v1 · padrão canônico

Lektion 47 — Asymptoten und asymptotisches Verhalten

Assíntotas verticais, horizontais, oblíquas. Esboço de gráficos via análise assintótica.

Used in: 2.º ano EM · Equiv. Math II japonês cap. 5 · Equiv. Klasse 11 alemã análise de funções

\text{VA: } x = a, \quad \text{HA: } y = L, \quad \text{SA: } y = mx + b

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Asymptoten — Definitionen und Berechnung

Vertikale Asymptote (VA)

Wo sie auftauchen: Punkte, wo $f$ einen Pol hat (Nenner null, log von 0 usw.).

Horizontale Asymptote (HA)

Es kann zwei HAs geben (eine in $+\infty$ , eine in $-\infty$ ): Beispiel $\arctan x$ hat $y = \pi/2$ und $y = -\pi/2$ .

Schräge Asymptote (SA)

Berechnung: $m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}, \quad b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx).$

Wenn beide Grenzwerte existieren mit endlichem $m \neq 0$ , gibt es eine SA.

Tabelle der Asymptoten für $P(x)/Q(x)$

Fall	Asymptoten
$\deg P < \deg Q$	HA bei $y = 0$
$\deg P = \deg Q$	HA bei $y =$ Verhältnis der Leitkoeffizienten
$\deg P = \deg Q + 1$	SA ( $y =$ Quotient der Division)
$\deg P > \deg Q + 1$	Keine SA (wächst schneller)

Andere Funktionen

Funktion	Asymptote
$1/x$	VA $x = 0$ , HA $y = 0$
$e^x$	HA $y = 0$ ( $x \to -\infty$ )
$\ln x$	VA $x = 0$
$\arctan x$	HA $y = \pm\pi/2$
$\tan x$	VA in $\pi/2 + k\pi$
$1/\sin x$	VA in $k\pi$

Allgemeine Vorgehensweise

VA: Punkte finden, wo $f$ nicht definiert ist (Nenner = 0). Einseitige Grenzwerte berechnen.
HA: $\lim_{x \to \pm\infty} f$ berechnen.
SA: Falls keine HA, $m, b$ über die Formeln berechnen.

Exercise list

36 exercises · 9 with worked solution (25%)

Application 24Understanding 2Modeling 8Challenge 1Proof 1

Ex. 47.1Application
Asymptoten von $f(x) = 1/(x - 2)$ .
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Ex. 47.2Application
Asymptoten von $f(x) = (3x + 1)/(x - 2)$ . (Antw.: VA $x=2$ , HA $y=3$ .)
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Ex. 47.3ApplicationAnswer key
$f(x) = x^2/(x^2 - 1)$ — Asymptoten?
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Ex. 47.4Application
$f(x) = (x^2 + 1)/x$ — Asymptoten. (Antw.: VA $x=0$ , SA $y=x$ .)
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Ex. 47.5ApplicationAnswer key
$f(x) = x + 1/x$ — Asymptoten.
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Ex. 47.6Application
$f(x) = e^{-x}$ — HA für $x \to \infty$ ? (Antw.: $y = 0$ .)
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Ex. 47.7Application
$f(x) = \tan x$ — vertikale Asymptoten. (Antw.: $x = \pi/2 + k\pi$ .)
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Ex. 47.8Application
$f(x) = \arctan x$ — HA in $\pm\infty$ ? (Antw.: $y = \pm\pi/2$ .)
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Ex. 47.9Application
$f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ — schräge Asymptote? (Antw.: $y = \pm x$ .)
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Ex. 47.10Application
$f(x) = (x^3 - 1)/(x^2 - 1)$ — Asymptoten. (Antw.: VA $x=-1$ , SA $y=x$ .)
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Ex. 47.11ApplicationAnswer key
$f(x) = (2x^2 - 3)/(x^2 + 1)$ — Asymptoten.
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Ex. 47.12Application
$f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2)$ — Asymptoten? (Vorsicht: hebbar in $x=2$ .)
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Ex. 47.13Application
Skizziere $f(x) = (x+1)/(x-1)$ mit VA und HA.
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Ex. 47.14Application
$f(x) = \ln x$ — VA in $x = 0$ ? Welcher Typ? (Antw.: $\lim \ln x = -\infty$ .)
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Ex. 47.15Application
$f(x) = e^x/x$ — Asymptoten.
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Ex. 47.16ApplicationAnswer key
$f(x) = (x^2 + x)/(x + 1)$ — vereinfache und finde Asymptoten.
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Ex. 47.17Application
$f(x) = 1/\sin x$ — vertikale Asymptoten. (Antw.: $x = k\pi$ .)
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Ex. 47.18Application
$f(x) = \tanh x$ — HA in $\pm\infty$ ? (Antw.: $y = \pm 1$ .)
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Ex. 47.19Application
$f(x) = x \cdot e^{-x}$ — HA für $x \to +\infty$ .
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Ex. 47.20Application
$f(x) = (x^3 + 1)/(x^2 + 1)$ — schräge Asymptote? (Antw.: $y = x$ .)
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Ex. 47.21Application
Skizziere $f(x) = 1/(x^2 - 4)$ mit Asymptoten.
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Ex. 47.22ApplicationAnswer key
Skizziere $f(x) = x/(x^2 + 1)$ .
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Ex. 47.23Application
Skizziere $f(x) = (x^2 + 2x)/(x - 1)$ mit VA und SA.
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Ex. 47.24Application
Skizziere $f(x) = 1/(x \ln x)$ — Definitionsbereich, Asymptoten.
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Ex. 47.25ModelingAnswer key
In der Pharmakokinetik $C(t) \to 0$ — HA $y = 0$ . Verifiziere für $C(t) = C_0 e^{-kt}$ .
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Ex. 47.26Modeling
In der Ökonomie: Durchschnittskosten $\bar C(q) = C(q)/q$ haben SA $y = c$ , falls $C(q) = c q + F$ (Grenzwert der Grenzkosten).
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Ex. 47.27Modeling
Normalverteilung $f(x) = e^{-x^2/2}/\sqrt{2\pi}$ — HA in $\pm\infty$ ?
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Ex. 47.28Modeling
Bei RC: $V(t) \to V_\infty$ — HA in $V = V_\infty$ .
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Ex. 47.29Modeling
Bode-Plot von $H(s) = K/(s+1)$ . Identifiziere SAs in log-log für $\omega \to 0$ und $\omega \to \infty$ .
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Ex. 47.30ModelingAnswer key
Black-Scholes Preis $C(S, T) \to S - K e^{-rT}$ , wenn $S \to \infty$ . SA in $S$ .
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Ex. 47.31Modeling
Logistisches Populationswachstum $P(t) \to K$ — HA bei Tragfähigkeit.
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Ex. 47.32ModelingAnswer key
Hyperbel $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ — Asymptoten $y = \pm (b/a)x$ . Verifiziere.
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Ex. 47.33UnderstandingAnswer key
Zeige, dass $f$ mindestens 2 VAs haben kann (Beispiel: $\tan x$ hat unendlich viele).
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Ex. 47.34Understanding
Kann eine Funktion HA und SA gleichzeitig (auf derselben Seite) haben? (Antw.: Nein.)
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Ex. 47.35Challenge
$f(x) = (x^4 + 1)/(x^3 - 1)$ — Asymptoten?
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Ex. 47.36Proof
Beweise: Wenn $f$ SA $y = mx + b$ hat, dann $\lim f/x = m$ und $\lim (f - mx) = b$ .
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Quellen

Calculus (Volume 1) — OpenStax · 2016 · §4.6.
Active Calculus — Boelkins · 2024 · §1.7.
APEX Calculus — Hartman · 2024 · §1.6.