Lektion 56 — Ableitungen von Umkehrfunktionen

Was ist die Ableitung von $y = \arcsin x$?

Was ist die Ableitung von $y = \arctan x$?

Leite $y = \arccos x$ durch implizite Differenziation ab. Erläutere, warum sich das Ergebnis von $(\arcsin x)'$ nur im Vorzeichen unterscheidet.

Leite $y = \ln x$ durch implizite Differenziation ab.

Leite $y = \log_2 x$ ab.

Was ist die Ableitung von $y = a^x$ (mit $a > 0$, $a \neq 1$)?

Leite $y = \text{arcsinh}\, x$ durch implizite Differenziation ab.

Leite $y = \text{arctanh}\, x$ (für $|x| < 1$) ab.

Sei $f(x) = x^3 + x$. Gegeben dass $f(1) = 2$, berechne $(f^{-1})'(2)$.

Sei $f(x) = e^x + x$. Gegeben dass $f(0) = 1$, berechne $(f^{-1})'(1)$.

Berechne $\dfrac{d}{dx} 3^x$ und bewerte es bei $x = 1$. Warum gilt die Potenzregel $nx^{n-1}$ nicht?

Berechne $\dfrac{d}{dx} 2^{x^2}$.

Berechne $\dfrac{d}{dx}\arcsin(2x)$.

Berechne $\dfrac{d}{dx}\arctan(x^2)$.

Berechne $\dfrac{d}{dx}\arcsin(e^x)$. Was ist der Definitionsbereich dieser Ableitung?

Berechne $\dfrac{d}{dx}\arctan(\ln x)$.

Berechne $\dfrac{d}{dx}\arcsin(x^3)$.

Berechne $\dfrac{d}{dx}(\arctan x)^2$.

Berechne $\dfrac{d}{dx}(\arcsin x + \arccos x)$. Erläutere das Ergebnis geometrisch.

Berechne $\dfrac{d}{dx}\ln(\arctan x)$ und gebe den Definitionsbereich an.

Berechne $\dfrac{d}{dx}\!\left[x\arctan x - \dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)\right]$.

Berechne $\dfrac{d}{dx}\ln(\sec x + \tan x)$.

Berechne $\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{\arctan x}{x}\right)$.

Leite $y = \text{arcsec}\, x$ für $x > 1$ ab.

Berechne $\dfrac{d}{dx}\text{arccosh}(\ln x)$. Was ist der Definitionsbereich?

Berechne $\dfrac{d}{dx}\!\left[(\arctan x)\ln(x^2+1)\right]$.

Snells Gesetz. Der Brechungswinkel erfüllt $\theta_2 = \arcsin\!\left(\dfrac{n_1}{n_2}\sin\theta_1\right)$. Berechne $d\theta_2/d\theta_1$ bei $\theta_1 = 0$.

GPS. Der Erhebungswinkel eines Satelliten ist $\theta = \arctan(h/d)$, wobei $h$ die Höhe und $d$ die horizontale Entfernung (fest) ist. Berechne die Empfindlichkeit $d\theta/dh$.

Pendel. Der Pendelwinkel erfüllt $\theta = \arcsin(s/L)$, wobei $s$ der Bogen und $L$ die Länge ist. Berechne $d\theta/ds$.

Verwende logarithmische Differenziation zur Berechnung von $\dfrac{d}{dx} x^{\sin x}$ (für $x > 0$).

Verwende logarithmische Differenziation zur Berechnung von $\dfrac{d}{dx} x^x$ (für $x > 0$).

Fehlerfunktion. Sei $F(x) = \displaystyle\int_0^x e^{-t^2}\,dt$. Berechne $F'(x)$ durch FTC und bestimme dann $(F^{-1})'(0)$.

Finanzen. Die Funktion $V(\sigma) = \text{BS}(\sigma)$ gibt den Optionspreis als Funktion der Volatilität. Die Empfindlichkeit des Preises gegenüber der Volatilität ist das Vega. Was ist die Empfindlichkeit der impliziten Volatilität gegenüber dem Marktpreis, $d\sigma_{\text{imp}}/dV$?

Berechne $\dfrac{d}{dx}\arcsin(1/x)$ für $|x| > 1$ und vergleiche mit der Ableitung von $\text{arcsec}\, x$.

Warum muss eine Funktion streng monoton (und nicht nur stetig) sein, um eine wohldefinierte Umkehrfunktion zu haben?

Was passiert geometrisch in der Formel zur Ableitung der Umkehrfunktion wenn $f'(a) = 0$?

Identität. Beweise dass $\arcsin x + \arccos x = \pi/2$ für alle $x \in [-1, 1]$ mit Ableitungen (zeige dass die Differenz konstant ist und bewerte bei $x = 0$).

Lambert-W-Funktion. $W(x)$ erfüllt $W(x)\,e^{W(x)} = x$. Leite $W'(x)$ durch implizite Differenziation ab.

Verwende logarithmische Differenziation zur Berechnung von $\dfrac{d}{dx}(\ln x)^{\ln x}$ für $x > 1$.

Beweis. Beweise dass $(f^{-1})'(y) = 1/f'(f^{-1}(y))$ unter Verwendung der Identität $f(f^{-1}(y)) = y$ und der Kettenregel.