v1 · padrão canônico

Lektion 33 — Transponierte, Einheits-, Inverse Matrix

A transposta espelha a matriz. A inversa desfaz a multiplicação — só existe quando o determinante é não-nulo.

Used in: 1.º ano do EM (16 anos) · Math I japonês cap. matrizes · Klasse 11 alemã Lineare Algebra

A A^{-1} = A^{-1} A = I, \qquad (A^T)_{ij} = a_{ji}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Transponierte und Inverse

Transponierte

$(A^T)_{ij} = a_{ji}$ . Zeilen werden zu Spalten. Eigenschaften:

Eigenschaft	Formel
Involution	$(A^T)^T = A$
Summe	$(A + B)^T = A^T + B^T$
Skalar	$(\alpha A)^T = \alpha A^T$
Produkt	$(AB)^T = B^T A^T$ (Reihenfolge umkehren)
Inverse-Transponierte	$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$

Symmetrische Matrix: $A^T = A$ . Orthogonale Matrix: $A^T A = I$ ⟺ $A^{-1} = A^T$ .

Einheitsmatrix

$I_n$ : quadratische $n \times n$ -Matrix mit Einsen auf der Diagonale und Nullen sonst. Für jedes $A_{n \times n}$ : $AI = IA = A$

Inverse

$A_{n \times n}$ ist invertierbar (regulär), wenn ein $A^{-1}$ existiert mit $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ . Äquivalenztheorem — für quadratische $A$ gilt:

$A$ ist invertierbar.
$\det A \neq 0$ .
$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ hat nur $\mathbf{x} = \mathbf{0}$ .
Die Spalten von $A$ sind linear unabhängig.
Die Zeilen von $A$ sind linear unabhängig.
$A$ hat vollen Rang: $\text{rank}(A) = n$ .
$A$ ist Produkt von Elementarmatrizen.

Inverse 2x2

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

(Gültig, falls $ad - bc \neq 0$ .)

Eigenschaften der Inversen

$(A^{-1})^{-1} = A$
$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ (Reihenfolge umkehren!)
$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
$(\alpha A)^{-1} = (1/\alpha) A^{-1}$
$\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$

Berechnung über Gauß-Jordan

Form $[A | I]$ → eliminieren bis $[I | A^{-1}]$ . Aufwand $O(n^3)$ .

Exercise list

48 exercises · 12 with worked solution (25%)

Application 30Understanding 8Modeling 6Challenge 3Proof 1

Ex. 33.1ApplicationAnswer key
Transponierte von $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ . (Antw.: $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ .)
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Ex. 33.2Application
Transponierte von $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ .
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Ex. 33.3ApplicationAnswer key
Inverse von $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ . (Antw.: $\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}$ .)
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Ex. 33.4Application
Inverse von $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ .
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Ex. 33.5Application
Inverse von $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
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Ex. 33.6Application
Existiert die Inverse von $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ ? Begründe. (Antw.: nein, $\det = 0$ .)
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Ex. 33.7ApplicationAnswer key
Verifiziere $A \cdot A^{-1} = I$ für $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$ .
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Ex. 33.8Application
Inverse von $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ . (Antw.: Drehung um $-\theta$ .)
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Ex. 33.9Application
Löse $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ über die Inverse: $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ , $\mathbf{b} = (5, 7)^T$ .
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Ex. 33.10ApplicationAnswer key
Prüfe, ob $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ symmetrisch ist. (Antw.: nein — $a_{12} \neq a_{21}$ .)
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Ex. 33.11Application
Verifiziere $(AB)^T = B^T A^T$ für $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ und $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .
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Ex. 33.12Application
Für welches $k$ hat die Matrix $\begin{pmatrix} 1 & k \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ keine Inverse? (Antw.: $k = 2$ .)
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Ex. 33.13Application
Inverse von $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ .
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Ex. 33.14Application
Zeige numerisch, dass $A + A^T$ symmetrisch ist für $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$ .
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Ex. 33.15Application
Zeige numerisch, dass $A - A^T$ antisymmetrisch ist.
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Ex. 33.16ApplicationAnswer key
$(A^{-1})^{-1} = A$ — verifiziere für $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ .
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Ex. 33.17Application
Wann ist die Diagonalmatrix $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$ invertierbar? (Antw.: $ab \neq 0$ .)
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Ex. 33.18Application
Inverse von $\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}$ (Dreiecksform, $ad \neq 0$ ).
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Ex. 33.19Application
$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ . Berechne $A^4$ und $A^{-1}$ .
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Ex. 33.20ApplicationAnswer key
Zerlege $\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$ in symmetrisch + antisymmetrisch.
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Ex. 33.21Application
Berechne $A^{-1}$ für $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$ (diagonal).
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Ex. 33.22Application
Berechne $A^{-1}$ für $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ (Dreiecksform).
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Ex. 33.23Application
Wende Gauß-Jordan auf $[A|I]$ an für $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ .
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Ex. 33.24Application
Verifiziere, dass $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$ eine Inverse hat (berechne $\det$ ).
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Ex. 33.25Application
Löse $A\mathbf x = \mathbf b$ mit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ , $\mathbf b = (3, 8)^T$ , über $A^{-1}$ .
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Ex. 33.26Application
Inverse der Permutationsmatrix $P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ . (Antw.: $P^T = P^{-1}$ .)
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Ex. 33.27Application
Berechne $A^{-1}$ für $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ .
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Ex. 33.28ApplicationAnswer key
Verwende $A^{-1}$ , um $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ -x + y = 1 \end{cases}$ zu lösen.
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Ex. 33.29ApplicationAnswer key
Verifiziere: Wenn $A^T = A^{-1}$ , dann $A^TA = I$ (orthogonale Matrix).
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Ex. 33.30Application
Prüfe, ob $\begin{pmatrix} 1/\sqrt 2 & 1/\sqrt 2 \\ -1/\sqrt 2 & 1/\sqrt 2 \end{pmatrix}$ orthogonal ist.
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Ex. 33.31Understanding
Zeige: Wenn $A$ symmetrisch und invertierbar ist, ist auch $A^{-1}$ symmetrisch.
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Ex. 33.32UnderstandingAnswer key
Zeige: Wenn $A^2 = I$ , dann $A = A^{-1}$ .
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Ex. 33.33Understanding
Zeige, dass eine orthogonale Matrix ( $A^T A = I$ ) $A^{-1} = A^T$ erfüllt.
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Ex. 33.34Understanding
Zeige: Sind $A, B$ invertierbar, so ist $AB$ invertierbar.
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Ex. 33.35Understanding
Zeige $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ .
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Ex. 33.36Understanding
Zeige: Ist $A$ eine invertierbare Dreiecksmatrix, so ist auch $A^{-1}$ eine Dreiecksmatrix vom gleichen Typ.
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Ex. 33.37UnderstandingAnswer key
Zeige, dass das Produkt orthogonaler Matrizen orthogonal ist.
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Ex. 33.38Understanding
Zeige $\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$ .
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Ex. 33.39Modeling
Verwende die Inverse, um zu lösen: $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -2 \end{cases}$ .
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Ex. 33.40Modeling
In der Matrix-Kryptographie (Hill cipher) wird eine Nachricht als Vektor $\mathbf{m}$ über $A\mathbf{m}$ verschlüsselt. Entschlüsseln = $A^{-1}(A\mathbf{m})$ . Modelliere mit $A_{2\times 2}$ .
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Ex. 33.41ModelingAnswer key
In CG: Die inverse Transformation ist grundlegend: Eine Transformation auf die Kamera anzuwenden bedeutet, die Inverse auf die Objekte anzuwenden. Erkläre, warum.
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Ex. 33.42Modeling
In der Ökonomie verbindet die Leontief-Matrix $L$ Produktion mit Nachfrage. Lösung: $\mathbf{x} = (I - L)^{-1} \mathbf{d}$ . Für $L = \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}1 \\ 0{,}3 & 0{,}4 \end{pmatrix}$ , $\mathbf d = (10, 20)^T$ , berechne $\mathbf x$ .
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Ex. 33.43Modeling
Identifiziere, ob $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ eine obere Dreiecksmatrix ist. Ist auch die Inverse obere Dreiecksmatrix?
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Ex. 33.44Modeling
In der Statistik: Regression $\hat\beta = (X^TX)^{-1}X^T\mathbf y$ . Warum ist Gauß-Elimination der direkten Inversion vorzuziehen?
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Ex. 33.45Challenge
Finde eine Matrix $A$ mit $A^3 = I$ , aber $A \neq I$ . (Tipp: Drehung um $120°$ .)
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Ex. 33.46ChallengeAnswer key
Zeige: Aus $AB = I$ für $A, B \in M_n$ folgt $BA = I$ (nicht trivial).
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Ex. 33.47Challenge
Berechne $A^{-1}$ für $A = I + \mathbf u \mathbf v^T$ mit $\mathbf u, \mathbf v \in \mathbb R^n$ und $1 + \mathbf v^T\mathbf u \neq 0$ (Sherman-Morrison).
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Ex. 33.48Proof
Beweise $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ über $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = I$ .
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Quellen

Linear Algebra Done Right — Sheldon Axler · 2024, 4. Aufl. · EN · CC-BY-NC · Kap. 3, 7. Primärquelle.
A First Course in Linear Algebra — Robert A. Beezer · 2022 · EN · GFDL · Kap. MISLE.
Álgebra linear — Wikibooks · lebendig · PT-BR · CC-BY-SA.