Lektion 49 — Grenzwert von Folgen (formalisiert)

Folgen, Konvergenz und Sätze

Schlüsselsätze

Cauchy

In $\mathbb{R}$: Cauchy $\iff$ konvergent (Vollständigkeit). In $\mathbb{Q}$: nicht jede Cauchy-Folge konvergiert (z. B. $a_n$, das $\sqrt 2$ approximiert).

Monotonie + Beschränktheit

• $(a_n)$ wachsend und nach oben beschränkt $\Rightarrow$ konvergiert gegen $\sup a_n$.
• $(a_n)$ fallend und nach unten beschränkt $\Rightarrow$ konvergiert gegen $\inf a_n$.

Teilfolgen

$(a_{n_k})$ ist Teilfolge von $(a_n)$, wenn $n_1 < n_2 < \ldots$. $\lim a_n = L \Rightarrow \lim a_{n_k} = L$ für jede Teilfolge.

Divergente Folgen

• $a_n = (-1)^n$: oszilliert zwischen $-1$ und $1$. Teilfolgen konvergieren (zu $\pm 1$), aber $a_n$ nicht.
• $a_n = n$: wächst unbegrenzt ($\to +\infty$).
• $a_n = n \sin(n)$: irreguläres Verhalten, kein Grenzwert.

Rekursive Folgen

$a_{n+1} = f(a_n)$, $a_0$ gegeben. Der Grenzwert (falls existent) ist Fixpunkt von $f$: $L = f(L)$.