Lektion 43 — Stetigkeit von Funktionen

Definitionen und Sätze

Direkte ε-δ-Form

$f$ stetig in $a$ $\iff$ $\forall \eps > 0, \exists \delta > 0 : |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(a)| < \eps$.

(Beachte: hier kann $|x - a| = 0$ sein, also $x = a$, denn $|f(a) - f(a)| = 0 < \eps$ trivial.)

Arten von Unstetigkeiten

Zwischenwertsatz (ZWS)

Wenn $f \in C([a, b])$ und $k$ zwischen $f(a)$ und $f(b)$, dann $\exists c \in (a, b) : f(c) = k$.

Satz von Weierstrass (Extrema)

Wenn $f \in C([a, b])$ (abgeschlossenes, beschränktes Intervall), dann erreicht $f$ Maximum und Minimum auf $[a, b]$.

Gleichmäßige Stetigkeit

$f$ ist gleichmäßig stetig auf $I$, wenn $\forall \eps, \exists \delta$ (gleiches $\delta$ für jedes $x$) mit $|x - y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \eps$.

Heine-Cantor: $f \in C([a, b])$ ⇒ $f$ gleichmäßig stetig.

Stetigkeitserhaltende Operationen

• Summe, Produkt, Quotient (Nenner $\neq 0$).
• Komposition: $f \circ g$ stetig, wenn $g$ in $a$ und $f$ in $g(a)$ stetig.
• $\max(f, g)$, $\min(f, g)$, $|f|$.