Lektion 41 — Formaler Grenzwert: ε-δ-Definition

Strenge Definition

Wie man einen Grenzwert via ε-δ beweist

1. Schreibe $|f(x) - L|$ in Termen von $|x - a|$.
2. Für beliebiges $\eps > 0$ finde $\delta = \delta(\eps)$ derart, dass $|f(x) - L| < \eps$ gilt, sobald $0 < |x - a| < \delta$.

Modellbeispiel: $\lim_{x \to 2} (3x + 1) = 7$

$|3x + 1 - 7| = |3x - 6| = 3|x - 2|$. Bei $\eps > 0$ wählen wir $\delta = \eps/3$. Dann $|x - 2| < \delta \Rightarrow 3|x - 2| < \eps$. ∎

Einseitige Grenzwerte

• $\lim_{x \to a^+} f(x) = L$: $0 < x - a < \delta$ (nur von rechts).
• $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$: $0 < a - x < \delta$ (nur von links).
• $\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^+} = \lim_{x \to a^-} = L$.

Unendliche Grenzwerte

$\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$: $\forall M > 0, \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow f(x) > M$.

$\lim_{x \to \infty} f(x) = L$: $\forall \eps > 0, \exists N : x > N \Rightarrow |f(x) - L| < \eps$.

Tabelle der 4 Quantifizierungen

Grundlegende Eigenschaften

• Grenzwert der Summe = Summe der Grenzwerte.
• Grenzwert des Produkts = Produkt der Grenzwerte.
• Grenzwert des Quotienten = Quotient, sofern Nenner $\neq 0$.