axler · 2024, 4. Aufl. · EN · CC-BY-NC · Kap. 3: Matrizen. Primärquelle.
A First Course in Linear Algebra — Robert A. Beezer · 2022 · EN · GFDL · Kap. M.
Álgebra linear — Wikibooks · lebendig · PT-BR · CC-BY-SA.