Lektion 55 — Höhere Ableitungen

Sei $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 5$. Berechnen Sie $f'(x)$ und $f''(x)$.

Sei $f(x) = x^5 - 3x^2 + x + 2$. Berechnen Sie $f''(x)$.

Sei $f(x) = \sin x$. Berechnen Sie $f''(x)$.

Sei $f(x) = \cos(2x)$. Berechnen Sie $f''(x)$.

Sei $f(x) = \ln x$. Berechnen Sie $f''(x)$.

Sei $f(x) = xe^x$. Berechnen Sie $f''(x)$.

Sei $f(x) = x^2 \ln x$. Berechnen Sie $f''(x)$.

Sei $f(x) = x^4 - 4x^3 + 1$. Berechnen Sie $f'''(x)$.

Sei $f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$. Berechnen Sie $f''(0)$.

Sei $f(x) = \sqrt{x}$. Berechnen Sie $f''(x)$.

Sei $f(x) = \cos(2x)$. Berechnen Sie $f^{(4)}(x)$.

Sei $f(x) = x^4$. Berechnen Sie $f^{(5)}(x)$.

Sei $f(x) = e^{2x}$. Bestimmen Sie $f^{(n)}(x)$ für alle $n \geq 1$.

Bestimmen Sie $(\sin x)^{(100)}$.

Sei $f(x) = \dfrac{1}{x}$. Bestimmen Sie die allgemeine Formel $f^{(n)}(x)$.

Für $f(x) = x^4 - 4x^3 + 1$ bestimmen Sie die Wendepunkte und die Konkavitätsintervalle.

Für $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ bestimmen Sie die Konkavitätsintervalle und den Wendepunkt.

Für $f(x) = e^{-x^2}$ berechnen Sie $f''(0)$.

Für $f(x) = x^5 - 5x^4$ bestimmen Sie die Wendepunkte.

Wenn $f''(c) = 0$, können wir schließen, dass $c$ ein Wendepunkt von $f$ ist?

Wenn $f'(c) = 0$ und $f''(c) > 0$, was folgt über $c$?

Bestimmen Sie die Konkavität von $f(x) = e^x$ über die gesamte Domäne.

Analysieren Sie die Konkavität von $f(x) = x^3$ und identifizieren Sie den Wendepunkt.

Für $f(x) = x^4 - 6x^2$ bestimmen Sie die Konkavitätsintervalle und die Wendepunkte.

Erklären Sie, warum $(\sin x)^{(4)} = \sin x$ und warum $(e^x)^{(n)} = e^x$ für alle $n \geq 0$.

Leiten Sie die Formel für $(fg)''$ aus der Produktregel ab und identifizieren Sie die Analogie zum binomischen Satz.

Sei $f(x) = (1 + x)^{10}$. Berechnen Sie $f^{(10)}(0)$.

Position eines Teilchens: $s(t) = 4t^3 - t^4$ (Meter, $t$ in Sekunden). Berechnen Sie $v(1)$, $a(1)$ und $j(1)$ und interpretieren Sie $j(1) = 0$.

Pendel: $\theta(t) = A\cos(\omega t)$. Berechnen Sie $\ddot{\theta}$ und verifizieren Sie, dass $\ddot{\theta} + \omega^2\theta = 0$.

Produktionskosten: $C(q) = q^3 - 6q^2 + 15q$ (R$ Tausend). Berechnen Sie $C''(q)$ und interpretieren Sie den Wendepunkt als „minimale Grenzkosten".

Position eines Fahrzeugs: $s(t) = 10t^3 - 30t^2 + 5$ (Meter). Berechnen Sie $v(t)$, $a(t)$, $j(t)$ und bestimmen Sie, wann die Beschleunigung null ist.

Höhe eines Projektils: $h(t) = -4{,}9t^2 + v_0 t + h_0$. Berechnen Sie $h''(t)$ und identifizieren Sie seine physikalische Bedeutung.

In einem mechanischen System hat die Potenzialenergie $U(\theta)$ einen kritischen Punkt bei $\theta_0$. Was bedeutet $U''(\theta_0) > 0$ vs. $U''(\theta_0) < 0$ für die Stabilität des Gleichgewichts?

Schreiben Sie mit den drei ersten Ableitungen von $f(x) = e^x$ bei $a = 0$ das Taylor-Polynom $T_2(x)$ und schätzen Sie den Fehler für $x = 0{,}1$.

Schreiben Sie das Taylor-Polynom Grad 2 von $f(x) = \cos x$ um $a = 0$ und verifizieren Sie für $x = 0{,}1$.

Berechnen Sie $f^{(n)}(x)$ für $f(x) = \ln(1+x)$ und schreiben Sie das Taylor-Polynom $T_n(x)$ um $a = 0$.

Für $f(x) = x^x$ ($x > 0$) berechnen Sie $f''(x)$ unter Verwendung logarithmischer Ableitung.

Formulieren Sie die Leibniz-Formel $(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}$ und beschreiben Sie die Struktur des Induktionsarguments, das sie beweist.

Beweis. Sei $f$ zweimal differenzierbar auf $[0, 1]$ mit $f(0) = f(1) = 0$ und $f' \not\equiv 0$. Existiert $c \in (0, 1)$ mit $f''(c) = 0$? Begründen Sie.

Beweis. Beweisen Sie, dass, wenn $f$ zweimal differenzierbar ist und $f''(x) \geq 0$ auf $(a, b)$, dann ist $f$ konvex auf $(a, b)$.