Lektion 34 — Determinanten 2x2 und 3x3

Berechnung und Eigenschaften

2x2

$\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$

3x3 — Regel von Sarrus

$\det \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$

(Wiederhole die ersten 2 Spalten rechts, 3 absteigende minus 3 aufsteigende Produkte.)

n×n — Laplace-Entwicklung (Kofaktoren)

$\det A = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}$

wobei $M_{ij}$ der Minor ist (det der Untermatrix nach Entfernen von Zeile $i$ und Spalte $j$). Rekursiv: reduziert $n \times n$ auf eine Summe von $(n-1) \times (n-1)$.

Definition über Permutationen (Leibniz)

$\det A = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}$

Summe über alle $n!$ Permutationen.

Eigenschaften

Geometrische Interpretation

• $|\det A|$ = Volumen des von den Spalten erzeugten Parallelepipeds.
• $\det A > 0$: Orientierung erhalten. $\det A < 0$: Orientierung umgekehrt.
• $\det A = 0$: Spalten linear abhängig (Parallelepiped „flach").

Invertierbarkeitskriterium

$A$ invertierbar $\iff \det A \neq 0$.