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Lektion 32 — Operationen mit Matrizen

Addition, Skalar-Multiplikation, Matrixprodukt. Die Multiplikation als Komposition linearer Abbildungen.

Used in: 1.º ano EM (álgebra linear elementar) · Equiv. Math I japonês cap. matrizes · Equiv. Klasse 11 alemã (Matrizen)

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Operationen

Summe und Differenz

Für Matrizen gleicher Dimension: $(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$

Skalare Multiplikation

$(\alpha A)_{ij} = \alpha \cdot a_{ij}$

Matrixprodukt

Definiert nur, wenn die Spaltenanzahl von $A$ = Zeilenanzahl von $B$ : $A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = (AB)_{m \times p}$

$\boxed{(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}}$

Eigenschaften

Operation	Eigenschaft
Summe	kommutativ, assoziativ, Identität $O$
Skalar	distributiv: $\alpha(A+B) = \alpha A + \alpha B$
Produkt	assoziativ: $(AB)C = A(BC)$
Produkt	distributiv: $A(B+C) = AB + AC$
Produkt	NICHT kommutativ im Allgemeinen
Einheit	$AI = IA = A$
Null	$AO = OA = O$

Warum das Matrixprodukt „seltsam" ist

Weil es der Komposition linearer Abbildungen entspricht: zuerst $B$ und dann $A$ anzuwenden ist dasselbe wie $AB$ anzuwenden. Die Reihenfolge zählt, weil die Komposition zählt.

Potenzen

$A^n = A \cdot A \cdots A$ ( $n$ -mal), $A^0 = I$ . Nur für quadratische Matrizen definiert.

Exercise list

46 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 27Understanding 5Modeling 10Challenge 3Proof 1

Ex. 32.1Application
Berechne $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ . (Antw.: $\begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ .)
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Ex. 32.2ApplicationAnswer key
Berechne $3 \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ .
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Ex. 32.3Application
Berechne $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$ . (Antw.: $\begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$ .)
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Ex. 32.4Application
Berechne $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ — was ergibt sich?
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Ex. 32.5ApplicationAnswer key
Berechne $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ .
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Ex. 32.6Application
Multipliziere eine $2 \times 3$ -Matrix mit einer $3 \times 2$ — welche Dimension hat das Ergebnis? (Antw.: $2 \times 2$ .)
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Ex. 32.7Application
Berechne $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}$ . (Antw.: $\begin{pmatrix} 50 \\ 122 \end{pmatrix}$ .)
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Ex. 32.8Application
Verifiziere $AB \neq BA$ für $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ .
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Ex. 32.9ApplicationAnswer key
$A^2$ für $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ . (Antw.: $I$ .)
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Ex. 32.10Application
Berechne $(A + B)^2$ und $(A^2 + 2AB + B^2)$ . Wann gleich? (Wenn $AB = BA$ .)
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Ex. 32.11Application
Berechne $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}^2$ .
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Ex. 32.12Application
Multipliziere $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ mit $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ . (Antw.: $(\cos\theta, \sin\theta)^T$ .)
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Ex. 32.13ApplicationAnswer key
Berechne das Produkt $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
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Ex. 32.14Application
Verifiziere die Distributivität: $A(B+C) = AB + AC$ für $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ und $B, C$ deiner Wahl.
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Ex. 32.15Application
Für $A_{2 \times 3}$ und $B_{3 \times 4}$ , Dimension von $AB$ ? Und von $BA$ ? ( $BA$ existiert nicht.)
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Ex. 32.16Application
Berechne $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ .
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Ex. 32.17ApplicationAnswer key
Zeige, dass das Produkt zweier Diagonalmatrizen diagonal ist — explizit berechnen.
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Ex. 32.18Application
Berechne $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^3$ .
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Ex. 32.19Application
Berechne $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^n$ — finde die allgemeine Formel in Abhängigkeit von $n$ . (Antw.: $\begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .)
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Ex. 32.20ApplicationAnswer key
Für welche $A_{2\times 2}$ gilt $A^2 = A$ ? (Idempotent — Projektion.) Gib zwei Beispiele.
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Ex. 32.21Application
Berechne $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ .
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Ex. 32.22Application
Berechne $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ — äußeres Produkt, Dimension $3 \times 3$ .
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Ex. 32.23ApplicationAnswer key
Berechne $\begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ — Skalarprodukt, Dimension $1 \times 1$ . (Antw.: $32$ .)
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Ex. 32.24Application
Berechne $A^4$ für $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ . (Antw.: $I$ .)
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Ex. 32.25Application
Finde $A^2$ für $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ . Und $A^3$ ? (Nilpotent.)
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Ex. 32.26Application
Verifiziere $(AB)^T = B^T A^T$ für $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .
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Ex. 32.27Application
Berechne $\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta \end{pmatrix}$ — verifiziere, dass die Drehung um $\alpha + \beta$ resultiert.
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Ex. 32.28Understanding
Zeige, dass die Multiplikation mit der Einheitsmatrix nichts ändert. (Direkt aus der Definition.)
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Ex. 32.29Understanding
Zeige, dass die Multiplikation mit der Nullmatrix die Nullmatrix ergibt.
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Ex. 32.30Understanding
Zeige, dass das Produkt zweier Diagonalmatrizen $A$ und $B$ wieder eine Diagonalmatrix ist und dass die Diagonalelemente sich multiplizieren.
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Ex. 32.31UnderstandingAnswer key
Zeige: Sind $A$ und $B$ obere Dreiecksmatrizen, so ist auch $AB$ eine obere Dreiecksmatrix.
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Ex. 32.32Understanding
Zeige $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$ auch wenn $AB \neq BA$ .
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Ex. 32.33Modeling
In einer Mannschaft erzielen Spieler Tore $G$ und Vorlagen $A$ . Punkte: Tor $\times 3$ + Vorlage $\times 1$ . Modelliere als Matrixprodukt.
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Ex. 32.34Modeling
In einem neuronalen Netz: Schicht $\mathbf{y} = W\mathbf{x} + \mathbf{b}$ . Für $W \in M_{10 \times 5}$ , welche Dimension hat $\mathbf x$ und $\mathbf y$ ?
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Ex. 32.35Modeling
Markov-Kette: Verteilung $\pi'$ = $\pi P$ . Wenn $\pi = (0{,}5, 0{,}5)$ und $P = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \\ 0{,}2 & 0{,}8 \end{pmatrix}$ , berechne $\pi'$ .
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Ex. 32.36Modeling
Drehung in der Ebene: $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ dreht $(x, y)$ um $\theta$ . Wende auf $(1, 0)$ mit $\theta = \pi/2$ an.
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Ex. 32.37ModelingAnswer key
PageRank iteriert $\mathbf v_{n+1} = M \mathbf v_n$ mit stochastischem $M$ . Wozu dient der Eigenvektor von $M$ ?
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Ex. 32.38Modeling
In CG: 2D-affine Transformation $T(\mathbf x) = A\mathbf x + \mathbf t$ . Wie als $3\times 3$ -Matrix angewendet auf $(x, y, 1)^T$ darstellen?
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Ex. 32.39ModelingAnswer key
In der Ökonomie: Input-Output-Matrix $\mathbf x = A\mathbf x + \mathbf d$ ⟹ $\mathbf x = (I-A)^{-1}\mathbf d$ . Welcher Berechnungsaufwand?
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Ex. 32.40ModelingAnswer key
In der Finanzwelt: Renditen $\mathbf r = R \mathbf w$ , wobei $R$ die Asset×Szenario-Renditematrix ist. Modelliere.
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Ex. 32.41Modeling
RGB-Bild $H \times W \times 3$ . Umwandlung in Graustufen: $g = 0{,}299 r + 0{,}587 g + 0{,}114 b$ . Wie als Matrixprodukt ausdrücken?
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Ex. 32.42Modeling
In der Regelung: System $\mathbf x_{k+1} = A\mathbf x_k + B\mathbf u_k$ . Nach 3 Schritten $\mathbf x_3$ als Funktion von $\mathbf x_0, \mathbf u_0, \mathbf u_1, \mathbf u_2$ .
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Ex. 32.43Challenge
Finde $A \neq 0$ und $B \neq 0$ mit $AB = 0$ (matrizielle Nullteiler).
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Ex. 32.44Challenge
Finde $A \neq I$ mit $A^2 = I$ (nicht-triviale Involution).
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Ex. 32.45Challenge
Zeige, dass für quadratische $A, B$ mit $AB = I$ auch $BA = I$ gilt (nicht trivial — hängt von der Endlichkeit der Dimension ab).
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Ex. 32.46Proof
Beweise die Assoziativität: $(AB)C = A(BC)$ über $\sum_k$ und Vertauschung der Summenreihenfolge.
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Quellen

A First Course in Linear Algebra — Robert A. Beezer · 2022 · EN · GFDL · Kap. M und MM. Primärquelle.
Linear Algebra Done Right — Sheldon Axler · 2024, 4. Aufl. · EN · CC-BY-NC · Kap. 3.
Álgebra linear — Wikibooks · lebendig · PT-BR · CC-BY-SA.