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Lektion 51 — Ableitung: Definition über Grenzwert

Ableitung als Grenzwert der durchschnittlichen Änderungsrate. Tangentenlinie. Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit, aber nicht umgekehrt. Berechnung per Definition für elementare Funktionen.

Used in: 2. Jahr Gymnasium (16–17 Jahre) · Äquivalent: Japanische Math II (微分) · Äquivalent: Deutsche Klasse 11 (Analysis)

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Rigorose Definition e teoremas

Äquivalente Notationen

what this means · Todas as notações abaixo representam o mesmo objeto — a Ableitung de f. Leibniz (dy/dx), Lagrange (f'), Newton (f com ponto) e o operador D são as mais usadas.

A expressão $\frac{df}{dx}\Big|_{x=a}$ denota a Ableitung avaliada no ponto $a$ .

Tangentenlinie e Normalenlinie

Sendo $f$ differenzierbar em $a$ :

Tangentenlinie em $(a, f(a))$ : $\quad y - f(a) = f'(a)(x - a)$
Normalenlinie em $(a, f(a))$ (perpendicular à tangente, se $f'(a) \neq 0$ ): $\quad y - f(a) = -\dfrac{1}{f'(a)}(x - a)$

Teorema fundamental de Differenzierbarkeit

Pontos de não-Differenzierbarkeit

Grundlegende Ableitungen per Definition

Função $f(x)$	$f'(x)$
$c$ (constante)	$0$
$x$	$1$
$x^2$	$2x$
$x^3$	$3x^2$
$x^n$ ( $n \in \mathbb{Z}$ )	$n x^{n-1}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Gelöste Beispiele

Example— 1· Ableitung de x² pela definição (fundamental)

Problema: Use a definição de Ableitung para calcular $f'(x)$ sendo $f(x) = x^2$ .

Estratégia: Aplicamos diretamente $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ e simplificamos algebricamente para eliminar $h$ do denominador antes de tomar o Grenzwert.

Resolução:

Calcule $f(a+h)$ : $f(a+h) = (a+h)^2 = a^2 + 2ah + h^2$
Monte o quociente incremental: $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h}$
Cancele $h$ (válido pois $h \neq 0$ no processo Grenzwert): $\frac{2ah + h^2}{h} = \frac{h(2a + h)}{h} = 2a + h$
Tome o Grenzwert: $f'(a) = \lim_{h \to 0}(2a + h) = 2a$

Como $a$ é arbitrário, a função Ableitung é $f'(x) = 2x$ .

Verificação: Em $x = 3$ , $f'(3) = 6$ . A Tangentenlinie passa por $(3, 9)$ com inclinação 6: $y = 6x - 9$ . Ponto de controle: $f(3{,}1) = 9{,}61$ e $y(3{,}1) = 6(3{,}1) - 9 = 9{,}6$ — a tangente aproxima bem o gráfico para $h$ pequeno. $\checkmark$

Fonte. Active Calculus, §1.3, Atividade 1.3.2 — licença CC-BY-SA 4.0.

Example— 2· Ableitung de 1/x pela definição (racionalização algébrica)

Problema: Calcule $f'(a)$ para $f(x) = \dfrac{1}{x}$ , com $a \neq 0$ , usando a definição.

Estratégia: O passo crítico é combinar as frações no numerador em fração única, o que permite cancelar $h$ do denominador.

Resolução:

Quociente incremental: $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \frac{\dfrac{1}{a+h} - \dfrac{1}{a}}{h}$
Combine as frações no numerador (mínimo denominador comum $a(a+h)$ ): $= \frac{\dfrac{a - (a+h)}{a(a+h)}}{h} = \frac{-h}{h \cdot a(a+h)}$
Cancele $h$ : $= \frac{-1}{a(a+h)}$
Tome o Grenzwert $h \to 0$ : $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{a(a+h)} = \frac{-1}{a \cdot a} = -\frac{1}{a^2}$

Resultado: $(1/x)' = -1/x^2$ . Geometricamente: a hipérbole $y = 1/x$ tem tangente com inclinação negativa para todo $x \neq 0$ — a função é sempre decrescente.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §3.1, Exemplo 3.6 — licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 3· Equação da Tangentenlinie (aplicação geométrica)

Problema: Encontre a equação da Tangentenlinie ao gráfico de $f(x) = x^3$ no ponto $x = 2$ .

Estratégia: A Tangentenlinie tem equação $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ . Precisamos de $f(a)$ e $f'(a)$ .

Resolução:

Calcule $f(2) = 2^3 = 8$ . O ponto de tangência é $(2, 8)$ .
Calcule $f'(a)$ via definição: $\frac{(a+h)^3 - a^3}{h} = \frac{a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3 - a^3}{h} = \frac{3a^2h + 3ah^2 + h^3}{h} = 3a^2 + 3ah + h^2$

$f'(a) = \lim_{h \to 0}(3a^2 + 3ah + h^2) = 3a^2$

Logo $f'(2) = 3 \cdot 4 = 12$ .

Equação da Tangentenlinie: $y - 8 = 12(x - 2) \implies y = 12x - 16$

Verificação: Em $x = 2{,}1$ : $f(2{,}1) = (2{,}1)^3 = 9{,}261$ ; tangente: $y = 12(2{,}1) - 16 = 9{,}2$ . Erro absoluto $0{,}061$ — cresce com $h^2$ como esperado para uma aproximação linear. $\checkmark$

Fonte. APEX Calculus, §2.1, Exemplo 2.1.3 — licença CC-BY-NC 4.0.

Example— 4· Ponto de não-Differenzierbarkeit: o bico do módulo

Problema: Investigue se $f(x) = |x|$ é differenzierbar em $x = 0$ .

Estratégia: Calculamos as Ableitungs laterais $f'_-(0)$ e $f'_+(0)$ separadamente. Se diferirem, $f$ não é differenzierbar em $0$ .

Resolução:

Ableitung lateral direita ( $h \to 0^+$ , então $h > 0$ , logo $|h| = h$ ): $f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1$
Ableitung lateral esquerda ( $h \to 0^-$ , então $h < 0$ , logo $|h| = -h$ ): $f'_-(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$
Conclusão: $f'_+(0) = 1 \neq -1 = f'_-(0)$ .

Como as Ableitungs laterais diferem, $f(x) = |x|$ não é differenzierbar em $x = 0$ — existe um bico no gráfico. Note que $f$ é stetig em $0$ (pois $\lim_{x\to 0}|x| = 0 = |0|$ ), confirmando que Stetigkeit não implica Differenzierbarkeit.

Fonte. Active Calculus, §1.7, Atividade 1.7.3 — licença CC-BY-SA 4.0.

Example— 5· Custo marginal — aplicação econômica

Problema: Uma empresa produz $q$ unidades de um produto com custo total $C(q) = q^2 + 30q + 500$ reais. Calcule o custo marginal em $q = 50$ unidades usando a definição de Ableitung e interprete o resultado.

Estratégia: Custo marginal = $C'(q)$ , a taxa de variação instantânea do custo em relação à quantidade. Calculamos pela definição e avaliamos em $q = 50$ .

Resolução:

Quociente incremental: $\frac{C(q+h) - C(q)}{h} = \frac{(q+h)^2 + 30(q+h) + 500 - (q^2 + 30q + 500)}{h}$

$= \frac{q^2 + 2qh + h^2 + 30q + 30h + 500 - q^2 - 30q - 500}{h} = \frac{2qh + h^2 + 30h}{h}$

$= 2q + h + 30$

Tome o Grenzwert: $C'(q) = \lim_{h \to 0}(2q + h + 30) = 2q + 30$
Avalie em $q = 50$ : $C'(50) = 2(50) + 30 = 130 \text{ reais}$

Interpretação: Ao produzir 50 unidades, cada unidade adicional custa aproximadamente R$ 130. Observe que $C(51) - C(50) = (2601 + 1530 + 500) - (2500 + 1500 + 500) = 4631 - 4500 = 131$ reais — o custo marginal subestima em R$ 1 (diferença de segunda ordem em $h$ ).

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §3.1, Exemplo aplicado — custo marginal — licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 10Modeling 7Challenge 2Proof 1

Ex. 51.1Application
Calcule $f'(3)$ para $f(x) = x^2$ usando a definição de Ableitung. (Resp: $6$ .)
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Ex. 51.2Application
Calcule $f'(a)$ para $f(x) = x^3$ usando a definição. (Resp: $3a^2$ .)
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Ex. 51.3ApplicationAnswer key
Calcule $f'(a)$ para $f(x) = c$ (constante real) pela definição. (Resp: $0$ .)
Solve online
Ex. 51.4ApplicationAnswer key
Calcule $f'(a)$ para $f(x) = mx + b$ (função afim) pela definição. (Resp: $m$ .)
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Ex. 51.5Application
Calcule $f'(2)$ para $f(x) = 2x^2 + 3x$ via definição. (Resp: $11$ .)
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Ex. 51.6Application
Calcule $f'(1)$ para $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$ via definição. (Resp: $-1$ .)
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Ex. 51.7Application
Calcule a função Ableitung $f'(x)$ para $f(x) = 2x^2 - x + 3$ via definição. (Resp: $4x - 1$ .)
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Ex. 51.8Application
Use a definição para calcular $f'(a)$ sendo $f(x) = x^4$ . (Resp: $4a^3$ .)
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Ex. 51.9Application
Calcule $f'(0)$ para $f(x) = x^2 - x$ via definição. (Resp: $-1$ .)
Solve online
Ex. 51.10Application
Calcule $f'(a)$ para $f(x) = 2x^3 - 2x$ via definição. (Resp: $6a^2 - 2$ .)
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Ex. 51.11Application
Calcule $f'(2)$ para $f(x) = 1/x$ via definição. (Resp: $-1/4$ .)
Solve online
Ex. 51.12Application
Calcule $f'(4)$ para $f(x) = \sqrt{x}$ via definição. (Resp: $1/4$ .)
Solve online
Ex. 51.13Application
Calcule $f'(1)$ para $f(x) = 1/x$ via definição. (Resp: $-1$ .)
Solve online
Ex. 51.14Application
Determine a equação da Tangentenlinie a $y = x^2$ no ponto $x = 2$ . (Resp: $y = 4x - 4$ .)
Solve online
Ex. 51.15Application
Determine a equação da Tangentenlinie a $y = 1/x$ no ponto $x = 1$ . (Resp: $y = -x + 2$ .)
Solve online
Ex. 51.16Application
Para $f(x) = x^2 - 4x$ , em qual $x$ a Tangentenlinie é horizontal? (Resp: $x = 2$ .)
Solve online
Ex. 51.17Application
Calcule $f'(9)$ para $f(x) = \sqrt{x}$ via definição. (Resp: $1/6$ .)
Solve online
Ex. 51.18Application
Calcule $f'(a)$ para $f(x) = 1/x^2$ via definição. (Resp: $-2/a^3$ .)
Solve online
Ex. 51.19Application
Equação da Tangentenlinie a $y = x^3$ em $x = 2$ . (Resp: $y = 12x - 16$ .)
Solve online
Ex. 51.20ApplicationAnswer key
Determine a equação da Normalenlinie a $y = x^2$ no ponto $x = 1$ . (Resp: $y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$ .)
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Ex. 51.21Understanding
A função $f(x) = |x|$ é differenzierbar em $x = 0$ ? Justifique calculando as Ableitungs laterais.
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Ex. 51.22UnderstandingAnswer key
A função $f(x) = x|x|$ é differenzierbar em $x = 0$ ? (Resp: sim, $f'(0) = 0$ .)
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Ex. 51.23Understanding
Analise $f(x) = \sqrt[3]{x}$ em $x = 0$ . O Grenzwert do quociente incremental existe? (Resp: $+\infty$ — tangente vertical.)
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Ex. 51.24UnderstandingAnswer key
Seja $f(x) = \begin{cases} x^2 & x \leq 1 \\ 3x - 2 & x > 1 \end{cases}$ . É $f$ differenzierbar em $x = 1$ ?
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Ex. 51.25Understanding
Seja $f(x) = x^2\sin(1/x)$ para $x \neq 0$ e $f(0) = 0$ . Mostre que $f'(0) = 0$ . (Resp: $f'(0) = 0$ .)
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Ex. 51.26Understanding
Seja $f(x) = x\sin(1/x)$ para $x \neq 0$ e $f(0) = 0$ . A função é differenzierbar em $x = 0$ ?
Solve online
Ex. 51.27Understanding
Seja $f(x) = \begin{cases} x^2 & x \geq 0 \\ -x^2 & x < 0 \end{cases}$ . Calcule $f'(0)$ .
Solve online
Ex. 51.28Understanding
Interprete geometricamente: o que significa $f'(a) > 0$ , $f'(a) < 0$ e $f'(a) = 0$ ?
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Ex. 51.29Understanding
Qual é a relação correta entre Differenzierbarkeit e Stetigkeit?
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Ex. 51.30Understanding
Por que a diferença central $\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$ é mais precisa numericamente que a diferença forward $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ ?
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Ex. 51.31ModelingAnswer key
Um objeto se move com posição $s(t) = 2t^2$ metros. Qual é sua velocidade instantânea em $t = 2$ s? (Resp: $8$ m/s.)
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Ex. 51.32ModelingAnswer key
Posição $s(t) = t^2 + 5t$ metros. Velocidade instantânea em $t = 3$ s? (Resp: $11$ m/s.)
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Ex. 51.33ModelingAnswer key
Custo $C(q) = q^2 + 30q + 500$ reais. Custo marginal em $q = 50$ ? (Resp: R$ $130$ .)
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Ex. 51.34Modeling
População $P(t) = 100 + 5t^2$ indivíduos. Taxa de crescimento em $t = 4$ anos? (Resp: $40$ indivíduos/ano.)
Solve online
Ex. 51.35Modeling
Em machine learning, loss $L(\theta) = (\theta - 3)^2$ . Calcule $L'(\theta)$ via definição e encontre o $\theta$ que minimiza $L$ . (Resp: $L'(\theta) = 2\theta - 6$ ; mínimo em $\theta = 3$ .)
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Ex. 51.36ModelingAnswer key
Carga elétrica $q(t) = t^2 + 2t$ coulombs. A corrente $i(t) = q'(t)$ . Calcule $i(2)$ . (Resp: $6$ A.)
Solve online
Ex. 51.37Modeling
Volume de uma esfera $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$ . Taxa de variação do volume em relação ao raio em $r = 2$ cm? (Resp: $16\pi$ cm³/cm.)
Solve online
Ex. 51.38Challenge
Determine $k$ tal que $f(x) = x^2 + kx$ tenha Tangentenlinie horizontal no ponto $x = -3/2$ .
Solve online
Ex. 51.39Challenge
Prove que se $f$ é uma função par e differenzierbar em $x = 0$ , então $f'(0) = 0$ .
Ex. 51.40ProofAnswer key
Seja $h(x) = f(x) + g(x)$ , com $f$ e $g$ diferenciáveis em $a$ . Use a definição de Ableitung para mostrar que $h'(a) = f'(a) + g'(a)$ (regra da soma).
Solve online

Fontes

Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-SA 4.0. Capítulos §1.1, §1.3, §1.4, §1.7. Fonte primária. Atividades ricas sobre a definição via Grenzwert, interpretação gráfica e Differenzierbarkeit.
Calculus, Volume 1 — OpenStax · Herman & Strang · CC-BY-NC-SA 4.0. Capítulos §3.1 (Defining the Derivative), §3.2 (The Derivative as a Function). Exercícios extensivos com cálculo pela definição.
APEX Calculus — Hartman et al. · 5.ª ed. · CC-BY-NC 4.0. Capítulos §2.1 (Instantaneous Rates of Change), §2.2 (Interpretations of the Derivative). Exemplos com Tangentenlinie e aplicações físicas.