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Lektion 57 — Lineare Approximation und Differential

Tangente als lokale Approximation. Differential dy. Fehlerabschätzung via zweite Ableitung. Newton-Raphson als iterierte Linearisierung.

Used in: 2. Jahr des Programms (Calculus I) · Equiv. Math III japanisch §4 · Equiv. Leistungskurs Differentialrechnung deutsch · H2 Math singapurisch §4.3

L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Strenge Definition und Fehlertheorie

Linearisierung

"Wenn $f$ in $a$ differenzierbar ist, dann heißt $L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$ die Linearisierung von $f$ in $a$ . Die Approximation $f(x) \approx L(x)$ heißt die lineare Approximation oder Tangentenapproximation von $f$ in $a$ ." — OpenStax Calculus Vol.1 §4.2

Differential

"Wir definieren $dx$ und $dy$ als reelle Variablen so, dass folgende Gleichung gilt: $dy = f'(x)\,dx$ . Das Differential $dy$ ist eine lineare Approximation der tatsächlichen Änderung $\Delta y$ ." — OpenStax Calculus Vol.1 §4.2

Fehlerabschätzung via Taylor

Theorem· Fehler der Linearisierung (Taylor mit Lagrange-Rest)

Wenn $f$ zweimal differenzierbar in einem Intervall ist, das $a$ und $x$ enthält, dann existiert $\xi$ zwischen $a$ und $x$ so, dass

$f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(\xi)}{2}(x - a)^2.$

Der Fehler der Linearisierung ist daher $f(x) - L(x) = \dfrac{f''(\xi)}{2}(x-a)^2$ . Wenn $|f''(t)| \leq M_2$ für alle $t$ zwischen $a$ und $x$ , dann

$|f(x) - L(x)| \leq \frac{M_2}{2}(x - a)^2.$

Der Fehler ist quadratisch in der Entfernung zum Basispunkt — schrumpft viel schneller als die Entfernung.

Abbildung: Tangente als lokale Approximation

Die Tangente berührt den Graphen von in . Der Fehler (oranges Segment) zwischen Kurve und Gerade wächst mit dem Quadrat der Entfernung .

Klassische Approximationen in $a = 0$ (Maclaurin linear)

$f(x)$	$L(x)$ in $a = 0$	Gültig für
$e^x$	$1 + x$	$x$ klein
$\sin x$	$x$	$x$ in Radianten, klein
$\cos x$	$1$	$x$ klein
$\ln(1 + x)$	$x$	$x$ klein
$(1 + x)^n$	$1 + nx$	$x$ klein
$\sqrt{1 + x}$	$1 + x/2$	$x$ klein
$\tan x$	$x$	$x$ klein
$\arctan x$	$x$	$x$ klein

Fehlerfortpflanzung

Für $y = f(x)$ mit Unsicherheit $\sigma_x$ in $x$ :

$\sigma_y \approx |f'(x)|\,\sigma_x.$

Für Funktionen mehrerer Variablen $y = f(x_1, \ldots, x_n)$ mit unabhängigen Fehlern $\sigma_i$ :

$\sigma_y^2 \approx \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 \sigma_i^2.$

Gelöste Beispiele

Example— 1· Lineare Approximation einer Quadratwurzel (direkte Anwendung)

Problem: Verwende Linearisierung, um $\sqrt{9{,}2}$ ohne Taschenrechner zu approximieren. Schätze den maximalen Fehler ab.

Strategie: Wir identifizieren $f(x) = \sqrt{x}$ und wählen $a = 9$ , weil $\sqrt{9} = 3$ exakt ist und $9{,}2$ nahe bei $9$ liegt.

Lösung:

$f(x) = \sqrt{x}$ , $f(9) = 3$ .
$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , $f'(9) = \dfrac{1}{6}$ .
Linearisierung: $L(x) = 3 + \dfrac{1}{6}(x - 9)$ .
Bei $x = 9{,}2$ : $L(9{,}2) = 3 + \dfrac{0{,}2}{6} = 3 + 0{,}0\overline{3} \approx 3{,}0333$ .

Fehlerabschätzung:

$f''(x) = -\dfrac{1}{4x^{3/2}}$ . Bei $[9, 9{,}2]$ : $|f''(t)| \leq \dfrac{1}{4 \cdot 9^{3/2}} = \dfrac{1}{108}$ .

$|\text{Fehler}| \leq \frac{1/108}{2}(0{,}2)^2 = \frac{0{,}04}{216} \approx 0{,}000185.$

Verifikation: $\sqrt{9{,}2} \approx 3{,}03315$ . Wirklicher Fehler: $|3{,}0333 - 3{,}03315| \approx 0{,}00015 < 0{,}000185$ . Schätzung bestätigt.

Quelle. Active Calculus §1.8 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Differential und Fehlerfortpflanzung bei Kugelvolumen (Zwischenebene)

Problem: Der Radius einer Kugel wird als $r = 6{,}0$ cm mit maximalem Fehler von $0{,}05$ cm gemessen. Schätze den maximalen Fehler im Volumen $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ .

Strategie: Wir verwenden das Differential $dV = V'(r)\,dr$ , um den Fehler zu linearisieren. Das Differential ist die lineare Approximation der Volumenänderung.

Lösung:

$V(r) = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ , $V'(r) = 4\pi r^2$ .
Mit $r = 6$ und $dr = 0{,}05$ :

$dV = 4\pi(6)^2 (0{,}05) = 4\pi \cdot 36 \cdot 0{,}05 = 7{,}2\pi \approx 22{,}62 \text{ cm}^3.$

Nominalvolumen: $V(6) = \dfrac{4}{3}\pi(216) = 288\pi \approx 904{,}8$ cm³.
Relativer Fehler: $\dfrac{dV}{V} = \dfrac{7{,}2\pi}{288\pi} = \dfrac{7{,}2}{288} = 0{,}025 = 2{,}5\%$ .

Verifikation: Eine Unsicherheit von $0{,}8\%$ im Radius verbreitet sich zu $2{,}5\%$ im Volumen — Faktor 3, weil $V \propto r^3$ (Exponent 3). Allgemeine Regel: Für $f(x) = x^n$ ist der relative Fehler in $f$ $n$ -mal der relative Fehler in $x$ .

Quelle. OpenStax Calculus Vol.1 §4.2 — CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Approximation trigonometrischer Funktion und Fehlerabschätzung (Zwischenebene)

Problem: Verwende Linearisierung, um $\sin(32°)$ in Bezug auf $\sin(30°)$ und $\cos(30°)$ zu approximieren. Vergleiche mit dem wirklichen Wert.

Strategie: Wir konvertieren zu Radianten (obligatorisch in der Differentialrechnung) und linearisieren $\sin$ bei $a = \pi/6$ .

Lösung:

$f(x) = \sin x$ , $a = \pi/6$ (entsprechend 30°).
$f(a) = \sin(\pi/6) = 1/2$ , $f'(a) = \cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2$ .
$x = 32° = 32\pi/180$ Radianten. $x - a = 2\pi/180 = \pi/90$ .

$L(x) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\pi}{90} = 0{,}5 + 0{,}866 \cdot 0{,}03491 \approx 0{,}5 + 0{,}03023 = 0{,}53023.$

Vergleich: $\sin(32°) = 0{,}52992$ . Fehler: $|0{,}53023 - 0{,}52992| = 0{,}00031$ .

Verifikation: $|f''(t)| = |\sin(t)| \leq \sin(32°) < 0{,}530$ . Oben: $\dfrac{0{,}530}{2}\left(\dfrac{\pi}{90}\right)^2 \approx 0{,}265 \cdot 0{,}001218 \approx 0{,}000323 > 0{,}000310$ . Die Oben ist erfüllt.

Quelle. Active Calculus §1.8 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Newton-Raphson als iterierte Linearisierung (fortgeschritten)

Problem: Verwende Newton-Raphson, um $\sqrt[3]{2}$ mit drei Dezimalstellen zu finden, beginnend mit $x_0 = 1{,}5$ .

Strategie: Wir schreiben es als $f(x) = x^3 - 2 = 0$ um und wenden $x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)$ an, was von der Nullstelle der Tangente zu $f$ bei $x_n$ kommt.

Lösung:

$f(x) = x^3 - 2$ , $f'(x) = 3x^2$ .

Iteration	$x_n$	$f(x_n)$	$f'(x_n)$	$x_{n+1}$
0	$1{,}5$	$1{,}375$	$6{,}75$	$1{,}2963$
1	$1{,}2963$	$0{,}1786$	$5{,}040$	$1{,}2609$
2	$1{,}2609$	$0{,}00595$	$4{,}771$	$1{,}2599$
3	$1{,}2599$	$0{,}0000064$	$4{,}763$	$1{,}25992$

Verifikation: Nach 3 Iterationen: $x_3 = 1{,}25992$ , stimmt mit $\sqrt[3]{2} = 1{,}25992105\ldots$ in den sechs angezeigten Dezimalstellen überein. Die Konvergenz ist quadratisch: die Anzahl der richtigen Dezimalstellen verdoppelt sich ungefähr bei jeder Iteration.

Quelle. Active Calculus §1.8 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Multivariate Linearisierung — Ohmsches Gesetz mit zwei Unsicherheiten (Herausforderung)

Problem: Der elektrische Widerstand wird durch $R = V/I$ berechnet. Messungen liefern $V = 12{,}0 \pm 0{,}3$ V und $I = 2{,}00 \pm 0{,}05$ A. Schätze die Unsicherheit in $R$ unter Verwendung linearer Fehlerfortpflanzung.

Strategie: Wir verwenden die Fehlerfortpflanzungsformel basierend auf dem totalen Differential für Funktionen zweier Variablen: $\sigma_R^2 \approx (\partial R/\partial V)^2 \sigma_V^2 + (\partial R/\partial I)^2 \sigma_I^2$ .

Lösung:

$R(V, I) = V/I$ . Partielle Ableitungen:

$\frac{\partial R}{\partial V} = \frac{1}{I} = \frac{1}{2{,}00} = 0{,}5 \text{ Ω/V}, \quad \frac{\partial R}{\partial I} = -\frac{V}{I^2} = -\frac{12{,}0}{4{,}00} = -3{,}0 \text{ Ω/A}.$

Verbreitete Varianz:

$\sigma_R^2 \approx (0{,}5)^2(0{,}3)^2 + (-3{,}0)^2(0{,}05)^2 = 0{,}0225 + 0{,}0225 = 0{,}045 \text{ Ω}^2.$

$\sigma_R \approx \sqrt{0{,}045} \approx 0{,}212 \text{ Ω}.$

Ergebnis: $R = 6{,}00 \pm 0{,}21$ Ω.

Verifikation: Die Unsicherheiten in $V$ und in $I$ tragen gleichermaßen zur Gesamtunsicherheit in $R$ bei — charakteristische Eigenschaft dieser speziellen Wertekombination.

Quelle. APEX Calculus §4.4 — Hartman et al. · CC-BY-NC.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 22Understanding 8Modeling 4Challenge 4Proof 2

Ex. 57.1Application
Approximiere $\sqrt{4{,}1}$ unter Verwendung von Linearisierung bei $a = 4$ .
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Ex. 57.2Application
Approximiere $\sqrt{9{,}06}$ unter Verwendung von Linearisierung bei $a = 9$ . Vergleiche mit dem wirklichen Wert.
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Ex. 57.3Application
Approximiere $\sin(0{,}05)$ unter Verwendung von Linearisierung bei $a = 0$ .
Solve online
Ex. 57.4Application
Approximiere $\cos(0{,}1)$ unter Verwendung von Linearisierung bei $a = 0$ . Erklär, warum das Ergebnis überraschend ungenau ist.
Solve online
Ex. 57.5Application
Approximiere $e^{0{,}03}$ unter Verwendung von Linearisierung bei $a = 0$ .
Solve online
Ex. 57.6Application
Approximiere $\ln(1{,}05)$ unter Verwendung von Linearisierung bei $a = 1$ .
Solve online
Ex. 57.7ApplicationAnswer key
Approximiere $(1{,}02)^{10}$ unter Verwendung von Linearisierung von $(1+x)^{10}$ bei $x = 0$ .
Solve online
Ex. 57.8Application
Approximiere $\sqrt[3]{27{,}5}$ unter Verwendung von Linearisierung bei $a = 27$ .
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Ex. 57.9Application
Schreib die Linearisierung von $f(x) = \tan x$ bei $a = 0$ . Diese Linearisierung ist identisch mit der von $\sin x$ bei $a = 0$ — warum?
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Ex. 57.10Application
Schreib die Linearisierung von $f(x) = \arctan x$ bei $a = 1$ .
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Ex. 57.11ApplicationAnswer key
Schreib die Linearisierung von $f(x) = e^x \sin x$ bei $a = 0$ .
Solve online
Ex. 57.12Application
Approximiere $\sqrt{50}$ unter Verwendung von Linearisierung bei $a = 49$ .
Solve online
Ex. 57.13Application
Berechne das Differential $dy$ für $y = x^3$ bei $x = 2$ , $dx = 0{,}01$ . Vergleiche mit der wirklichen Änderung $\Delta y$ .
Solve online
Ex. 57.14ApplicationAnswer key
Berechne das Differential $dy$ für $y = e^x$ bei $x = 0$ , $dx = 0{,}1$ .
Solve online
Ex. 57.15Application
Approximiere $\sin(31°)$ unter Verwendung von Linearisierung von $\sin$ bei $a = 30°$ . Verwende $\sin(30°) = 0{,}5$ und $\cos(30°) = \sqrt{3}/2$ .
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Ex. 57.16ApplicationAnswer key
Approximiere $\cos(59°)$ unter Verwendung von Linearisierung von $\cos$ bei $a = 60°$ .
Solve online
Ex. 57.17Application
Was ist die Linearisierung von $f(x) = \sqrt{1 + x}$ bei $a = 0$ ?
Solve online
Ex. 57.18Application
Approximiere $1/\sqrt{4{,}1}$ unter Verwendung von Linearisierung bei $a = 4$ .
Solve online
Ex. 57.19Application
Schreib die Linearisierung von $f(x) = \ln x$ bei $a = e$ .
Solve online
Ex. 57.20Application
Berechne den absoluten Fehler der Linearisierung von $\sqrt{4{,}1}$ bei $a = 4$ , verglichen mit $\sqrt{4{,}1} \approx 2{,}024846$ . Verifiziere, dass der Fehler innerhalb des Limits $M_2 h^2/2$ liegt.
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Ex. 57.21Application
Führe eine Newton-Raphson-Iteration durch, um $\sqrt{5}$ zu finden, beginnend mit $x_0 = 2$ .
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Ex. 57.22ApplicationAnswer key
Führe zwei Newton-Raphson-Iterationen durch, um $x^3 - 2 = 0$ mit $x_0 = 1$ zu lösen.
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Ex. 57.23Modeling
Die Kugel hat Radius $r = 5{,}0 \pm 0{,}1$ cm. Schätze den maximalen Fehler im Volumen $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ mit Differential.
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Ex. 57.24Modeling
Die Periode eines Pendels ist $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ . Wenn die Länge $L$ einen relativen Fehler von $1\%$ hat, was ist der relative Fehler in $T$ ?
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Ex. 57.25ModelingAnswer key
Für $R = V/I$ mit unabhängigen Fehlern $\sigma_V$ und $\sigma_I$ , schreib die Fehlerfortpflanzungsformel für $\sigma_R$ unter Verwendung von partiellen Ableitungen.
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Ex. 57.26Modeling
Die Fläche eines Kreises ist $A = \pi r^2$ mit $r = 3{,}0 \pm 0{,}064$ cm. Schätze den maximalen Fehler in $A$ mit dem Differential.
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Ex. 57.27UnderstandingAnswer key
Warum wird der Fehler der Linearisierung $|f(x) - L(x)|$ als $O((x-a)^2)$ bezeichnet? Welcher Satz begründet das?
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Ex. 57.28Understanding
In welcher Umgebung ist die Linearisierung von $f$ in $a$ besonders ungenau, selbst für $x$ nahe bei $a$ ? Was sollte man in diesen Fällen tun?
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Ex. 57.29Understanding
Zeige, dass $\sin x \approx x$ die Linearisierung von $\sin$ bei $a = 0$ ist. Für welche Werte von $x$ (in Radianten) ist der Fehler unter 1%?
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Ex. 57.30Understanding
Was ist die Beziehung zwischen $\Delta y$ (wirkliche Änderung) und $dy$ (Differential)?
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Ex. 57.31Understanding
Erkläre, woher die Newton-Raphson-Formel $x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)$ in Begriffen der Linearisierung kommt.
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Ex. 57.32Understanding
Verwende Linearisierung, um $(1{,}002)^{30}$ zu approximieren.
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Ex. 57.33Understanding
Die Seite eines Würfels wird mit relativem Fehler von $1\%$ gemessen. Was ist der relative Fehler im Volumen $V = s^3$ ?
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Ex. 57.34Understanding
Schreib die Linearisierung von $g(x) = 1/\sqrt{1+x}$ bei $a = 0$ .
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Ex. 57.35ChallengeAnswer key
Berechne den absoluten und relativen Fehler der Linearisierung von $e^x$ bei $a = 0$ bei der Approximation von $e^1 = e$ . Ist das Ergebnis überraschend? Erkläre.
Solve online
Ex. 57.36Challenge
Newton-Raphson versagt, wenn $f'(x_n) = 0$ . Erkläre geometrisch und gib ein Beispiel einer Funktion, in der das auftritt.
Solve online
Ex. 57.37Challenge
Leite die Fehler-Oben $|f(x) - L(x)| \leq \frac{M_2}{2}(x-a)^2$ vom Taylor-Satz mit Lagrange-Rest ab.
Solve online
Ex. 57.38ChallengeAnswer key
Volumen des Zylinders: $V = \pi r^2 h$ . Mit $r = 5{,}0 \pm 0{,}1$ cm und $h = 10{,}0 \pm 0{,}2$ cm, schätze den maximalen Fehler in $V$ mit totalem Differential.
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Ex. 57.39ProofAnswer key
Zeige, dass $L(x) = f(a) + f'(a)(x-a)$ das Taylor-Polynom Grad 1 von $f$ in $a$ ist, und dass der Fehler $O((x-a)^2)$ ist.
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Ex. 57.40Proof
Zeige, dass Newton-Raphson quadratische Konvergenz hat: wenn $e_n = x_n - x^*$ der Fehler in der $n$ -ten Iteration ist und $f'(x^*) \neq 0$ , dann $|e_{n+1}| \leq C\,|e_n|^2$ für irgendeine Konstante $C > 0$ .
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Quellen

Active Calculus — Boelkins · 2024 · §1.8 "The tangent line approximation" · CC-BY-NC-SA. Primärquelle. Übungen 57.1–57.2, 57.5, 57.7, 57.11–57.12, 57.15, 57.20–57.21, 57.27, 57.29, 57.31, 57.35, 57.37, 57.39–57.40.
Calculus Volume 1 — OpenStax · 2016 · §4.2 "Linear Approximations and Differentials" · CC-BY-NC-SA. Übungen 57.3–57.4, 57.6, 57.13–57.14, 57.17–57.19, 57.23, 57.25, 57.28, 57.30, 57.33.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · v5 · §4.4 "Differentials" · CC-BY-NC. Übungen 57.8–57.10, 57.16, 57.22, 57.24, 57.26, 57.31, 57.34, 57.36, 57.38.