Lektion 46 — Zwischenwertsatz (ZWS) und Anwendungen

ZWS und Varianten

Spezialfall ($k = 0$): $f(a) \cdot f(b) < 0 \Rightarrow \exists c \in (a, b) : f(c) = 0$.

Anwendung 1: Bisektion (Algorithmus)

Bei $f(a) f(b) < 0$:

1. $m = (a+b)/2$.
2. Falls $f(m) = 0$, abbrechen.
3. Falls $f(a) f(m) < 0$, in $[a, m]$ wiederholen.
4. Sonst in $[m, b]$ wiederholen.

Konvergenz: Fehler halbiert sich pro Iteration, $|c - m_n| \leq (b-a)/2^n$.

Anwendung 2: Fixpunkt

Wenn $g \in C([a, b])$ mit $g([a, b]) \subseteq [a, b]$, dann $\exists c$ mit $g(c) = c$. Wende ZWS auf $f(x) = g(x) - x$ an.

Anwendung 3: Existenz von Gleichungslösungen

$\cos x = x$, $e^x = 2x$, $\tan x = x$ haben Lösungen über ZWS.

Beweis über Vollständigkeit

Sei $S = \{x \in [a, b] : f(x) < k\}$ (annehmend $f(a) < k < f(b)$). $S \neq \emptyset$ ($a \in S$) und nach oben beschränkt. Setze $c = \sup S$. Aus Stetigkeit und Supremumseigenschaft folgt $f(c) = k$.

Warum Stetigkeit erforderlich ist

Gegenbeispiel: $f(x) = \mathrm{sgn}(x)$ auf $[-1, 1]$. $f(-1) = -1$, $f(1) = 1$, aber $f$ nimmt nie den Wert $0{,}5$ an. Scheitert, weil $f$ in 0 unstetig ist.

ZWS vs. MWS

ZWS: Existenz eines Zwischenwerts ($f$ stetig). MWS (Mittelwertsatz, Lektion 56): Existenz einer Zwischen-Ableitung ($f$ differenzierbar).

Nicht verwechseln. MWS braucht Differenzierbarkeit, ZWS nur Stetigkeit.