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Lektion 39 — Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung — Grundlagen

Espaço amostral, eventos, axiomas de Kolmogorov. Probabilidade clássica: casos favoráveis sobre possíveis. Probabilidade condicional, Bayes.

Used in: 1.º ano do EM (15–16 anos) · Equiv. Math B japonês · Equiv. Stochastik Klasse 11 alemã · Equiv. H2 Math Statistics (Singapura)

P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}, \qquad P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Axiome und Formeln

Stichprobenraum

$\Omega$ : Menge aller möglichen Ergebnisse des Experiments. Ereignis: Teilmenge von $\Omega$ .

Kolmogorov-Axiome (1933)

$P(A) \geq 0$ für jedes Ereignis $A$ .
$P(\Omega) = 1$ .
$\sigma$ -Additivität: bei disjunkten $A_1, A_2, \ldots$ : $P(\bigcup A_i) = \sum P(A_i)$ .

Klassische Wahrscheinlichkeit (gleichwahrscheinlich)

$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$

Unmittelbare Eigenschaften

$P(\emptyset) = 0$ .
$P(A^c) = 1 - P(A)$ .
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ (Inklusion-Exklusion).
$A \subseteq B \Rightarrow P(A) \leq P(B)$ .
$P(A) \in [0, 1]$ .

Bedingte Wahrscheinlichkeit

$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0$

Unabhängigkeit

$A$ und $B$ sind unabhängig, wenn $P(A \cap B) = P(A) P(B)$ (äquivalent: $P(A|B) = P(A)$ ).

Bayes-Theorem

$P(A | B) = \frac{P(B | A) P(A)}{P(B)}$

Totale Wahrscheinlichkeit

Wenn $\{A_i\}$ eine Partition von $\Omega$ ist: $P(B) = \sum_i P(B | A_i) P(A_i)$

Diskrete Zufallsvariable

$X: \Omega \to \mathbb R$ . Verteilung: $P(X = x_i) = p_i$ mit $\sum p_i = 1$ .

Verteilung	Formel	Auftreten
Bernoulli	$P(X=1) = p$	1 Versuch
Binomial	$\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$	$n$ Versuche
Geometrisch	$(1-p)^{k-1}p$	Wartezeit
Poisson	$e^{-\lambda}\lambda^k/k!$	seltene Ereignisse

Erwartungswert und Varianz

$E[X] = \sum x_i p_i$
$\text{Var}(X) = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - E[X]^2$

Exercise list

46 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 34Understanding 2Modeling 8Challenge 1Proof 1

Ex. 39.1Application
Münze werfen. $P(\text{Kopf})$ . (Antw.: $1/2$ .)
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Ex. 39.2Application
Würfel werfen. $P(\text{gerade})$ . (Antw.: $1/2$ .)
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Ex. 39.3Application
Würfel werfen. $P(X > 4)$ . (Antw.: $1/3$ .)
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Ex. 39.4Application
2 Münzen werfen. $P(\text{beide Kopf})$ . (Antw.: $1/4$ .)
Solve online
Ex. 39.5Application
2 Würfel werfen. $P(\text{Summe 7})$ . (Antw.: $6/36 = 1/6$ .)
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Ex. 39.6Application
2 Würfel werfen. $P(\text{Summe } > 9)$ . (Antw.: $6/36 = 1/6$ .)
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Ex. 39.7Application
1 Karte aus dem Deck ziehen. $P(\text{König})$ . (Antw.: $4/52 = 1/13$ .)
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Ex. 39.8Application
1 Karte ziehen. $P(\text{Herz})$ . (Antw.: $1/4$ .)
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Ex. 39.9Application
2 Karten ohne Zurücklegen ziehen. $P(\text{beide Könige})$ . (Antw.: $\binom{4}{2}/\binom{52}{2} = 1/221$ .)
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Ex. 39.10Application
1 Karte ziehen. $P(\text{König ODER Herz})$ . (Antw.: $16/52 = 4/13$ .)
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Ex. 39.11Application
$P(A) = 0{,}3$ , $P(B) = 0{,}5$ , $P(A \cap B) = 0{,}1$ . $P(A \cup B)$ ? (Antw.: $0{,}7$ .)
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Ex. 39.12Application
$P(A^c)$ falls $P(A) = 0{,}7$ . (Antw.: $0{,}3$ .)
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Ex. 39.13Application
Zeige $P(A \cap B) \leq \min(P(A), P(B))$ .
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Ex. 39.14Application
$P(A) = 0{,}6$ , $P(B|A) = 0{,}4$ . $P(A \cap B)$ ? (Antw.: $0{,}24$ .)
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Ex. 39.15ApplicationAnswer key
$P(A) = 0{,}5$ , $P(B) = 0{,}3$ , $A, B$ unabhängig. $P(A \cap B)$ ? (Antw.: $0{,}15$ .)
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Ex. 39.16Application
Würfel 2-mal werfen. $P(\text{erster 6, zweiter beliebig})$ . (Antw.: $1/6$ .)
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Ex. 39.17ApplicationAnswer key
Mega-Sena: $P(\text{6 richtige})$ . (Antw.: $1/\binom{60}{6} \approx 2 \times 10^{-8}$ .)
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Ex. 39.18Application
Quina: $P(\text{5 in 6 markierten})$ .
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Ex. 39.19Application
Binomialverteilung: $X \sim \text{Bin}(10, 0{,}5)$ . $P(X = 5)$ ? (Antw.: $\binom{10}{5}/2^{10} \approx 0{,}246$ .)
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Ex. 39.20ApplicationAnswer key
$X \sim \text{Bin}(5, 0{,}3)$ . $P(X = 2)$ ? (Antw.: $\binom{5}{2} \cdot 0{,}3^2 \cdot 0{,}7^3 \approx 0{,}309$ .)
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Ex. 39.21ApplicationAnswer key
$P(A) = 0{,}4, P(B) = 0{,}5, P(A \cap B) = 0{,}2$ . $P(A|B)$ ? (Antw.: $0{,}4$ .)
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Ex. 39.22ApplicationAnswer key
In der obigen Aufgabe: Sind $A$ und $B$ unabhängig? (Antw.: ja, $P(A|B) = P(A)$ .)
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Ex. 39.23Application
2 Würfel. $P(\text{Summe 7} | \text{erster ist 4})$ . (Antw.: $1/6$ .)
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Ex. 39.24ApplicationAnswer key
Box mit 3 weißen und 7 schwarzen Kugeln. 2 ohne Zurücklegen ziehen. $P(\text{beide weiß})$ . (Antw.: $\binom{3}{2}/\binom{10}{2} = 1/15$ .)
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Ex. 39.25Application
$P(\text{beide schwarz})$ im selben Problem. (Antw.: $\binom{7}{2}/\binom{10}{2} = 21/45 = 7/15$ .)
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Ex. 39.26Application
$P(\text{1 weiß, 1 schwarz})$ . (Antw.: $\binom{3}{1}\binom{7}{1}/\binom{10}{2} = 7/15$ .)
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Ex. 39.27ApplicationAnswer key
3 Münzen. $P(\text{genau 2 Köpfe})$ . (Antw.: $3/8$ .)
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Ex. 39.28Application
$X \sim \text{Bin}(20, 0{,}1)$ . $P(X \geq 1)$ . (Antw.: $1 - 0{,}9^{20}$ .)
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Ex. 39.29Application
Bayes anwenden: $P(A) = 0{,}4, P(B|A) = 0{,}8, P(B|A^c) = 0{,}3$ . $P(A|B)$ ? (Antw.: $0{,}32/0{,}5 = 0{,}64$ .)
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Ex. 39.30ApplicationAnswer key
Totale Wahrscheinlichkeit: $P(A_1) = 0{,}3, P(A_2) = 0{,}5, P(A_3) = 0{,}2$ , $P(B|A_i) = 0{,}9, 0{,}5, 0{,}1$ . $P(B)$ ? (Antw.: $0{,}57$ .)
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Ex. 39.31Application
2 Würfel werfen. $P(\text{mindestens eine 6})$ . (Antw.: $11/36$ .)
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Ex. 39.32Application
In einer Klasse sind $60\%$ Mädchen, $40\%$ Jungen. $80\%$ der Mädchen und $50\%$ der Jungen haben bestanden. Schüler bestand: $P(\text{Mädchen})$ ?
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Ex. 39.33Application
$X \sim \text{Bin}(8, 0{,}25)$ . $E[X]$ und $\text{Var}(X)$ . (Antw.: $E = 2, V = 1{,}5$ .)
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Ex. 39.34Application
Erwartungswert eines Würfelwurfs. (Antw.: $3{,}5$ .)
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Ex. 39.35ModelingAnswer key
A/B-Testing: $10\%$ sehen Version B. Wahrscheinlichkeit, dass 3 Freunde B sehen (unabhängig)? (Antw.: $0{,}1^3 = 0{,}001$ .)
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Ex. 39.36Modeling
Seltene Krankheit: $P(D) = 0{,}01$ . Test: Sensitivität $95\%$ , Spezifität $90\%$ . $P(D|+)$ ?
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Ex. 39.37ModelingAnswer key
Qualitätskontrolle, Fehlerrate $2\%$ . $P(\text{0 Fehler in 50 Stichproben})$ . (Antw.: $0{,}98^{50} \approx 0{,}364$ .)
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Ex. 39.38Modeling
Im Spamfilter: $P(\text{Spam}|\text{enthält Viagra}) > 0{,}9$ via Bayes — modelliere.
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Ex. 39.39Modeling
Im Kartenspiel: Wahrscheinlichkeit für Two Pair (5 Karten). Berechne kombinatorisch.
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Ex. 39.40Modeling
Geburtstag: 23 Personen, $P(\text{2 haben gleichen Geburtstag}) > 0{,}5$ . Explizit berechnen.
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Ex. 39.41Modeling
In einem Computernetzwerk: Wahrscheinlichkeit der End-to-End-Verbindung über 5 Reihenglieder, jedes mit $99\%$ Zuverlässigkeit.
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Ex. 39.42ModelingAnswer key
In einem ML-Klassifikator: Falsch-Positiv $5\%$ , Falsch-Negativ $2\%$ , Prävalenz $1\%$ . $P(\text{wirklich positiv}|\text{Test positiv})$ .
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Ex. 39.43Understanding
Zeige $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ über Kolmogorov.
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Ex. 39.44Understanding
Zeige: Wenn $A$ und $B$ unabhängig sind, sind auch $A^c$ und $B^c$ unabhängig.
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Ex. 39.45Challenge
Monty Hall: 3 Türen, hinter 1 ist der Preis. Du wählst eine; der Moderator öffnet eine ohne Preis von den anderen. Wechselst du? Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnst du beim Wechseln? (Antw.: $2/3$ .)
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Ex. 39.46Proof
Beweise das Bayes-Theorem aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit.
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Quellen

OpenIntro Statistics — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · 2019, 4. Aufl. · EN · CC-BY-SA · Kap. 3: Wahrscheinlichkeit. Primärquelle.
Introduction to Probability — Blitzstein, Hwang · 2019, 2. Aufl. · EN · gratis (Autoren) · Kap. 1-2: Zählung und Bayes.
Introductory Statistics — Illowsky, Dean (OpenStax) · 2022, 2. Aufl. · EN · CC-BY-NC-SA · Kap. 3.