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Lektion 40 — Jahreskonsolidierung: Integrationsworkshop Jahr 1

Workshop final do Ano 1. Problemas que combinam funções, trigonometria, geometria analítica, vetores, matrizes, combinatória e probabilidade.

Used in: Capstone 1.º ano EM · Equiv. Math I+II japonês revisão · Equiv. Abitur-Vorbereitung alemão

\text{Funktionen} + \text{Trig} + \text{Analyt. Geo} + \text{Matrizen} + \text{Kombinatorik} + \text{Wahrscheinlichkeit}

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Synthese des Jahres 1

Sie haben 40 Lektionen zu den Grundlagen abgeschlossen: Funktionen, Änderungsraten, Trigonometrie, Folgen, intuitiver Grenzwert, analytische Geometrie, Vektoren, lineare Systeme, Matrizen, Determinanten, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit.

Was Sie jetzt wissen

Strenge mathematische Sprache: Mengen, Intervalle, Notation.
Modellierung mit Funktionen: linear, quadratisch, exponentiell, logarithmisch, trigonometrisch.
Vorkalkül: durchschnittliche Änderungsrate, intuitiver Grenzwert von Folgen — bereit für die formale Analysis in Quartal 5-6.
Analytische Geometrie: Verbindung Algebra-Geometrie via Descartes.
Einführende lineare Algebra: Vektoren, Matrizen, Systeme, Determinanten.
Kombinatorik + Wahrscheinlichkeit: rigoroses Zählen, Bayes.

Was im Jahr 2 kommt

Quartal 5: Formale Grenzwerte ( $\eps$ - $\delta$ ).
Quartal 6: Ableitungen und Regeln (Ketten-, Produkt-, Quotientenregel).
Quartal 7: Anwendungen der Ableitung (Optimierung, verbundene Raten).
Quartal 8: deskriptive Statistik und vertiefte Wahrscheinlichkeit.

Wie Sie diesen Workshop angehen

Reservieren Sie 8 Stunden ohne Hilfsmittel zum Lösen der 40 Aufgaben. Prüfen Sie die Lösungen (~25 % haben ausführliche Lösung). Bei < 50 % Treffer: jeweilige Lektionen erneut lesen; zwischen 70-90 %: bereit für Jahr 2; über 90 %: Zusatzliteratur der Referenzbücher lesen.

Karte nach Quartal

Quartal	Hauptthemen	Lektionen
1	Mengen, Intervalle, Grundfunktionen	1-10
2	Trigonometrie, Folgen, intuitiver Grenzwert	11-20
3	Analytische Geometrie, Kegelschnitte, Vektoren	21-30
4	Matrizen, Kombinatorik, Wahrscheinlichkeit	31-40

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 25Modeling 12Challenge 2Proof 1

Ex. 40.1Application
Maximaler Definitionsbereich von $f(x) = \log_2(x^2 - 9)$ . (Antw.: $x < -3$ oder $x > 3$ .)
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Ex. 40.2Application
Berechne die mittlere Änderungsrate von $f(x) = x^2 - 3x$ auf $[1, 4]$ . (Antw.: $2$ .)
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Ex. 40.3ApplicationAnswer key
Komposition: $f(x) = x^2$ , $g(x) = 2x + 1$ . $(f \circ g)(2)$ und $(g \circ f)(2)$ . (Antw.: $25$ und $9$ .)
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Ex. 40.4Application
Inverse von $f(x) = (x - 3)/2$ . (Antw.: $f^{-1}(x) = 2x + 3$ .)
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Ex. 40.5Application
Löse $4^x = 32$ . (Antw.: $x = 5/2$ .)
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Ex. 40.6ModelingAnswer key
Bakterien verdoppeln sich alle 30 Min. Anfangs 100. Nach 3 h?
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Ex. 40.7Modeling
Investition 1.000 € zu 10 % p. a. mit Zinseszins. Nach 7 Jahren?
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Ex. 40.8Application
$\lim_{n \to \infty} (3n + 5)/(n + 1) = ?$ (Antw.: $3$ .)
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Ex. 40.9Application
Quadratische $f(x) = x^2 - 6x + 5$ — Scheitelpunkt und Nullstellen.
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Ex. 40.10Modeling
Kostenfunktion $C(q) = 200 + 8q + 0{,}1 q^2$ . Durchschnittliche Kosten bei $q = 50$ ?
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Ex. 40.11ApplicationAnswer key
Berechne $\sin(\pi/4) + \cos(\pi/3)$ . (Antw.: $\frac{\sqrt 2}{2} + \frac{1}{2}$ .)
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Ex. 40.12Application
Löse $\sin x = \sqrt 3/2$ in $[0, 2\pi)$ . (Antw.: $\pi/3$ und $2\pi/3$ .)
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Ex. 40.13Application
Dreieck $a = 5, b = 7, C = 60°$ — berechne $c$ (Kosinussatz). (Antw.: $c = \sqrt{39}$ .)
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Ex. 40.14Modeling
Gezeiten: $h(t) = 2 + 1{,}5 \sin(\pi t/6)$ . Maximum und Minimum.
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Ex. 40.15Application
AP mit $a_1 = 3, r = 5$ . $a_{20}$ und $S_{20}$ .
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Ex. 40.16Application
GP mit $a_1 = 2, q = 3$ . $S_8$ .
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Ex. 40.17ApplicationAnswer key
Unendliche Summe $1 + 1/2 + 1/4 + \ldots$ . (Antw.: $2$ .)
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Ex. 40.18Application
Summe $1 + 2 + 3 + \ldots + 200$ (Gauß). (Antw.: $20\,100$ .)
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Ex. 40.19Modeling
Pendel von 1 m. Periode etwa $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ , $g = 9{,}8$ . (Antw.: $\approx 2{,}01$ s.)
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Ex. 40.20Modeling
Exponentieller Zerfall: Halbwertszeit 5 Tage. Wie viel bleibt von 100 g nach 25 Tagen? (Antw.: $100/2^5 = 3{,}125$ g.)
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Ex. 40.21Application
Abstand zwischen $(2, 3)$ und $(8, 11)$ . (Antw.: $10$ .)
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Ex. 40.22Application
Gleichung der Geraden durch $(0, 4)$ und $(2, 0)$ . (Antw.: $y = -2x + 4$ .)
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Ex. 40.23Application
Gleichung des Kreises mit Mittelpunkt $(2, -1)$ und Radius $5$ . (Antw.: $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 25$ .)
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Ex. 40.24Application
$(3, 4) \cdot (1, 2)$ und Winkel zwischen ihnen. (Antw.: Produkt $= 11$ .)
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Ex. 40.25Modeling
Block auf Rampe $30°$ , Masse 10 kg, ohne Reibung. Beschleunigung? (Antw.: $g \sin 30° = 4{,}9$ m/s².)
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Ex. 40.26Application
Determinante von $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ . (Antw.: $5$ .)
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Ex. 40.27ApplicationAnswer key
Löse $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -2 \end{cases}$ via Cramer. (Antw.: $x = 19/7, y = 11/7$ .)
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Ex. 40.28Application
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ . $A^{-1}$ ? (Antw.: $\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}$ .)
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Ex. 40.29ModelingAnswer key
Flugzeug 600 km/h Richtung Norden mit 80 km/h Wind aus Osten. Resultierende Geschwindigkeit.
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Ex. 40.30ApplicationAnswer key
Kegelschnitt $x^2/16 + y^2/9 = 1$ — Scheitel, Brennpunkte.
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Ex. 40.31ApplicationAnswer key
$5!$ . (Antw.: $120$ .)
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Ex. 40.32ApplicationAnswer key
$\binom{8}{3}$ . (Antw.: $56$ .)
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Ex. 40.33Application
Anagramme von „PROBLEMA" — 8 verschiedene Buchstaben. (Antw.: $40\,320$ .)
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Ex. 40.34Modeling
Mega-Sena: $P(\text{6 richtige})$ . (Antw.: $1/\binom{60}{6}$ .)
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Ex. 40.35Modeling
3 Münzen werfen. $P(\text{3 Köpfe})$ . (Antw.: $1/8$ .)
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Ex. 40.36Modeling
$X \sim \text{Bin}(6, 0{,}5)$ . $P(X = 3)$ . (Antw.: $20/64 = 5/16$ .)
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Ex. 40.37Modeling
Seltene Krankheit $P(D) = 0{,}001$ , Sensitivität 99 %, Spezifität 95 %. $P(D|+)$ via Bayes.
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Ex. 40.38Challenge
Löse: $\sin x + \cos x = 1$ in $[0, 2\pi)$ .
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Ex. 40.39ChallengeAnswer key
Größtes gleichseitiges Dreieck, das in einen Kreis vom Radius 1 einbeschrieben ist. (Seite: $\sqrt 3$ .)
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Ex. 40.40Proof
Beweise $\binom{n}{p} = \binom{n-1}{p-1} + \binom{n-1}{p}$ (Pascal) kombinatorisch.
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Quellen

Workshop vereint die Quellen des gesamten Jahres 1. Hauptquellen:

Active Calculus — Matt Boelkins · 2024, Aufl. 2.0 · EN · CC-BY-NC-SA · §1, §8.
Algebra and Trigonometry — OpenStax · 2022, 2. Aufl. · EN · CC-BY · §1-§11.
College Algebra — OpenStax · 2022, 2. Aufl. · EN · CC-BY · §1-§11.
Linear Algebra Done Right — Axler · 2024, 4. Aufl. · EN · CC-BY-NC · Kap. 1, 3, 6, 10.
OpenIntro Statistics — Diez et al. · 2019, 4. Aufl. · EN · CC-BY-SA · Kap. 3.
Precalculus / College Algebra / Trigonometry — Stitz, Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §1-§11.

Vollständiger Katalog unter /livros.

Nächstes: Jahr 2 — Differentialrechnung

Quartal 5 beginnt in /aulas/ano-2/trim-5/licao-41-limite-formal — formaler Grenzwert $\eps$ - $\delta$ , Ableitung, Anwendungen.