Lektion 54 — Implizite Ableitung

Für den Kreis $x^2 + y^2 = 1$, finde $dy/dx$.

Für die Ellipse $x^2/4 + y^2/9 = 1$, berechne $dy/dx$.

Für $xy = 1$, berechne $dy/dx$ mittels impliziter Differenziation. Verifiziere, dass es mit dem expliziten Differenzieren von $y = 1/x$ übereinstimmt.

Für die Hyperbel $x^2/9 - y^2/16 = 1$, berechne $dy/dx$.

Für $x^3 + y^3 = 6xy$, berechne $dy/dx$.

Für $x^2 - 2xy + 3y^2 = 1$, berechne $dy/dx$.

Für $x^2 y + xy^2 = 6$, berechne $dy/dx$.

Für $\tan y = x$, berechne $dy/dx$. Interpretiere das Ergebnis als die Ableitung von $\arctan x$.

Für $e^y = xy$, berechne $dy/dx$.

Für $\ln(xy) = x + y$, berechne $dy/dx$.

Für $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 4$, berechne $dy/dx$ und werte im Punkt $(1, 9)$ aus.

Für $\cos(x + y) = y$, berechne $dy/dx$.

Für $\sin(xy) = x$, berechne $dy/dx$.

Für $y^3 + 3y = x$, berechne $dy/dx$ und diskutiere, ob die Ableitung an allen Punkten existiert.

Finde die Tangente am Kreis $x^2 + y^2 = 25$ im Punkt $(3, 4)$.

Für die Ellipse $x^2 + 4y^2 = 16$, finde die Tangente im Punkt $(2, \sqrt{3})$.

Für $x^2 + xy + y^2 = 7$, finde die Tangente im Punkt $(1, 2)$.

Für $x^3 + y^3 = 9$, finde die Tangente im Punkt $(1, 2)$.

Für $y\sin x = x\cos y$, berechne $dy/dx$.

Für den Umkreis $x^2 + y^2 = 1$, bestimme alle Punkte von horizontaler und vertikaler Tangente.

Für das Blatt des Descartes $x^3 + y^3 = 3xy$, berechne $dy/dx$ und bestimme die Punkte von horizontaler Tangente.

Für das Blatt des Descartes $x^3 + y^3 = 3xy$, finde die Tangente im Punkt $(3/2, 3/2)$.

Das Ideal-Gas-Gesetz sagt $PV = nRT$. Halte $T$ konstant, und verwende implizite Differenziation, um $dP/dV$ zu finden.

Für die Kurve $y^2 + xy = 12$, bestimme, ob es Punkte mit horizontaler oder vertikaler Tangente gibt.

In der Mikroökonomie beschreibt die Indifferenzkurve $U(x_1, x_2) = \bar{U}$ Kombinationen von zwei Gütern, die den Konsumenten indifferent lassen. Verwende implizite Differenziation, um $dx_2/dx_1$ zu finden — die Grenzrate der Substitution.

Für die Lemniskate $(x^2+y^2)^2 = 2(x^2-y^2)$, berechne $dy/dx$ im Punkt $(\sqrt{3}/2, 1/2)$.

Verwende logarithmische Ableitung, um $y'$ zu finden, wenn $y = x^x$ ($x > 0$).

Verwende logarithmische Ableitung, um $y'$ zu finden, wenn $y = x^{\sin x}$ ($x > 0$). Werte bei $x = \pi$ aus.

Für $x^2 + y^2 = r^2$, finde $d^2y/dx^2$ in Termen von $x$, $y$ und $r$. Interpretiere das Vorzeichen von $y''$ für $y > 0$.

Für die Ellipse $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$, berechne $dy/dx$ und $d^2y/dx^2$.

Warum ist die Bedingung $F_y \neq 0$ notwendig, um den Satz über implizite Funktionen anzuwenden?

Was ist der Hauptvorteil der impliziten Differenziation gegenüber dem Isolieren von $y$ und explizitem Differenzieren?

Verwende implizite Differenziation, um zu zeigen, dass die Tangente am Kreis $x^2 + y^2 = r^2$ immer senkrecht zum Radius an der Tangentialpunkt ist.

Für eine Kurve $F(x,y)=0$, erkläre unter welchen Bedingungen die Tangente existiert, möglicherweise vertikal, und wenn der Punkt singulär ist.

Verifiziere, dass das implizite Differenzieren von $x^2 + y^2 = r^2$ dasselbe Ergebnis gibt wie das explizite Differenzieren von $y = \pm\sqrt{r^2-x^2}$.

Beim impliziten Differenzieren von $e^{xy} = x + y$ nach $x$, was ist $\frac{d}{dx}[e^y]$? Warum ist es nicht einfach $e^y$?

Für die Kurve $x^4 + y^4 = 1$, finde alle Punkte von horizontaler und vertikaler Tangente.

Für die Ellipse $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$, berechne $y''$ implizit und vereinfache unter Verwendung der Ellipsengleichung. (Resp: $y'' = -b^4/(a^2 y^3)$.)

Für $\sin(xy) + \cos(x+y) = 1$, berechne $dy/dx$ in $(0, 0)$. Erkläre warum der Punkt für die direkte Formel singulär ist.

Beweis. Beweise dass $(x^a)' = ax^{a-1}$ für beliebiges $a \in \mathbb{R}$ ($x > 0$), unter Verwendung von $x^a = e^{a\ln x}$ und der Kettenregel. Erkläre warum der Beweis den Fall $a$ irrational abdeckt.