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Lektion 37 — Permutationen und Variationen

Permutação total Pn = n!. Arranjo A(n,p). Quando a ordem importa.

Used in: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math A japonês · Equiv. Klasse 10 alemã

P_n = n!, \qquad A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definitionen

Fakultät

$n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 1$ . Konvention: $0! = 1$ .

Wachstum:

$n$	$n!$
5	120
10	3 628 800
20	$\approx 2{,}4 \times 10^{18}$
70	$> 10^{100}$
170	Overflow in float64

Stirling-Näherung: $n! \approx \sqrt{2\pi n}(n/e)^n$ .

Einfache Permutation

$P_n = n!$ — Anordnungen von $n$ verschiedenen Objekten in einer Reihe.

Permutation mit Wiederholung

Für $n$ Objekte mit $n_1$ vom Typ 1, $n_2$ vom Typ 2, ..., $n_k$ vom Typ $k$ : $P_n^{n_1, n_2, \ldots, n_k} = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_k!}$

Anagramme von „ARARA" (3 A's, 2 R's): $5!/(3! \cdot 2!) = 10$ .

Einfache Variation

$A_n^p = n(n-1)(n-2) \cdots (n-p+1) = \frac{n!}{(n-p)!}$

Anordnungen von $p$ ausgewählten aus $n$ verfügbaren Objekten.

Zirkuläre Permutation

$n$ Objekte im Kreis: $(n-1)!$ . Grund: Die „erste Position" ist beliebig.

Unterschied zwischen Permutation und Variation

Permutation: verwendet alle $n$ Objekte.
Variation: wählt $p \leq n$ aus und ordnet sie an.

Wenn $p = n$ : Variation = Permutation.

Exercise list

46 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 34Understanding 2Modeling 8Challenge 1Proof 1

Ex. 37.1Application
$5!$ . (Antw.: $120$ .)
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Ex. 37.2Application
$8!/5!$ . (Antw.: $336$ .)
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Ex. 37.3ApplicationAnswer key
Wie viele Anagramme von „MAR"? (Antw.: $6$ .)
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Ex. 37.4Application
Wie viele Anagramme von „CASA"? (Antw.: $12$ .)
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Ex. 37.5ApplicationAnswer key
Wie viele Anagramme von „MISSISSIPPI"? (Antw.: $34\,650$ .)
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Ex. 37.6Application
$A_5^3$ . (Antw.: $60$ .)
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Ex. 37.7ApplicationAnswer key
$A_8^2$ . (Antw.: $56$ .)
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Ex. 37.8Application
Wie viele 4er-Reihen lassen sich aus 7 Kandidaten bilden? (Antw.: $840$ .)
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Ex. 37.9Application
Vergabe von 1., 2., 3. unter 12 Athleten. Total? (Antw.: $1\,320$ .)
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Ex. 37.10Application
Wie viele 3-stellige Zahlen mit verschiedenen Ziffern aus $\{1,2,3,4,5\}$ ? (Antw.: $60$ .)
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Ex. 37.11Application
Verifiziere $7!/(7-3)! = 7 \cdot 6 \cdot 5$ .
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Ex. 37.12Application
Löse $n! = 720$ . (Antw.: $n = 6$ .)
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Ex. 37.13Application
Löse $A_n^2 = 30$ . (Antw.: $n = 6$ .)
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Ex. 37.14Application
Wie viele Anagramme von „CIDADE"? (Antw.: $6!/2! = 360$ .)
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Ex. 37.15Application
Anagramme von „BANANA" (3 A's, 2 N's, 1 B). (Antw.: $60$ .)
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Ex. 37.16Application
Wie viele 5-stellige Passwörter mit verschiedenen Ziffern aus $\{0, 1, \ldots, 9\}$ ? (Antw.: $30\,240$ .)
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Ex. 37.17Application
Wie viele Möglichkeiten, 6 verschiedene Bücher auf 3 Regale (je 2) zu verteilen?
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Ex. 37.18Application
8 Personen am runden Tisch. Wie viele unterschiedliche Konfigurationen? (Antw.: $7! = 5\,040$ .)
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Ex. 37.19ApplicationAnswer key
Zirkuläre Permutation von $n$ Personen: begründe $(n-1)!$ .
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Ex. 37.20Application
Wie viele Anagramme von „AMOR" beginnen mit A? (Antw.: $6$ .)
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Ex. 37.21Application
Anagramme von „MATEMATICA" (10 Buchstaben: 3 A's, 2 M's, 2 T's, 1 E, 1 I, 1 C). (Antw.: $151\,200$ .)
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Ex. 37.22ApplicationAnswer key
Wie viele Anagramme von „PROVA" beginnen mit Konsonant?
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Ex. 37.23Application
Anagramme von „AMOR" mit A und O nebeneinander (in dieser Reihenfolge). (AO als Block behandeln.)
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Ex. 37.24Application
10 Schüler setzen sich auf 10 Stühle. 2 Freunde wollen nebeneinander sitzen. Wie viele Konfigurationen?
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Ex. 37.25ApplicationAnswer key
8 Personen am runden Tisch. 2 wollen nebeneinander sitzen. Wie viele? ((Antw.: $2 \cdot 6!$ – Paar als Block behandeln.))
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Ex. 37.26Application
Anagramme von „LIVRO", die mit Vokal beginnen. (Antw.: $2 \cdot 4! = 48$ .)
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Ex. 37.27Application
Wie viele 4-stellige Zahlen mit verschiedenen Ziffern aus $\{1,\ldots,9\}$ ? (Antw.: $9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3\,024$ .)
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Ex. 37.28Application
Wie viele 4-stellige gerade Zahlen mit verschiedenen Ziffern aus $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ ?
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Ex. 37.29Application
Löse $n!/(n-3)! = 60$ . (Antw.: $n = 5$ .)
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Ex. 37.30ApplicationAnswer key
Löse $\frac{(n+1)!}{n!} = 5$ . (Antw.: $n = 4$ .)
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Ex. 37.31Application
In einem Rennen mit 10 Athleten: Wie viele verschiedene Podien sind möglich?
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Ex. 37.32Application
Anagramme von „FATORIAL" — alle Buchstaben verschieden? (Antw.: $8! = 40\,320$ .)
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Ex. 37.33Application
5 Karten aus 7 verschiedenen ausgewählt und in Reihe angeordnet: $A_7^5 = 2\,520$ .
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Ex. 37.34Application
Verifiziere $A_n^p = n \cdot A_{n-1}^{p-1}$ für $n = 6, p = 3$ .
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Ex. 37.35Modeling
Fußballmannschaft: 11 Spieler auf dem Feld. Wie viele Aufstellungen mit Positionierung? (Permutation, falls Reihenfolge in jeder Position zählt.)
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Ex. 37.36ModelingAnswer key
Passwörter mit 8 kleinen Buchstaben ohne Wiederholung: $A_{26}^8$ .
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Ex. 37.37Modeling
In der Logistik: Lieferreihenfolge von 10 Paketen — $10!$ mögliche Routen (TSP).
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Ex. 37.38Modeling
Im Kartenspiel: Mischung von 52 Karten — $52! \approx 8 \times 10^{67}$ — mehr als Sterne im beobachtbaren Universum.
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Ex. 37.39ModelingAnswer key
In CG: Render-Reihenfolge von 100 Polygonen — $100!$ — nur eine ist die „richtige" für Back-to-Front.
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Ex. 37.40ModelingAnswer key
In der DNA: Sequenz von 8 Basen (A, T, C, G), wobei jede Base genau 2-mal auftritt: $8!/(2!)^4$ .
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Ex. 37.41Modeling
In der Populationsgenetik: mögliche Reihenfolgen von 4 Allelen = $4! = 24$ .
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Ex. 37.42Modeling
In ML: Permutation Feature Importance — eine Feature mischen und Vorhersagefall messen. Wie viele Permutationen pro Feature?
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Ex. 37.43Understanding
Zeige $A_n^p = n \cdot A_{n-1}^{p-1}$ .
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Ex. 37.44UnderstandingAnswer key
Zeige $P_n = A_n^n$ .
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Ex. 37.45Challenge
Wie viele Anagramme von „AMOR" beginnen mit Konsonant und enden mit Vokal?
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Ex. 37.46Proof
Beweise $A_n^p = n!/(n-p)!$ über das FZP.
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Quellen

Algebra and Trigonometry — Jay Abramson et al. (OpenStax) · 2022, 2. Aufl. · EN · CC-BY · §11.5: Zählung. Primärquelle.
Introduction to Probability — Joseph Blitzstein, Jessica Hwang · 2019, 2. Aufl. · EN · gratis · Kap. 1: Zählprinzipien.
Book of Proof — Richard Hammack · 2018, 3. Aufl. · EN · frei · Kap. 3.