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Lektion 50 — Konsolidierung Quartal 5: Grenzwerte und Stetigkeit

Workshop integrador. Limites ε-δ, propriedades, fundamentais, continuidade, TVI, assíntotas, sequências.

Used in: 2.º ano EM (16-17 anos) · Equiv. Analysis I (Gymnasium alemão) · Equiv. Math II japonês — seção limites

lim⁡x→af(x)=L  ⟺  ∀ε>0,∃δ>0:0<∣x−a∣<δ⇒∣f(x)−L∣<ε\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 : 0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon
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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Synthese und Karte des Quartals 5

Sie haben die strengen Grundlagen der Analysis abgeschlossen. Karte des Behandelten:

LektionThemaSchlüsselkonzept
41Formaler Grenzwert\eps\eps-δ\delta
42EigenschaftenSumme, Produkt, Quotient, Einschnürung
43Stetigkeitlim⁡f=f(a)\lim f = f(a), Unstetigkeitsarten
44Einseitig und unendlichExistenz über einseitige
45Bemerkenswertesin⁡x/x\sin x/x, (1+1/n)n(1+1/n)^n, (ex−1)/x(e^x-1)/x
46ZWSExistenz von Nullstellen, Bisektion
47AsymptotenVA, HA, SA
48TrigManipulation sin⁡,cos⁡,tan⁡\sin, \cos, \tan
49FolgenCauchy, Bolzano-Weierstrass

Zusammenfassende Tabelle der Sätze

SatzVoraussetzungSchlussfolgerung
Einschnürungg≤f≤hg \leq f \leq h, lim⁡g=lim⁡h=L\lim g = \lim h = Llim⁡f=L\lim f = L
ZWSf∈C([a,b])f \in C([a,b]), kk zwischen f(a),f(b)f(a), f(b)∃c:f(c)=k\exists c : f(c) = k
Weierstrassf∈C([a,b])f \in C([a,b])ff erreicht Max und Min
Bolzano-Weierstrass(an)(a_n) beschränkthat konvergente Teilfolge
Heine-Cantorf∈C([a,b])f \in C([a,b])ff gleichmäßig stetig
Cauchy(an)(a_n) Cauchy in R\mathbb{R}konvergiert
Monoton beschränktwachsend, nach oben beschränktkonvergiert

Nächster Schritt

Ableitungen (Quartal 6) — definiert als Grenzwert: f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h.f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.

Die gesamte Sicherheit aus Quartal 5 wird direkt dort verwendet.

Cheat Sheet der Manipulationen

FormTechnik
0/00/0 polynomialFaktorisieren und kürzen
0/00/0 mit WurzelnKonjugiertes
0/00/0 trigBemerkenswerte Grenzwerte
∞/∞\infty/\infty rationalDurch höchsten Grad teilen
1∞1^\inftyAB=eBln⁡AA^B = e^{B \ln A}
0⋅∞0 \cdot \inftyAls Quotient umschreiben
∞−∞\infty - \inftyGemeinsamer Faktor, Konjugiertes

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 22Understanding 3Modeling 8Challenge 4Proof 3
  1. Ex. 50.1Application
    lim⁡x→2(3x2−x+1)\lim_{x \to 2} (3x^2 - x + 1). (Antw.: 11.)
    Solve online
  2. Ex. 50.2Application
    lim⁡x→1(x2−1)/(x−1)\lim_{x \to 1} (x^2 - 1)/(x - 1). (Antw.: 2.)
    Solve online
  3. Ex. 50.3Application
    lim⁡x→0sin⁡(5x)/x\lim_{x \to 0} \sin(5x)/x. (Antw.: 5.)
    Solve online
  4. Ex. 50.4Application
    lim⁡x→0(1−cos⁡x)/x2\lim_{x \to 0} (1 - \cos x)/x^2. (Antw.: 1/21/2.)
    Solve online
  5. Ex. 50.5Application
    lim⁡x→∞(1+3/x)x\lim_{x \to \infty} (1 + 3/x)^x. (Antw.: e3e^3.)
    Solve online
  6. Ex. 50.6Application
    lim⁡x→∞(2x2+x)/(x2−5)\lim_{x \to \infty} (2x^2 + x)/(x^2 - 5). (Antw.: 2.)
    Solve online
  7. Ex. 50.7Application
    lim⁡x→0+xln⁡x\lim_{x \to 0^+} x \ln x. (Antw.: 0.)
    Solve online
  8. Ex. 50.8Application
    Asymptoten von f(x)=(x2+1)/(x−2)f(x) = (x^2 + 1)/(x - 2). (Antw.: VA x=2x = 2, SA y=x+2y = x + 2.)
    Solve online
  9. Ex. 50.9Application
    f(x)=(x2−9)/(x−3)f(x) = (x^2 - 9)/(x - 3) stetig in x=3x = 3? Korrigiere. (Antw.: f(3)=6f(3) = 6.)
    Solve online
  10. Ex. 50.10Application
    lim⁡x→0(e2x−1)/(sin⁡(3x))\lim_{x \to 0} (e^{2x} - 1)/(\sin(3x)). (Antw.: 2/32/3.)
    Solve online
  11. Ex. 50.11Application
    lim⁡n!/nn\lim n!/n^n. (Antw.: 0.)
    Solve online
  12. Ex. 50.12ApplicationAnswer key
    Bestimme aa, sodass f(x)={x+ax<0x2+1x≥0f(x) = \begin{cases} x + a & x < 0 \\ x^2 + 1 & x \geq 0 \end{cases} stetig ist. (Antw.: a=1a = 1.)
    Solve online
  13. Ex. 50.13Application
    lim⁡x→0(tan⁡x−x)/x3\lim_{x \to 0} (\tan x - x)/x^3. (Antw.: 1/31/3.)
    Solve online
  14. Ex. 50.14ApplicationAnswer key
    lim⁡x→0(1−cos⁡(2x))/(x2)\lim_{x \to 0} (1 - \cos(2x))/(x^2).
    Solve online
  15. Ex. 50.15Application
    lim⁡x→∞x2+x−x\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2 + x} - x. (Antw.: 1/21/2.)
    Solve online
  16. Ex. 50.16Application
    lim⁡n→∞(1−2/n)n\lim_{n \to \infty} (1 - 2/n)^n. (Antw.: e−2e^{-2}.)
    Solve online
  17. Ex. 50.17Application
    lim⁡x→0ln⁡(1+5x)/x\lim_{x \to 0} \ln(1+5x)/x. (Antw.: 5.)
    Solve online
  18. Ex. 50.18Application
    Asymptoten von f(x)=arctan⁡x+1/xf(x) = \arctan x + 1/x. (Antw.: VA x=0x=0, HAs y=±π/2y = \pm \pi/2.)
    Solve online
  19. Ex. 50.19Application
    lim⁡x→π/2−tan⁡x⋅(π/2−x)\lim_{x \to \pi/2^-} \tan x \cdot (\pi/2 - x). (Antw.: 1.)
    Solve online
  20. Ex. 50.20ApplicationAnswer key
    lim⁡n→∞∑k=1n1/n⋅1/(1+(k/n)2)\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n 1/n \cdot 1/(1 + (k/n)^2). (Antw.: π/4\pi/4 via Integral.)
    Solve online
  21. Ex. 50.21Application
    f(x)={sin⁡x/xx≠01x=0f(x) = \begin{cases} \sin x / x & x \neq 0 \\ 1 & x = 0 \end{cases}. Stetig in 0? (Antw.: Ja.)
    Solve online
  22. Ex. 50.22ModelingAnswer key
    x3−2x−1=0x^3 - 2x - 1 = 0 hat Nullstelle in (1,2)(1, 2)? ZWS. (Antw.: Ja.)
    Solve online
  23. Ex. 50.23Modeling
    Zeige, dass cos⁡x=x2\cos x = x^2 Lösung in (0,1)(0, 1) hat.
    Solve online
  24. Ex. 50.24Modeling
    f(x)=ex−x−2f(x) = e^x - x - 2 hat Nullstelle in R+\mathbb{R}^+? Wo?
    Solve online
  25. Ex. 50.25Application
    Wo ist f(x)=(x2−4)/(x2−5x+6)f(x) = (x^2 - 4)/(x^2 - 5x + 6) unstetig? Arten?
    Solve online
  26. Ex. 50.26ModelingAnswer key
    Bei RC: V(t)=V∞(1−e−t/RC)V(t) = V_\infty (1 - e^{-t/RC}). lim⁡t→∞V(t)=V∞\lim_{t \to \infty} V(t) = V_\infty. Verifiziere. Zeit für 99%99\% von V∞V_\infty?
    Solve online
  27. Ex. 50.27ModelingAnswer key
    Beim radioaktiven Zerfall: N(t)=N0e−t/τN(t) = N_0 e^{-t/\tau}. Halbwertszeit in Termen von τ\tau. Grenzwert für t→∞t \to \infty?
    Solve online
  28. Ex. 50.28ModelingAnswer key
    In der Regelung: H(s)=(s+1)/(s2+4s+5)H(s) = (s+1)/(s^2 + 4s + 5). Berechne H(0)H(0), lim⁡∣s∣→∞H(s)\lim_{|s| \to \infty} H(s).
    Solve online
  29. Ex. 50.29Modeling
    In Finance: Europäische Option C(S,T)→SC(S, T) \to S für S→∞S \to \infty. Bestätige im Black-Scholes-Limit.
    Solve online
  30. Ex. 50.30Modeling
    In der Optimierung: Gradient Descent wn+1=wn−α∇f(wn)w_{n+1} = w_n - \alpha \nabla f(w_n) konvergiert, falls ff konvex LL-Lipschitz und α<2/L\alpha < 2/L. Zeige via Folgenanalyse.
    Solve online
  31. Ex. 50.31UnderstandingAnswer key
    Konstruiere ff, das überall unstetig ist (Dirichlet), und begründe.
    Solve online
  32. Ex. 50.32UnderstandingAnswer key
    Zeige via Bolzano-Weierstrass, dass sin⁡n\sin n eine konvergente Teilfolge hat.
    Solve online
  33. Ex. 50.33Understanding
    Zeige, dass eine stetige ff auf [a,b][a, b] gleichmäßig stetig ist (Heine-Cantor).
    Solve online
  34. Ex. 50.34Proof
    Beweise: lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L genau dann, wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren und LL entsprechen.
    Solve online
  35. Ex. 50.35Proof
    Beweise, dass f∈C([a,b])f \in C([a,b]) beschränkt ist.
    Solve online
  36. Ex. 50.36Proof
    Beweise, dass eine wachsende, beschränkte Folge Cauchy ist.
    Solve online
  37. Ex. 50.37ChallengeAnswer key
    lim⁡x→0(sin⁡x)1/x\lim_{x \to 0} (\sin x)^{1/x}. Existiert er? Berechne einseitig.
    Solve online
  38. Ex. 50.38Challenge
    lim⁡n→∞(n!)1/n2\lim_{n \to \infty} (n!)^{1/n^2}.
    Solve online
  39. Ex. 50.39Challenge
    f(x)=xcos⁡(1/x)f(x) = x \cos(1/x) falls x≠0x \neq 0, f(0)=0f(0) = 0. Zeige, dass ff in 0 stetig, aber nicht differenzierbar ist.
    Solve online
  40. Ex. 50.40Challenge
    lim⁡x→∞ln⁡(Γ(x))/(xln⁡x)\lim_{x \to \infty} \ln(\Gamma(x))/(x \ln x) via Stirling. (Antw.: 1.)
    Solve online

Quellen

Updated on 2026-04-30 · Author(s): Clube da Matemática

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