Lektion 35 — Lösen von Systemen über Matrizen

Lösungsmethoden

Matrixform

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3 \end{cases}$ ⟺ $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ mit $A_{3 \times 3}$, $\mathbf{x}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3$.

Methode 1 — Gauß-Elimination

Elementaroperationen (verändern Lösung nicht):

1. Zwei Zeilen vertauschen.
2. Eine Zeile mit Skalar ungleich null multiplizieren.
3. Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren.

Ziel: $[A | \mathbf{b}]$ zur Stufenform triangulieren. Dann Rückwärtseinsetzen.

Methode 2 — Cramer

Für $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ mit $\det A \neq 0$: $x_i = \frac{\det A_i}{\det A}$

wobei $A_i$ die Matrix $A$ mit der $i$-ten Spalte durch $\mathbf{b}$ ersetzt ist.

Methode 3 — Inverse

$\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}$. Man kann $A^{-1}$ über $[A | I] \to [I | A^{-1}]$ durch Gauß-Elimination berechnen.

Wann welche

Klassifikation der Systeme

• Eindeutig bestimmt (SPD): eindeutige Lösung ($\det A \neq 0$, oder $\text{rank}(A) = \text{rank}([A|\mathbf b]) = n$).
• Unbestimmt (SPI): unendlich viele Lösungen ($\text{rank}(A) = \text{rank}([A|\mathbf b]) < n$).
• Unmöglich (SI): keine Lösung ($\text{rank}(A) < \text{rank}([A|\mathbf b])$).

Satz von Rouché-Capelli

$A\mathbf x = \mathbf b$ hat eine Lösung ⟺ $\text{rank}(A) = \text{rank}([A|\mathbf b])$. Lösung ist eindeutig, wenn beide = Anzahl der Unbekannten.