v1 · padrão canônico

Lektion 52 — Ableitungsregeln

Die algebraischen Ableitungsregeln — Potenz, konstantes Vielfaches, Summe, Produkt, Quotient — und die Ableitungen der elementaren Funktionen. Nie wieder Grenzwerte in der Praxis.

Used in: 2.º ano do EM (16 anos) · Äquivalent: AP Calculus AB Unit 2 · Äquivalent: Calculus I §3.3–3.5

(fg)' = f'g + fg'

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Formale Definitionen und Theoreme

Tabela de Ableitungs elementares

Definition· Ableitungs das funções elementares

Seja $f$ derivável em $x$ . As Ableitungs abaixo são consequências diretas da definição por Grenzwert e são consideradas resultados fundamentais:

Função $f(x)$	Ableitung $f'(x)$	Condição
$c$ (constante)	$0$	$c \in \mathbb{R}$
$x^n$	$n x^{n-1}$	$n \in \mathbb{R}$
$\sin x$	$\cos x$	—
$\cos x$	$-\sin x$	—
$\tan x$	$\sec^2 x$	$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$
$e^x$	$e^x$	—
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$x > 0$
$a^x$	$a^x \ln a$	$a > 0, a \neq 1$
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x \ln a}$	$x > 0, a > 0, a \neq 1$

Operationsregeln

Theorem· Regras de derivação (Leibniz e Cauchy)

Sejam $f$ e $g$ funções deriváveis em $x$ , e $c \in \mathbb{R}$ constante. Então:

(R1)

what this means · Constante: a Ableitung de qualquer número constante é zero, pois não há variação.

(R2)

what this means · Regra da potência: o expoente desce como coeficiente e diminui em 1. Válida para qualquer expoente real.

(R3)

what this means · Múltiplo constante: constantes atravessam a Ableitung sem alteração.

(R4)

what this means · Soma e diferença: a Ableitung distribui sobre somas e diferenças.

(R5)

what this means · Regra do produto (Leibniz): o produto gera dois termos. Cada um diferencia um dos fatores, mantendo o outro intacto.

(R6)

what this means · Regra do quociente: numerador é f linha g menos f g linha; denominador é g ao quadrado. O sinal de menos no numerador é crítico — não inverta a ordem.

Beweis da Produktregel

Theorem· Prova da Produktregel a partir da definição

Seja $h(x) = f(x) g(x)$ . Por definição:

$h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)\,g(x + \Delta x) - f(x)\,g(x)}{\Delta x}$

Some e subtraia $f(x+\Delta x)\,g(x)$ no numerador:

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{[f(x+\Delta x) - f(x)]\,g(x+\Delta x) + f(x)\,[g(x+\Delta x) - g(x)]}{\Delta x}$

Separando os Grenzwerts e usando a Stetigkeit de $g$ (toda função derivável é stetig, logo $g(x + \Delta x) \to g(x)$ ):

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \cdot g(x) + f(x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

$\blacksquare$

Gelöste Beispiele

Example— 1· Ableitung de polinômio (aplicação direta das regras R2–R4)

Problema: Calcule $f'(x)$ para $f(x) = 4x^5 - 3x^3 + 7x - 2$ .

Estratégia: Polinômio = soma de monômios. Aplique R4 (linearidade), R2 (potência) e R1 (constante) termo a termo.

Resolução:

$f'(x) = (4x^5)' - (3x^3)' + (7x)' - (2)'$

Aplicando R3 (múltiplo constante) e R2 (potência):

$= 4 \cdot 5x^4 - 3 \cdot 3x^2 + 7 \cdot 1 - 0$

$= 20x^4 - 9x^2 + 7$

Verificação: Cada expoente reduziu em 1; cada coeficiente multiplicou pelo expoente original. Constante $-2$ sumiu (R1). Correto.

Fonte. Active Calculus §2.1 Exercise 2.1.3 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Regra do produto — função polinomial vezes trigonométrica

Problema: Calcule $h'(x)$ para $h(x) = x^3 \sin x$ .

Estratégia: $h = f \cdot g$ com $f(x) = x^3$ e $g(x) = \sin x$ . Aplique R5: $(fg)' = f'g + fg'$ .

Resolução:

$f(x) = x^3 \Rightarrow f'(x) = 3x^2$
$g(x) = \sin x \Rightarrow g'(x) = \cos x$

Aplicando R5:

$h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x$

Forma fatorada (opcional): $h'(x) = x^2(3 \sin x + x \cos x)$

Verificação: Dois termos (correto para produto). Primeiro: derivou $x^3$ , manteve $\sin x$ . Segundo: manteve $x^3$ , derivou $\sin x$ . Ambas as regras elementares aplicadas corretamente.

Fonte. Active Calculus §2.3 Exercise 2.3.2 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Regra do quociente — função racional

Problema: Calcule $k'(x)$ para $k(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 3}$ , $x \neq 3$ .

Estratégia: $k = f/g$ com $f(x) = x^2 + 1$ e $g(x) = x - 3$ . Aplique R6.

Resolução:

$f'(x) = 2x$
$g'(x) = 1$

Aplicando R6:

$k'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} = \frac{2x(x-3) - (x^2+1) \cdot 1}{(x-3)^2}$

$= \frac{2x^2 - 6x - x^2 - 1}{(x-3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 1}{(x-3)^2}$

Atenção: O numerador é $f'g - fg'$ , não $fg' - f'g$ . O sinal de menos não é comutativo — inverter cria o erro mais frequente nesta regra.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1 §3.3 Example 3.28 — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Ableitung de função trigonométrica composta (produto + tabela)

Problema: Calcule $p'(x)$ para $p(x) = e^x \cos x$ .

Estratégia: Produto de $f(x) = e^x$ e $g(x) = \cos x$ . Aplique R5 com as Ableitungs da tabela.

Resolução:

$f'(x) = e^x$ (notável: $e^x$ deriva para si mesmo)
$g'(x) = -\sin x$

Aplicando R5:

$p'(x) = e^x \cos x + e^x \cdot (-\sin x) = e^x(\cos x - \sin x)$

Verificação: Em $x = 0$ : $p(0) = e^0 \cos 0 = 1$ e $p'(0) = e^0(\cos 0 - \sin 0) = 1 - 0 = 1$ . A tangente em $(0, 1)$ tem inclinação 1, o que faz sentido geometricamente (a função cresce com inclinação 1 na origem).

Fonte. Active Calculus §2.2 Exercise 2.2.3 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Equação da Tangentenlinie (aplicação + interpretação geométrica)

Problema: Encontre a equação da Tangentenlinie à curva $y = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ no ponto onde $x = 1$ .

Estratégia: (a) Calcule $y(1)$ para obter o ponto de tangência. (b) Calcule $y'(x)$ pela Quotientenregel. (c) Avalie $y'(1)$ para obter o coeficiente angular. (d) Escreva a equação na forma ponto-declive.

Resolução:

(a) Ponto de tangência:

$y(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2}$

Ponto: $\left(1, \dfrac{1}{2}\right)$ .

(b) Ableitung por quociente com $f = x$ e $g = x^2 + 1$ :

$y'(x) = \frac{f'g - fg'}{g^2} = \frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$

(c) Coeficiente angular em $x = 1$ :

$y'(1) = \frac{1 - 1}{(1+1)^2} = \frac{0}{4} = 0$

(d) Equação da tangente:

$y - \frac{1}{2} = 0 \cdot (x - 1) \implies y = \frac{1}{2}$

A tangente em $x = 1$ é horizontal — faz sentido, pois $y = x/(x^2+1)$ tem máximo local nesse ponto (a função cresce de $x=0$ até $x=1$ e depois decresce).

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1 §3.3 Exercise 176 — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 27Understanding 4Modeling 7Challenge 2

Ex. 52.1Application
Calcule $(x^5)'$ .
Solve online
Ex. 52.2Application
Calcule a Ableitung de $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$ .
Solve online
Ex. 52.3ApplicationAnswer key
Calcule $(\sqrt{x})'$ . Dica: escreva como $x^{1/2}$ e aplique R2.
Solve online
Ex. 52.4Application
Calcule $\left(\dfrac{1}{x^2}\right)'$ .
Solve online
Ex. 52.5ApplicationAnswer key
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = 4x^5 - 3x^3 + 7x - 2$ .
Solve online
Ex. 52.6Application
Calcule $\left(-\dfrac{1}{x^3}\right)'$ .
Solve online
Ex. 52.7Application
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = x^2\sqrt{x} - x\sqrt{x}$ .
Solve online
Ex. 52.8Application
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = x^3 + 2x$ .
Solve online
Ex. 52.9Application
Calcule $\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)'$ .
Solve online
Ex. 52.10ApplicationAnswer key
Calcule $g'(x)$ para $g(x) = 3x^4 - 3x^2$ .
Solve online
Ex. 52.11Application
Calcule $(\sin x \cdot \cos x)'$ .
Solve online
Ex. 52.12ApplicationAnswer key
Calcule $(x e^x)'$ .
Solve online
Ex. 52.13Application
Calcule $(x \ln x)'$ .
Solve online
Ex. 52.14Application
Calcule $(x^2 \sin x)'$ .
Solve online
Ex. 52.15ApplicationAnswer key
Calcule $(e^x \cos x)'$ .
Solve online
Ex. 52.16Application
Calcule $(x^2 e^x)'$ .
Solve online
Ex. 52.17ApplicationAnswer key
Calcule $(\tan x \cdot e^x)'$ .
Solve online
Ex. 52.18Application
Calcule $(x \sin x)'$ .
Solve online
Ex. 52.19Application
Calcule $(x^3 \ln x)'$ .
Solve online
Ex. 52.20Understanding
Generalização da Produktregel. Se $f$ , $g$ , $h$ são funções deriváveis, qual é $(fgh)'$ ?
Solve online
Ex. 52.21Application
Calcule $\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)'$ para $x \neq 0$ .
Solve online
Ex. 52.22Application
Calcule $\left(\dfrac{e^x}{x}\right)'$ para $x \neq 0$ .
Solve online
Ex. 52.23Application
Calcule $\left(\dfrac{1}{x^2 + 1}\right)'$ .
Solve online
Ex. 52.24Application
Calcule $\left(\dfrac{x^2 + 1}{x - 3}\right)'$ para $x \neq 3$ .
Solve online
Ex. 52.25Application
Calcule $\left(\dfrac{3x^2 - x}{x^2 - 1}\right)'$ para $x \neq \pm 1$ .
Solve online
Ex. 52.26ApplicationAnswer key
Derive $\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$ pela Quotientenregel.
Solve online
Ex. 52.27Application
Derive $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$ pela Quotientenregel.
Solve online
Ex. 52.28Application
Calcule $\left(\dfrac{x}{x^2 + 1}\right)'$ .
Solve online
Ex. 52.29ModelingAnswer key
Encontre a equação da Tangentenlinie a $y = x^2 + 3x$ no ponto $x = 1$ .
Solve online
Ex. 52.30ModelingAnswer key
Em quais pontos o gráfico de $f(x) = x^3 - 3x$ tem Tangentenlinie horizontal?
Solve online
Ex. 52.31Modeling
Um objeto tem posição $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ metros ( $t$ em segundos). Calcule a velocidade $v(t)$ e a aceleração $a(t)$ .
Solve online
Ex. 52.32Modeling
Função custo: $C(q) = 500 + 50q + 0{,}1q^2$ (reais). Calcule o custo marginal $C'(q)$ e avalie em $q = 100$ .
Solve online
Ex. 52.33Modeling
Receita total: $R(q) = q(200 - q)$ . Calcule a receita marginal $R'(q)$ e determine a quantidade que maximiza a receita.
Solve online
Ex. 52.34Modeling
Encontre a Tangentenlinie a $y = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ em $x = 1$ .
Solve online
Ex. 52.35Modeling
Para $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ , determine: (a) a velocidade em $t = 2$ ; (b) quando o objeto está parado.
Solve online
Ex. 52.36UnderstandingAnswer key
Identificação de erro. Um estudante calculou $(x^2 \cdot x^3)' = 2x \cdot 3x^2 = 6x^3$ . Está certo ou errado? Justifique e corrija se necessário.
Solve online
Ex. 52.37Understanding
Qual regra de derivação se aplica a $h(x) = \dfrac{e^x}{x^2}$ ? Aplique-a e obtenha $h'(x)$ .
Solve online
Ex. 52.38Understanding
Conceito. Por que a Ableitung de $e^x$ é "especial"? O que significa $(e^x)' = e^x$ ?
Solve online
Ex. 52.39Challenge
Desafio: produto de três funções. Prove que $(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$ .
Solve online
Ex. 52.40Challenge
Beweis. Prove a Produktregel $(fg)' = f'g + fg'$ a partir da definição de Ableitung por Grenzwert.
Solve online

Fontes

Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · §2.1 (Regras elementares), §2.2 (Seno e cosseno), §2.3 (Produto e quociente). Fonte primária. CC-BY-NC-SA.
OpenStax Calculus Volume 1 — OpenStax · 2016 · §3.3 (Regras de derivação), §3.4 (Ableitungs como taxas de variação), §3.5 (Ableitungs de trigonométricas). CC-BY-NC-SA.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2023 · §2.3 (Regras básicas), §2.4 (Produto e quociente). CC-BY-NC.